Погрешность измерения

Название	Погрешность измерения
Анкор	shpory_Stepanov.docx
Дата	12.08.2018
Размер	301.01 Kb.
Формат файла
Имя файла	shpory_Stepanov.docx
Тип	Документы #22866
страница	1 из 3

1 2 3

1. Погрешность измерения — оценка отклонения измеренного значения величины от её истинного значения. Погрешность измерения является характеристикой (мерой)точности измерения. а) неустранимые: 1, погрешность исходных данных, 2. Погрешность математической модели. б)полные: 1. Неустранимая, 2.Метода, 3.Вычислительная.
В зависимости от характеристик измеряемой величины для определения погрешности измерений используют различные методы.
Метод Корнфельда, заключается в выборе доверительного интервала в пределах от минимального до максимального результата измерений, и погрешность как половина разности между максимальным и минимальным результатом измерения:

Абсолютная погрешность —  является оценкой абсолютной ошибки измерения
Относительная погрешность — погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или среднему значению измеряемой величины (РМГ 29-99): , .
Инструментальные / приборные погрешности — погрешности, которые определяются погрешностями применяемых средств измерений и вызываются несовершенством принципа действия, неточностью градуировки шкалы, ненаглядностью прибора.
Методические погрешности — погрешности, обусловленные несовершенством метода, а также упрощениями, положенными в основу методики.
Субъективные / операторные / личные погрешности — погрешности, обусловленные степенью внимательности, сосредоточенности, подготовленности и другими качествами оператора.

Случайная погрешность — составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом в серии повторных измерений одной и той же величины, проведенных в одних и тех же условиях.
Систематическая погрешность — погрешность, изменяющаяся во времени по определённому закону (частным случаем является постоянная погрешность, не изменяющаяся с течением времени). Систематические погрешности могут быть связаны с ошибками приборов (неправильная шкала, калибровка и т. п.), неучтёнными экспериментатором.
Прогрессирующая (дрейфовая) погрешность — непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени. Она представляет собой нестационарный случайный процесс.
Грубая погрешность (промах) — погрешность, возникшая вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры

2. Основная задача теории погрешностей состоит в том, чтобы определить по известным погрешностям параметров погрешность функции от этих параметров.
Пусть задана дифференцируемая функция  и пусть  - абсолютные погрешности аргументов. Тогда абсолютная погрешность функции (формула Лагранжа):

$\mathsf{{\vartriangle y^{*}}={\left| {y-y^{*}}\right|}\le{{\sum_{i=1}^n \left| { \frac{\partial f(x^{*}_{1},...,x^{*}_{n})}{\partial x_{i}} }\right|\vartriangle x^{*}_{i}}}}$

При зависимости функции от одного параметра:

$\mathsf{{\vartriangle y^{*}}={{\left|{f\'(x^{*})}\right|\vartriangle x^{*}}}}$

Предельной абсолютной погрешностью функции называют следующую оценку погрешности величины :

$\mathsf{{\vartriangle y^{*}}={sup {{\begin{matrix} {max} \\ {\left( {x,..., x_{n}} \right) \in g}\end{matrix}}}\left| {y(x_{1},...,x_{n})-y^{*}} \right|}}$

Пусть задана дифференцируемая функция  и пусть  - относительные погрешности аргументов. Тогда относительная погрешность функции:

$\mathsf{\vartriangle y^{*}}={\left| {y-y^{*}}\right|}\le{{\sum_{j=1}^n \left| { \frac{\partial f(x^{*}_{1},...,x^{*}_{n})}{\partial x_{i}} }\right|\vartriangle x^{*}_{i}}}$ или $\mathsf{{ \delta y}={{\sum_{i=1}^n \left| { x_{i} \frac{\partial ln (y)}{\partial x_{i}} }\right| \delta x_{i}}}}$

Предельной относительной погрешностью функции называю величину .

Рассмотрим частные случаи.

Предельная абсолютная погрешность суммы равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых:

$\mathsf{{\vartriangle y^{*}}={\sum_{i=1}^n \vartriangle_{x_{i}}}}$

Формула дает максимально возможное значение предельной абсолютной погрешности суммы, которое достигается, если погрешность каждого слагаемого принимает наибольшее из возможных значений, и погрешности всех слагаемых имеют одинаковые знаки. При большом количестве слагаемых такое неблагоприятное стечение обстоятельств маловероятно. Погрешности отдельных слагаемых, как правило, имеют различные знаки и частично компенсируют друг друга.

Если все числа  одного знака (арифметическая сумма), и относительная погрешность удовлетворяет неравенству  становится очевидным, что для повышения точности суммы в первую очередь необходимо уточнить слагаемые с наибольшей относительной погрешностью. (Андреев-8)

Остановимся на вычислении предельной относительной погрешности разности. Пусть  и числа  разных знаков, тогда:

$\mathsf{{\delta y} ={{\vartriangle x_{1}+ \vartriangle x_{2}}\over{||x_{1}|-|x_{2}||}}}$

При малой абсолютной погрешности близких чисел  относительная погрешность их разности может быть весьма большой. Это явление называется потерей точности при вычитании близких чисел.При приближенных вычислениях следует избегать вычитания близких чисел, преобразовывая выражения, приводящие к подобным операциям.

Погрешность степенного выражения  расчитывается следующим образом:

$\mathsf{{ \delta y} ={{|p_{1}|\vartriangle_{x_{1}}\over{|a_{1}|}} +...+{{|p_{k}|\vartriangle_{x_{k}}}\over{|a_{k}|}}}={{|p_{1}| \delta_{x_{1}}} +...+{{|p_{k}| \delta_{x_{k}}}}}}$

Зная , предельную абсолютную погрешность можно найти по формуле .

Отметим несколько полезных следствий из полученной формулы:

1. Предельная относительная погрешность произведения равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей

2. , . При умножении приближенного числа на точный множитель  предельная относительная погрешность приближенного числа не меняется , а предельная абсолютная погрешность увеличивается в  раз \vartriangle _{y}.

3. , 1}" ALIGN=BOTTOM WIDTH=40 HEIGHT=11 BORDER=0>. Предельная относительная погрешность степени приближенного числа умножается на показатель степени .

4.  Предельная относительная погрешность корня из приближенного числа делится на показатель корня .

1 2 3