Измерение расстояний, площадей, объёмов. Устройство геодезических сетей при съемке больших территорий
 Скачать 69.99 Kb.
|
|
Содержание Введение Глава 1. Устройство геодезических сетей при съемке больших территорий. 1.1 Государственные геодезические сети. 1.2 Геодезические сети сгущения. 1.3 Сети специального назначения (ОМС). 1.4 Съёмочные сети. 1.5 Системы координат WGS-84 и СК-95. Глава 2. Погрешности геодезических измерений (теория и решение задач). 2.1 Геодезическое измерение, результат измерения, методы и условия измерений. Равноточные и неравноточные измерения. 2.2 Классификация погрешностей геодезических измерений. Средняя квадратическая погрешность. Формы Гаусса и Бесселя для её вычисления. 2.3 Веса измерений 2.4 Функции по результатам измерений и оценка их точности. 2.5 Оценка точности по разностям двойных измерений и по невязкам в полигонах и ходах. Заключение Список использованной литературы Введение Геодезия – наука об измерениях на земной поверхности. В геодезии применяются преимущественно линейные и угловые измерения. Такие измерения необходимы для определения формы и размеров нашей планеты – Земли и её частей, для определения координат пунктов, создания карт, планов и профилей и для строительства различных сооружений. Геодезические измерения производятся также под земной поверхностью (в связи с горными работами, сооружением тоннелей и т.п.), под водой (при съёмках дна морей, океанов, озёр) и в околоземном пространстве. Геодезия при решении поставленных перед нею задач пользуется достижениями ряда других наук и прежде всего математики и физики. Материалы геодезических работ в виде планов, карт и числовых величин (координат и высот) точек земной поверхности имеют большое применение в различных отраслях народного хозяйства. Всякое сооружение проектируют с учетом имеющихся на местности контуров сооружений, дорог, водных источников, почвы, грунта. Поэтому для проектирования необходим план местности с подробным отображением всех деталей. Проектирование и строительство сел, городов, железных и шоссейных дорог нельзя выполнять без геодезических материалов. В теоретических исследованиях и практике геодезических работ особое внимание уделяется определению взаимного положения точек, как в плановом отношении, так и по высоте. Многолетний опыт выполнения такого рода работ позволил выработать основные принципиальные положения, которые следует неукоснительно соблюдать при организации геодезических измерений. Это позволяет свести к минимуму неизбежные ошибки, не допустить накопления погрешностей при переходе от точки к точке, полностью избавиться от грубых промахов. Цель данной курсовой работы по геодезии на тему: «Геодезические сети» - научиться создавать качественное геодезическое обеспечение работ по проведению земельного кадастра, мониторинга, планирования и осуществления строительства, а также других научных и хозяйственных работ. Задача: освоить современные технологии геодезических работ по тахеометрической съёмке, уравниванию системы теодолитных и нивелирных ходов, определению дополнительных пунктов при сгущении геодезической сети, оценке точности выполненных работ. Глава 1. Устройство геодезических сетей при съемке больших территорий 1.1 Государственная геодезическая сеть (ГГС) Государственная геодезическая сеть (ГГС) – система закрепленных на местности пунктов, положение которых определено в единой системе координат и высот. ГГС предназначена для решения следующих основных задач, имеющих хозяйственное, научное и оборонное значение: – установление и распространение единой государственной системы геодезических координат на всей территории страны и поддержание ее на уровне современных и перспективных требований; – геодезическое обеспечение картографирования территории России и акваторий окружающих ее морей; – геодезическое обеспечение изучения земельных ресурсов и землепользования, кадастра, строительства, разведки и освоения природных ресурсов; – обеспечение исходными геодезическими данными средств наземной, морской и аэрокосмической навигации, аэрокосмического мониторинга природной и техногенной сред; – изучение поверхности и гравитационного поля Земли и их изменений во времени; – изучение геодинамических явлений; – метрологическое обеспечение высокоточных технических средств определения местоположения