Лекция 3. В. Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем
 Скачать 0.65 Mb.
|
|
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru 3. Случайные сигналы и помехи в радиотехнических системах 3.1. Случайные процессы и их основные характеристики Помехой называют стороннее колебание, затрудняющее приѐм и обработку сигнала. Помехи могут иметь искусственное или естественное происхождение. В статистической теории ра- диотехнических систем, где оцениваются потенциальные воз- можности систем, рассматриваются, главным образом, помехи естественного происхождения – флуктуационные шумы, пред- ставляющие собой результирующий эффект очень большого чис- ла часто следующих элементарных импульсов, налагающихся друг на друга. Математическим описанием шума является случайный про- цесс. Каждое возможное проявление случайного процесса явля- ется детерминированной функцией времени и называется его реализацией. Случайный процесс рассматривается как совокуп- ность (ансамбль) своих реализаций. Какая именно из реализаций будет задействована в каждом конкретном опыте с участием слу- чайного процесса неизвестно. В дальнейшем для обозначения случайного процесса (или случайных величин) будет использо- ваться жирный шрифт, а реализации случайного процесса (или значения случайных величин) будут обозначаться той же буквой в обычном написании. Таким образом , (3.1) где - обозначает случайный процесс, а – его i-я реали- зация. Там, где не имеет значения, какая именно реализация слу- чайного процесса рассматривается, индекс будет опускаться. Теоретически предполагается, что случайный процесс включает бесконечно много реализаций. В качестве примера на рис.3.1 показаны несколько фрагментов реализаций флуктуаци- онного случайного процесса. Реализации флуктуационного слу- чайного процесса имеют вид непрерывных, неограниченных во времени функций. Значение случайного процесса, зафиксированное в некото- рый момент времени называется выборкой (отсчѐтом, сечени- ем) случайного процесса. Выборка флуктуационного случайного процесса является непрерывной случайной величиной В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru (3.2) 0 t ( ) t 1 t ( ) t 2 t ( ) t Рис.3.1. Примеры реализаций случайного процесса Случайный процесс описывается - мерной плотностью распределения вероятности (ПРВ) , (3.3) которая определяется вероятностью того, что выборки процесса в моменты времени заключены в интервалах – мерная плотность вероятности случайного процесса является совместной плотностью вероятности его выбо- рок в различные моменты времени и в общем случае зависит от того, в какие моменты времени рассматривается процесс. Для уменьшения громоздкости зависимость от при обо- В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru значении ПРВ в дальнейшем будет указываться лишь при необ- ходимости. Плотность вероятности обладает следующими свойствами: 1. Положительной определѐнности ; (3.4) 2. Нормировки ; (3.5) 3. Симметрии ; (3.6) 4. Согласованности (3.7) 5. Вероятность того, что выборки случайного процесса принима- ют значения, заключѐнные в интервалах равна ; (3.8) 6. Если выборки процесса независимы, то многомерная ПРВ оп- ределяется одномерными (3.9) Отметим, что одномерные ПРВ выборок процесса в различные моменты времени в общем случае могут быть различными. Плотность распределения вероятности, рассматриваемая при условии, что произошло какое либо событие называется ус- ловной плотностью распределения вероятностей. Например, если это событие заключается в том, что случайная величина приня- ла значение , для совместной плотности вероятно- сти процесса и величины можно записать , (3.10) где - плотность вероятности случайного про- цесса при условии, что ; - плотность вероятности случайной величины . В частном случае, когда условное событие заключается в том, что в момент времени выборка процесса приняла значение , (3.10) можем переписать в виде: (3.11) Интегральной характеристикой случайного процесса явля- В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru ется функция распределения вероятностей (ФРВ) , (3.12) которая определяется вероятностью совместного наступления со- бытий, заключающихся в том, что выборки процесса в мо- менты времени принимают значения меньшие, чем . Функция распределения и плотность вероятности связа- ны между собою соотношениями: , (3.13) Отметим некоторые свойства ФРВ: 1. ; (3.14) 2. ; (3.15) 3. ; (3.16) 4. ; (3.17) 5. ; (3.18) 6. (3.19) t ( ) m t ( ) m t ( ) m t ( ) t Рис.3.2. Реализации