Погрешность измерения
![]()
|
3. Квадратурные формулы Ньютона – КотесаЗапишем квадратурное правило для равноотстоящих узлов: ![]() где ![]() При заданных значениях n коэффициенты принимаю следующие значения: Замечание: предпочтительно использовать формулы Ньютона – Котеса с малыми значениями n, а для уменьшения погрешности результата отрезок разбивается на достаточно большое число интервалов, и к каждому из них применяют квадратурную формулу с малым числом узлов, затем результаты складывают. 4. Квадратурная формула ГауссаПусть функция y=f(x) задана на промежутке [-1,1]. Нужно подобрать узлы квадратурного правила и коэффициенты так, чтобы квадратурная формула ![]() была точной для всех полиномов f(x) наивысшей степени m=2n-1, т.к. имеем 2m неизвестных ![]() ![]() ![]() Учитывая соотношение: ![]() ![]() Система (14) нелинейная, и ее исследование громоздко. Поэтому воспользуемся теоремой: для того чтобы квадратурная формула (13) интерполяционного типа была точна для всех многочленов степени не выше 2n-1, необходимо и достаточно, чтобы ее узлы xj были корнями многочлена n(x), ортогонального на [-1;1] к любому многочлену степени не выше n. Ортогональную систему многочленов, имеющих n различных действительных корней на [-1;1], образуют многочлены Лежандра ![]() Итак, в квадратурной формуле с n узлами, имеющей наивысшую степень точности 2n-1, узлы xj, j=1,...,n являются корнями многочлена Лежандра n-й степени, а из системы (14), зная xj, легко найдем Аj. Для произвольного интервала [a,b] сделаем замену ![]() ![]() 5. Метод Монте-КарлоМетоды решения задач, использующие случайные величины, называются методами Монте-Карло. Пусть методом Монте-Карло требуется вычислить m-кратный интеграл ![]() где функция f(x1,...,xm) задана в ограниченной замкнутой области S, а эта область заключена в m-мерном параллелепипеде ![]() ![]() Тогда интеграл (17) перепишется в виде ![]() где ![]() Выберем m равномерно распределенных на [0,1] последовательностей случайных чисел ![]() ![]() ![]() Если взять достаточно большое число n точек из области , то приближенно можно считать ![]() тогда выражение (18) можно переписать в виде ![]() здесь – объем области интегрирования. Если вычисление объема затруднительно, то можно считать, что ![]() ![]() Часть 5. 1. Необходимое условие экстремума Это условие совершенно аналогично необходимому условию экстремума функции одной или нескольких переменных. Допустим, что некоторая функция ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда для любой ![]() ![]() В самом деле, пусть для определенности при ![]() ![]() ![]() Однако при малых |k| левая часть должна быть положительной, а правая имеет знак k,т.е. может быть как больше нуля, так и меньше нуля. Полученное противоречие и доказывает необходимость условия (18). Как видно из описания постановок задач вариационного исчисления в конкретных задачах часто рассматривается экстремум функционала не среди всех функций, составляющих определенное функциональное пространство, а только среди функций, удовлетворяющих некоторым добавочным линейным неоднородным условиям, например ![]() ![]() В этом случае условие (18) должно выполняться для любой вариации δу, удовлетворяющей соответствующим однородным условиям, т.е. для условий (19) ![]() ![]() В самом деле, для таких δу функция y+kδyтакже удовлетворяет условиям (19), а потому можно повторить то же доказательство, что было приведено выше для (18). Линейные неоднородные условия определяют в пространстве (R) гиперплоскость (речь идет о гиперплоскостях в бесконечномерном функциональном пространстве). Если ставится задача об экстремуме функционала на некотором криволинейном многообразии (S) пространства (R), то, проводя линеаризацию в точке экстремума, получим, что условие (18) должно выполняться для любой y, принадлежащей касательной гиперплоскости к (S), проведенной в точке экстремума. Уравнение Эйлера Во многих задачах удается, пользуясь необходимым условием экстремума, найти искомое решение у(x). Однако форма (18) этого условия не совсем удобна, так как она включает в себя произвольную функцию δу. Поэтому необходимое условие преобразуют к другой, равносильной форме, содержащей только искомое решение. Такое преобразование различно для разных классов функционалов, и дальнейшее содержание в основном посвящено рассмотрению этих классов. Необходимое условие, получающееся для решения, обычно состоит из двух частей: из уравнения Эйлера (обычно дифференциального), которому решение должно удовлетворять внутри области своего определения, и из добавочных граничных условий, которые могут быть частично заданы заранее, а частично – выведены из условия (18). |