и ориентирования. Геодезические высоты пунктов ГГС определяют как сумму нормальной высоты и высоты квазигеоида над отсчетным эллипсоидом или непосредственно методами космической геодезии, или путем привязки к пунктам с известными геоцентрическими координатами. Нормальные высоты пунктов ГГС определяются в Балтийской системе высот 1977 года, исходным началом которой является нуль Кронштадтского футштока. Карты высот квазигеоида над общим земным эллипсоидом и референц-эллипсоидом Красовского на территории Российской Федерации издаются Федеральной службой геодезии и картографии России и Топографической службой ВС РФ. Масштаб ГГС задается Единым государственным эталоном времени-частоты-длины. В работах по развитию ГГС используются шкалы атомного ТA (SU) и координированного UTC (SU) времени, задаваемые существующей эталонной базой Российской Федерации, а также параметры вращения Земли и поправки для перехода к международным шкалам времени, периодически публикуемые Госстандартом России в специальных бюллетенях Государственной службы времени и частоты (ГСВЧ). Астрономические широты и долготы, астрономические и геодезические азимуты, определяемые по наблюдениям звезд, приводятся к системе фундаментального звездного каталога, к системе среднего полюса и к системе астрономических долгот, принятых на эпоху уравнивания ГГС. Метрологическое обеспечение геодезических работ осуществляется в соответствии с требованиями государственной системы обеспечения единства измерений. Все геодезические сети можно разделить по следующим признакам: По территориальному признаку: 1) глобальная 2) национальные (ГГС) 3) сети специального назначения (ГССН) 4) съемочные сети по геометрической сущности: 1) плановые 2) высотные 3) пространственные Глобальные сети создаются на всю поверхность Земли спутниковыми методами, являясь пространственными с началом координат в центре масс Земли и определяемые в системе координат ПЗ-90. Национальные сети делятся на: Государственную геодезическую сеть (ГГС) с определением координат в СК-95 в проекции Гаусса-Крюгера на плоскости и на Государственную нивелирную сеть (ГНС) с определением нормальных высот в Балтийской системе, т.е. от нуля Кронштадтского футштока. Геодезические сети специального назначения (ГССН) создаются в тех случаях, когда дальнейшее сгущение пунктов ГГС экономически нецелесообразно или когда требуется особо высокая точность геодезической сети. В зависимости от назначения эти сети могут быть плановыми, высотными, планово-высотными и даже пространственными и создаваться в любой системе координат. Съемочные сети являются обоснованием для выполнения топосъемок и создаются обычно планово-высотными. ГГС, созданная по состоянию на 1995 год, объединяет в одно целое: астрономо-геодезические пункты космической геодезической сети (АГП КГС), доплеровскую геодезическую сеть (ДГС), астрономо-геодезическую сеть (АГС) 1 и 2 классов, геодезические сети сгущения (ГСС) 3 и 4 классов, Пункты указанных построений совмещены или имеют между собой надежные геодезические связи. ГГС структурно формируется по принципу перехода от общего к частному и включает в себя геодезические построения различных классов точности: фундаментальную астрономо-геодезическую сеть (ФАГС) высокоточную геодезическую сеть (ВГС), спутниковую геодезическую сеть 1 класса (СГС-1) В указанную систему построений вписываются также существующие сети триангуляции и полигонометрии 1-4 классов. На основе новых высокоточных пунктов спутниковой сети создаются постоянно действующие дифференциальные станции с целью обеспечения возможностей определения координат потребителями в режиме близком к реальному времени. По мере развития сетей ФАГС, ВГС и СГС-1 выполняется уравнивание ГГС и уточняются параметры взаимного ориентирования геоцентрической системы координат и системы геодезических координат СК-95. 