Сфера и шар
В курсе планиметрии вы познакомились с понятием окружности и круга.
Вспомним, что окружность — это множество точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки (центр окружности).
Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью.
|
Окружность- множество точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки..
Круг-часть плоскости внутри окружности.
|
Аналогично понятию окружности на плоскости вводится понятие сферы в пространстве.
Поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, называется сферой.
|
Сфера- поверхность, состоящая из всех точек пространства , расположенных на заданном расстоянии от данной точки
|
Данная точка — центр сферы (на рисунке точка О).
Данное расстояние — радиус сферы (на рисунке — отрезок ОС).
Радиусом сферы также называют отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой сферы.
Диаметром сферы называют отрезок, проходящий через центр и любые две точки сферы (на рисунке — отрезок DC).
Аналогично диаметру окружности, диаметр сферы равен двум радиусам.
|
О- центр сферы.
ОС- радиус сферы R.
DC-диаметр сферы D.
D=2R
|
Шаром называется тело, ограниченное сферой.
Существует и другое определение шара — шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.
Очевидно, что центр, радиус, диаметр сферы являются центром, радиусом, диаметром шара.
|
Шар -тело, ограниченное сферой.
Или:
Шар радиуса R с центром в точке О -тело, содержащее все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.
Центр, радиус, диаметр сферы -центр, радиус, диаметр шара.
|
Сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг её диаметра, а шар — вращением полукруга вокруг его диаметра.
|
Сфера получена вращением полуокружности АСВ вокруг её диаметра АВ.
|
Разберём несколько задач, применяя полученные знания.
Задача 1.
Точки А и В лежат на сфере с центром О, О не лежит на отрезке АВ. Доказать, что если М — середина отрезка АВ, то ОМ┴АВ.
Доказательство:
1.АО=ОВ как радиусы, АМ=МВ — по условию, тогда треугольник АОВ – равнобедренный.
2.Отрезок ОМ — медиана треугольника АОВ.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой, поэтому ОМ┴АВ.
Таким образом, мы доказали, что если М — середина отрезка АВ, то ОМ┴АВ.
Что и требовалось доказать.
|
Дано: А и В∈ сфере, О∉АВ, АМ=МВ
Доказать: ОМ┴АВ
Доказательство:
1. АО=ОВ= R
АМ=МВ (по условию) Δ АОВ-равнобедренный.
2.ОМ-медиана ΔАОВ ОМ-высота
ОМ┴АВ
Ч.т.д.
|
Задача 2.
Точки А и В лежат на сфере радиусом R. Найти расстояние от центра сферы до прямой АВ, если АВ=m.
Решение:
1.Дополнительное построение: проведём плоскость через точки А, В и О (центр сферы).
В сечении получим окружность радиуса r.
2.Треугольник АОВ — равнобедренный, так как АО и ОВ — радиусы.
Дополнительное построение: проведём высоту ОМ, которая является и медианой.
ОМ — искомое расстояние от центра сферы до прямой АВ.
Найдём его.
3.Поскольку АВ=m, ОМ — медиана, то
МА=МВ=
4. Найдём ОМ из прямоугольного треугольника АОМ по теореме Пифагора:
ОМ= = =
Итак, расстояние от центра сферы до прямой АВ равно
|
Дано: А и В ∈сфере, R-радиус, АВ=m
Найти: расстояние от центра сферы до прямой АВ.
Решение:
1.Д.п. проведём плоскость АВО
Сечение- окружность радиуса r.
2.Δ АОВ-равнобедренный (АО = ОВ-радиусы).
Д.п. ОМ-высота, медиана.
ОМ-расстояние от точки О до прямой АВ.
3. АВ=m, ОМ-медиана МА=МВ=
4.ΔАОМ-прямоугольный.
По теореме Пифагора:
ОМ= = =
Ответ: ОМ=
| |
Скачать 186 Kb.