1.2 Геодезические сети сгущения В настоящее время наиболее эффективным методом создания геодезической сети, включая и геодезические сети сгущения, является метод, связанный со спутниковыми технологиями (ГЛ0НАСС, GPS). Однако этот метод требует наличия приемной аппаратуры, высокая стоимость которой препятствует широкому ее использованию. Поэтому наряду с высокоэффективными спутниковыми технологиями используют и традиционные методы. Следует заметить, что при выполнении геодезических работ в закрытых помещениях и в стесненных условиях, когда наблюдение созвездия спутников невозможно или затруднительно, традиционные методы являются единственно возможными для решения многих задач. Геодезические сети сгущения строят методами триангуляции и полигонометрии для сгущения государственной геодезической сети до плотности, необходимой для создания съемочного обоснования съемок крупного масштаба. Триангуляцию 1 и 2-го разрядов развивают в открытой и горной местности. Там, где триангуляцию 1 и 2-го разрядов выполнить по условиям местности невозможно или нецелесообразно, развивают полигонометрическую сеть 4-го класса, 1 и 2-го разрядов. Необходимо отметить, что полигонометрия 4-го класса для крупномасштабных съемок по сравнению с государственной выполняется с пониженной точностью. При создании полигонометрии выполняют весь комплекс основных геодезических работ: угловые и линейные измерения, нивелирование. Углы на пунктах полигонометрии измеряют способом отдельного угла или круговых приемов оптическими теодолитами типа. Т1, Т2, Т5 с точностью центрирования 1 мм. Высоты на все пункты полигонометрии передаются нивелированием IV класса или техническим. Линии измеряют непосредственно: светодальномерами, подвесными мерными приборами или косвенно — длины сторон хода вычисляют по вспомогательным величинам. При проведении различных народнохозяйственных, в том числе и землеустроительных, мероприятий на большой территории необходимы топографические карты и планы, составленные на основе сети геодезических пунктов, плановое положение которых на земной поверхности определено в единой системе координат, а высотное — в единой системе высот. При этом геодезические пункты могут быть только плановыми или только высотными или одновременно — плановыми и высотными. Сеть геодезических пунктов располагается на местности согласно составленному для нее проекту. Пункты сети закрепляются на местности особыми знаками. Построенная на большой территории в единой системе координат и высот геодезическая сеть дает возможность правильно организовать работу по съемке местности. При наличии такой сети съемка может производиться независимо в разных местах, что не вызовет затруднения при составлении общего плана или карты. Кроме того, использование сети геодезических пунктов приводит к более равномерному распределению по территории влияния погрешностей измерений и обеспечивает контроль выполняемых геодезических работ. Геодезические сети строятся по принципу перехода от общего к частному, т. е. вначале на большой территории строится редкая сеть пунктов с очень высокой точностью, а затем эта сеть сгущается последовательно по ступеням пунктами, построение которых производится на каждой ступени с меньшей точностью. Таких ступеней сгущения бывает несколько. Сгущение геодезической сети производится с таким расчетом, чтобы в результате получилась сеть пунктов такой плотности (густоты) и точности, чтобы эти пункты могли служить непосредственной опорой для предстоящей съемки. Плановые геодезические сети строятся в основном методами триангуляции, полигонометрии и трилатерации. Метод триангуляции состоит в том, что строят сеть треугольников, в которой измеряют все углы треугольников и как минимум две стороны на разных концах сети (вторую сторону измеряют для контроля измерения первой стороны и установления качества всей сети). По длине одной из сторон и углам треугольников определяются стороны всех Треугольников сети. Зная дирекционный угол одной из сторон сети и координаты одного из пунктов, можно затем вычислить координаты всех пунктов. Метод полигонометрии заключается в построении сети ходов, в которых измеряют все углы и стороны. Полигонометрические ходы отличаются от теодолитных более высокой точностью измерения углов и линий. Этот метод применяется обычно в закрытой местности. Внедрение в производство электромагнитных дальномеров делает целесообразным применение полигонометрии и в открытой местности. Метод трилатерации состоит в построении сети треугольников с измерением всех сторон треугольников. В некоторых случаях создаются линейно-угловые сети, представляющие собою сети треугольников, в которых измерены стороны и углы (все или в необходимом их сочетании). Плановые геодезические сети делятся на государственную геодезическую сеть; сети сгущения 1 и 2 разрядов; съемочное обоснование — съемочную сеть и отдельные пункты. 1.3 Сети специального назначения (ОМС) Опорная межевая сеть (ОМС) – геодезическая сеть специального назначения (ГССН), которая создается для геодезического обеспечения государственного земельного кадастра, мониторинга земель, землеустройства и других мероприятий по управлению земельным фондом страны. Межевые сети создают в случаях, когда точность и плотность существующих геодезических сетей не соответствуют требованиям, предъявляемым при их построении. Опорная межевая сеть подразделяется на два класса: ОМС1 и ОМС2. Точность их построения характеризуется средними квадратическими погрешностями взаимного положения смежных пунктов соответственно не более 0,05 и 0,10 м. Расположение и плотность пунктов ОМС (опорных межевых знаков – ОМЗ) должны обеспечивать быстрое и надежное восстановление на местности всех межевых знаков. Плотность пунктов ОМС на 1 кв. км должна быть не менее 4 пунктов в черте города и 2 пунктов – в черте других поселений, в небольших поселениях – не менее 4 пунктов на один населенный пункт. На землях сельскохозяйственного назначения и других землях необходимая плотность пунктов ОМС обосновывается расчетами исходя из требований, предъявляемых к планово-картографическим материалам. Пункты ОМС по возможности размещают на землях, находящихся в государственной или муниципальной собственности, с учетом их доступности. Пункты ОМС могут не совпадать с межевыми знаками границ земельного участка. Опорная межевая сеть должна быть привязана не менее чем к двум пунктам государственной геодезической сети. Плановое и высотное положение пунктов ОМС рекомендуется определять с использованием геодезических спутниковых систем (GPS или ГЛОНАСС) в режиме статических наблюдений. При отсутствии такой возможности плановое положение пунктов может определяться методами триангуляции и полигонометрии, геодезическими засечками, лучевыми системами, а также фотограмметрическим методом (для ОМС2); высоты опорных межевых знаков определяются геометрическим или тригонометрическим нивелированием. Плановое положение пунктов ОМС определяют обычно в местных системах координат. При этом должна быть обеспечена связь местных систем координат с общегосударственной системой координат. Высоты пунктов определяют в Балтийской системе высот. Для обозначения границ земельного участка на местности на поворотных точках границ закрепляют межевые знаки, положение которых определяют относительно ближайших пунктов исходной геодезической основы. Границы участков, проходящие по «живым урочищам», закрепляют межевыми знаками только на стыках с суходольными границами. 1.4 Съёмочные сети Съемочная сеть – это совокупность точек, определяемых на местности дополнительно к пунктам государственной геодезической сети для непосредственного обеспечения топографических съемом. Точки съемочной сети определяются аналитическим способом – триангуляцией, теодолитными ходами, засечками и графическим способом – при помощи мензулы и кипрегеля. Исходной основой для развития съемочных сетей служат пункты государственной геодезической сети. При составлении проекта съемочной сети рекогностировки местности с целью определения мест установки ее пунктов нужно руководствоваться следующим: 1 между пунктами съемочной сети должны быть обеспечены взаимная видимость и благоприятные условия для измерения линии; 2 в застроенной территории ходы должны прокладываться так, чтобы обеспечить благоприятные условия для съемки зданий и сооружений; 3 местоположение пунктов съемочной сети должно обеспечивать удобную установку геодезических приборов при построении съемочного обоснованиям съемочных работ; 4 пункты съемочной сети нужно помещать на непахотные земли в таких местах, которые обеспечивают их сохранность; 5 на застроенных территориях пункты съемочной сети следует помещать так, чтобы их местоположение в случае утраты можно было восстановить по линейным разметкам от опорных контуров местности. 6 в проект съемочной сети рекомендуется также включать ориентированные местные предметы. 7 при положении теодолитных ходов в застроенной территории следует предусматривать установку и определение створных точек. Плановые съемочные сети создаются построением триангуляции, проложением теодолитных ходов, прямыми, обратными и комбинированными засечками, методами спутниковой геодезии и проложением электронных тахеометрических ходов. Съемочной сетью могут служить теодолитные, тахеометрические ходы с привязкой их к исходной сети. При развитии съемочного обоснования определяют, как правило, расположение точек в плане и по высоте. Высоты точек съемочного обоснования определяют геометрическим и тригонометрическим нивелированием. Техническое нивелирование применяется для высотного обоснования съёмок с сечением рельефа в 1 метр и менее Предельно допустимые длины ходов при сечении рельефа: h = 0,25 м – L = 2 км h = 0,25 м – L = 2 км h = 0,25 м – L = 2 км Чем меньше сечение, тем меньше ход. Пункты съёмочной сети закрепляются на местности деревянными кольями с окопкой вокруг них. Межевые точки закрепляются столбами с окопкой их кургана. В целях большей сохранности геодезических знаков выбирают по возможности такие места для геодезических пунктов, которые обеспечивали бы сохранность знаков: перекрёсток дорог, опушки леса и другие участки мало подверженные изменениям. Средние ошибки положения пунктов плановой съемочной сети относительно ближайших пунктов геодезических сетей не должны превышать в открытых районах 0,1мм в масштабе плана, и в лесных районах 0,15мм. Средние ошибки высот пунктов съемочной сети относительно ближайших пунктов геодезической сети не должны превышать в равнинной местности 1/10, а в горной и предгорной 1/6 высоты сечения рельефа, принятой для съемки данного масштаба. Количество закрепляемых на местности точек, тип центров и знаков съемочной основы на каждом плане определяются проектом в соответствии с требованием технических инструкций, и съемочная основа строится в виде сетей теодолитных ходов или геометрических сетей. 1.5 Системы координат WGS-84 и СК-95 Система координат 1995 г. (СК-95) установлена Постановлением Правительства РФ от 28.07.2002 г № 586 «Об установлении единых государственных систем координат». Используется при осуществлении геодезических и картографических работ, начиная с 1 июля 2002 года. До завершения перехода к использованию СК правительство РФ постановило использовать единую систему геодезических координат 1942 года, введённую Постановлением Совета министров СССР от 07.04.1996 г № 760. Целесообразность введения СК-95 состоит в повышении точности, оперативности и экономической эффективности решения задач геодезического обеспечения, отвечающего современным требованиям экономики, науки и обороны страны. Полученные в результате совместного уравнивания координат пунктов космической государственной сети (КГС), доплеровской геодезической сети (ДГС) и астрономо-геодезической сети (АГС) на эпоху 1995 г, Система координат 1995 г закреплена пунктами государственной геодезической сети. СК-95 строго согласована с единой государственной геоцентрической системой координат, которая называется «Параметры Земли 1990г.» (ПЗ-90). СК-95 установлена под условием параллельности её осей пространственным осям СК ПЗ-90. За отсчётную поверхность в СК-95 принят референц эллипсоид. Точность СК-95 характеризуется следующими средними квадратическими ошибками взаимного положения пунктов по каждой из плановых координат: 2-4 см. для смежных пунктов АГС, 30-80 см. при расстояниях от 1 до 9 тыс. км между пунктами. Точность определения нормальных высот в зависимости от метода их определения характеризуется следующими средними квадратическими ошибками: 6-10 см. в среднем по стране из уровня нивелирных сетей 1 и 2 классов; 20-30 см из астрономо-геодезических определений при создании АГС. Точность определения превышений высот квазигеоида астрономогравиметрическим методом характеризуется следующими средними квадратическими ошибками: от 6 до 9 см. при расстоянии 10-20 км; 30-50 см при расстоянии 1000км. СК-95 отличается от СК-42 1) повышением точности передачи координат на расстояние свыше 1000 км в 10-15 раз и точностью взаимного положения смежных пунктов в государственной геодезической сети в среднем в 2-3 раза; 2) одинаковой точностью расстояния системы координат для всей территории РФ; 3) отсутствием региональных деформаций государственной геодезической сети, достигающих в СК-42 нескольких метров; 4) возможностью создания высокоэффективной системы геодезического обеспечения на основе использования глобальных навигационных спутниковых систем: Глонасс, GPS, Навстар. Развитие астрономо-геодезической сети для всей территории СССР было завершено к началу 80х годов. К этому времени стала очевидность выполнения общего уравнивания АГС без разделения на ряды триангуляции 1 класса и сплошные сети 2 класса, т. к. отдельное уравнивание приводило к значительной деформациям АГС. В мае 1991 года общее уравнивание АГС было завершено. По результатам уравнивания были установлены следующие характеристики точности АГС: 1) средняя квадратическая ошибка направлений 0,7 секунды; 2) средняя квадратическая ошибка измеренного азимута 1,3 сек.; 3) относительная средняя квадратическая ошибка измерения базисных сторон 1/200000; 4) средняя квадратическая ошибка смежных пунктов 2-4 см.; 5) средняя квадратическая ошибка передачи координат исходного пункта на пункты на краях сети по каждой координате 1 м. Уравненная сеть включала в себя: 164306 пунктов 1 и 2 класса; 3,6 тысяч геодезических азимутов, определенных из астромомических наблюдений; 2,8 тысяч базисных сторон через 170-200км. Совместному уравниванию подвергались астрономо-геодезическая сеть доплеровская и КГС. Объём астрономо-геодезической информации обработанной при совместном уравнивании для установления СК-95 превышает на порядок объём измерительной информации. В 1999 году Федеративная служба геодезии и картографии (ФСГиК) ГГС качественно нового уровня на основе спутниковых навигационных систем: Глонасс, GPS, Навстар. Новая ГГС включает в себя геодезические построения различных классов точности: 1) ФАГС (фундаментальные) 2) Высокоточные ВГС 3) Спутниковая геодезическая сеть 1 класса (СГС 1) 4) Астрономогеодезическая сеть и геодезические сети сгущения. WGS-84 сейчас стала международной системой навигации. Все аэропорты мира, согласно требованиям ICAO, определяют свои аэронавигационные ориентиры в WGS-84. Россия не является исключением. С 1999 г. издаются распоряжения о ее использовании в системе нашей гражданской авиации (Последние распоряжения Минтранса № НА-165-р от 20.05.02 г. «О выполнении работ по геодезической съемке аэронавигационных ориентиров гражданских аэродромов и воздушных трасс России» и № НА-21-р от 04.02.03 г. «О введении в действие рекомендаций по подготовке … к полетам в системе точной зональной навигации …», см. www.szrcai.ru), но до сих пор нет ясности в главном — станет ли эта информация открытой (иначе она теряет смысл), а это зависит от совсем других ведомств, к открытости не склонных. Для сравнения: координаты концов взлетно-посадочной полосы аэродрома с разрешением 0,01” (0,3 м) сегодня выдают Казахстан, Молдова и страны бывшей Прибалтики; 0,1” (3 м) — Украина и страны Закавказья; и только Россия, Белоруссия и вся Средняя Азия открывают эти важнейшие для навигации данные с точностью 0,1’ (180 м). У нас есть и своя общеземная система координат, альтернатива WGS-84, которая используется в ГЛОНАСС. Она называется ПЗ-90, разработана нашими военными, и кроме них, по большому счету, никому не интересна, хотя и возведена в ранг государственной. Наша государственная система координат - «Система координат 1942 г.», или СК-42, (как и пришедшая ей недавно на смену СК-95) отличается тем, что, во-первых, основана на эллипсоиде Красовского, несколько большем по размерам, чем эллипсоид WGS-84, и во-вторых, «наш» эллипсоид сдвинут (примерно на 150 м) и слегка развернут относительно общеземного. Всё потому, что наша геодезическая сеть покрыла шестую часть суши еще до появления всяких спутников. Эти отличия приводят к погрешности GPS на наших картах порядка 0,2 км. После учета параметров перехода (они имеются в любом Garmin’e) эти погрешности устраняются для навигационной точности. Но, увы, не для геодезической: точных единых параметров связи координат не существует, и виной тому локальные рассогласования внутри государственной сети. Геодезистам приходится для каждого отдельного района самим искать параметры трансформирования в местную систему. Глава 2. Погрешности геодезических измерений (теория и решение задач) 2.1 Геодезическое измерение, результат измерения, методы и условия измерений. Равноточные и неравноточные измерения Измерением называется процесс сравнения некоторой физической величины с другой одноименной величиной, принятой за единицу меры. Единица меры – значение физической величины, принятой для количественной оценки величины того же рода. Результат измерений – это число, равное отношению измеряемой величины единицы меры. Различают следующие виды геодезических измерений: Линейные, в результате, которых получают наклонные иррациональные расстояния между заданными точками. Для этой цели применяют ленты, рулетки, проволоки, оптические свето- и радиодальномеры. Угловые, определяющие величины горизонтальных углов. Для выполнения таких измерений применяют теодолит, буссоли, эклиметры. Высотные, в результате, которых получают разности высот отдельных точек. Для этой цели применяют нивелиры, теодолиты-тахеометры, барометры. Различают два метода геодезических измерений: непосредственные и посредственные (косвенные). Непосредственные – измерения, при которых определяемые величины получают в результате непосредственного сравнения с единицей измерения. Косвенные – измерения, при которых определяемые величины получаются как функции других непосредственно измеренных величин. Процесс измерения включает: Объект – свойства которого, например, размер характеризуют результат измерения. Техническое средство – получать результат в заданных единицах. Метод измерений – обусловлен теорией практических действий и приёмов технических средств. Исполнитель измерений – регистрирующее устройство Внешняя среда, в которой происходит процесс измерений. Измерения различают равноточные и неравноточные. Равноточные – это результаты измерений однородных величин, выполняемые с помощью приборов одного класса, одним и тем же методом, одним исполнителем при одних и тех же условиях. Если хотя бы один из элементов, составляющий совокупность, меняется, то результат измерений неравноточный. 2.2 Классификация погрешностей геодезических измерений. Средняя квадратическая погрешность. Формы Гаусса и Бесселя для её вычисления Геодезические измерения, выполняемые даже в очень хороших условиях, сопровождаются погрешностями, т.е. отклонение результата измерений L от истинного значения Х нумеруемой величины: ∆ = L-X Истинное– такое значение измеряемой величины, которое идеальным образом отражало бы количественные свойства объекта. Недостижимое условие – истинное значение – понятие гипотетическое. Это величина, к которой можно приближаться бесконечно близко, оно не достижимо. Точность измерений – степень приближения его результата к истинному значению. Чем ниже погрешность, тем выше точность. Абсолютная погрешность выражается разностью значения, полученного в результате измерения и истинного измерения величины. Например, истинное значение l = 100 м, однако, при измерении этой же линии получен результат 100,05 м, тогда абсолютная погрешность: E = Xизм – X E = 100,05 – 100 = 0,05 (м) Чтобы получить значение достаточно произвести одно измерение. Его называют необходимым, но чаще одним измерением не ограничиваются, а повторяют не менее двух раз. Измерения, которые делают сверх необходимого, называют избыточными (добавочными), они являются весьма важным средством контроля результата измерения. Абсолютная погрешность не даёт представления о точности полученного результата. Например, погрешность в 0,06 м может быть получена при измерении l = 100 м или l = 1000 м. Поэтому вычисляют относительную погрешность: C = Eср / X C = 0,06 / 100 = 1/1667, т.е на 1667 м измеряемой l допущена погрешность в 1 метр. Относительная погрешность – отношение абсолютной погрешности к истинному или измеренному значению. Выражают дробью. По инструкции линия местности должна быть измерена не грубее 1/1000. Погрешности, происходящие от отдельных факторов, называются элементарными. Погрешность обобщенная– это сумма элементарных. Возникают: грубые (Q), систематические (O), случайные (∆). Грубые погрешности измерений возникают в результате грубых промахов, просчётов исполнителя, его невнимательности, незамеченных неисправностях технических средств. Грубые погрешности совершенно недопустимы и должны быть полностью исключены из результатов измерений путем проведения повторных, дополнительных измерений. Систематические погрешности измерений – постоянная составляющая, связанная с дефектами: зрение, неисправность технических средств, температура. Систематические погрешности могут быть как одностороннего действия, так и переменного (периодические погрешности). Их стремятся по возможности учесть или исключить из результатов измерений при организации и проведении работ. Случайные погрешности измерений неизбежно сопутствуют всем измерениям. Погрешности случайные исключить нельзя, но можно ослабить их влияние на искомый результат за счет проведения дополнительных измерений. Это самые коварные погрешности, сопутствующие всем измерениям. Могут быть разные как по величине, так и по знаку. E = Q + O +∆ Если грубые и систематические погрешности могут быть изучены и исключены из результата измерений, то случайные могут быть учтены на основе глубокого измерения. Изучение на основе теории вероятностей. На практике сложность заключается в том, что измерения проводятся какое-то ограниченное количество раз и поэтому для оценки точности измерений используют приближённую оценку среднего квадратического отклонения, которую называют среднеквадратической погрешностью (СКП). Гауссом была предложена формула среднеквадратической погрешности: ∆2ср = (∆21 + ∆22 +… +∆2n) / n, ∆2 = m2 = (∆21 + ∆22 +… +∆2n) / n, ∆ = m, ∆ср = m = √(∑∆2i / n) Формула применяется, когда погрешности вычислены по истинным значениям. Формула Бесселя: m = √(∑V2i / (n-1)) Средняя квадратическая погрешность арифметической середины в n раз меньше средней квадратической погрешности отдельного измерения М=m/n При оценке в качестве единицы меры точности используют среднеквадратическую погрешность с весом равным единице. Её называют средней квадратической погрешностью единицы веса. µ2 = P×m2 – µ = m√P, m = µ / √P, т.е. средняя квадратическая погрешность любого результата измерения равна погрешности измерения с весом 1 (µ) и делённая на корень квадратный из веса этого результата (P). При достаточно большом числе измерений можно записать ∑m2P=∑∆2P (так как ∆ = m): µ = √(∑(∆2×P)/n), т.е. средняя квадратическая погрешность измерения с весом, равным 1 равна корню квадратному из дроби в числителе которого сумма произведений квадратов абсолютных погрешностей неравноточных измерений на их веса, а в знаменателе – число неравноточных измерений. Средняя квадратическая погрешность общей арифметической середины по формуле: M0 = µ / √∑P Подставив вместо µ её значение получим : M0 = √(∑∆2×P/n) / (√∑P) = √[(∑∆2×P) / n×(∑P)] M0 = √[ (∆12P1 + ∆22P2 +… + ∆n2Pn) / n×(P1 + P2 + … + Pn) ] – формула Гаусса, средняя квадратическая погрешность общей арифметической середины равна корню квадратному из дроби, в числителе которой сумма произведений квадратов погрешностей неравноточных измерений на их веса, а знаменатель – произведение количества измерений на сумму их весов. µ = √ [∑( V2×P ) / (n-1)] Это формула Бесселя для вычисления средней арифметической погрешности с измерением веса, равным 1 для ряда неравноточных измерений по их вероятнейшим погрешностям. Она справедлива для большого ряда измерений, а для ограниченного (часто на практике) содержит погрешности: mµ = µ / [2×(n-1)] – это надёжность оценки µ. Контрольная задача 1 Для исследования теодолита им был многократно измерен один и тот же угол. Результаты оказались следующими: 39˚17.4'; 39˚16.8'; 39˚16.6'; 39˚16.2'; 39˚15.5'; 39˚15.8'; 39˚16.3'; 39˚16.2'. Тот же угол был измерен высокоточным угломерным прибором, что дало результат 39˚16'42". Приняв это значение за точное, вычислить среднюю квадратическую погрешность, определить надёжность СКП, найти предельную погрешность. Решение:
39˚16'42" = 39˚16.7' Средняя квадратическая погрешность: m = √([∆2]/n), m = √(3.42/8) = 0.65'. Оценка надёжности СКП: mm = m / √2n, mm = 0.65 / √16=0.1625≈0.16'. Предельная погрешность: ∆пр = 3×m, ∆пр = 3×0.65' = 1.96' Контрольная задача 2 Дана совокупность невязок треугольников триангуляции объёмом 50 единиц. Считая невязки истинными погрешностями, вычислить среднюю квадратическую погрешность и произвести надёжность СКП, вычислить предельную погрешность. На данной совокупности проверить свойство случайных погрешностей: Lim[∆] / n =0, для чего вычислить W = [W] / n.
Решение: W = [W] / n, W = +2,51 / 50 = 0,05 Среднюю квадратическую погрешность в данном случае целесообразно вычислять по формуле: m = √( [W2] – [W]2/n ) ÷ (n-1), m = √( 76,5703 – (2,512)/50) ÷ 49 = 1,249 Оценку надёжности СКП по формуле: mm = m / √2(n-1), mm = 1,249/ √(2×49) = 0,13. Предельная погрешность по формуле: ∆пр = 3×m, ∆пр = 3×1,249= 3,747. Контрольная задача 5 |