случайного процесса с постоянной дисперсией Простыми, но информативными характеристиками случай- ного процесса являются его математическое ожидание и диспер- сия. Математическое ожидание является детерминирован- В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru ной функцией, график которой отражает наиболее вероятную тенденцию временного поведения процесса. Дисперсия ха- рактеризует разброс значений случайного процесса относительно математического ожидания. В качестве примера на рис.3.2 пока- заны несколько реализаций случайного процесса с постоянной дисперсией, график его математического ожидания и графики функций . Дисперсия определяет «коридор» , в котором наиболее вероятно принимают значения наибольшее число реализаций случайного процесса. Математическое ожидание случайного процесса определя- ется его одномерной ПРВ (3.20) В общем случае случайный процесс можно представить в виде наложения детерминированной составляющей и центриро- ванного случайного процесса , имеющего нулевое математи- ческое ожидание: (3.21) Сформулируем основные свойства математического ожидания. 1. Математическое ожидание инвариантно относительно детер- минированной функции (3.22) 2. Математическое ожидание линейно , (3.23) где - коэффициенты; – случайные процес- сы. 3. Для независимых случайных процессов (3.24) 4. Математическое ожидание функции от случайного процесса (3.25) Дисперсия случайного процесса представляет собой математиче- ское ожидание квадрата модуля центрированного случайного процесса (3.26) В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru Перечислим основные свойства дисперсии. 1. Дисперсия детерминированной функции равна нулю (3.27) 2. При умножении случайного процесса на число дис- персия умножается на квадрат модуля этого числа (3.28) 3. При сложении или вычитании двух независимых случайных процессов и их дисперсии складываются (3.29) Степень подобия двух случайных процессов и в различные моменты времени характеризуется их взаимной кор- реляционной функцией (3.30) Случайные процессы, для которых взаимная корреляционная функция равна нулю, называются некоррелированными. Как сле- дует из (3.24), независимые случайные процессы являются не- коррелированными. Обратное утверждение в общем случае явля- ется не верным. Когда рассматривается один и тот же случайный процесс, (3.30) определяет автокорреляционную функцию и характеризует взаимосвязь его значений, взятых в различные моменты времени: (3.31) Автокорреляционная функция случайного процесса обладает со- пряжѐнной симметрией относительно своих аргументов, при их равенстве совпадает с дисперсией: , (3.32) Важным классом случайных процессов являются стацио- нарные. Случайный процесс называется стационарным в узком смысле, если его ПРВ не изменяется при любом сдвиге всей группы точек . Характеристики такого процесса не изме- няются при изменении начала отсчѐта времени. Такой процесс ведѐт себя во времени однородно. При этом: 1. одномерная ПРВ не зависит от времени ; (3.33) 2. двумерная ПРВ зависит только от разности ; (3.34) В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru 3. математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени , (3.35) 4. автокорреляционная функция зависит только от разности , (3.36) обладает свойством сопряжѐнной симметрии , (3.37) принимает максимальное по модулю значение, равное дисперсии, в нуле , (3.38) Если для случайного процесса выполняются только условия 3 и 4, то он называется стационарным в широком смысле. Спектральной плотностью мощности стационарного слу- чайного процесса называется преобразование Фурье его автокор- реляционной функции (3.39) Корреляционная функция может быть определена с помощью об- ратного преобразования Фурье спектральной плотности мощно- сти (3.40) Стационарные процессы имеют место в установившихся режимах работы систем при неизменных внешних условиях. В дальнейшем будут рассматриваться только стационарные слу- чайные процессы. 3.2. Гауссов (нормальный) случайный процесс На рис.3.1 в качестве примера показаны три реализации га- уссова случайного процесса. Одномерная ПРВ гауссова случай- ного процесса описывается выражением , (3.41) где , - математическое ожидание и дисперсия. Функция распределения вероятностей гауссова процесса имеет вид: В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru , (3.42) где – интеграл вероятностей. Интеграл вероятностей определяет ФРВ Гаусса при единичной дисперсии и нулевом математическом ожидании, в элементарных функциях не выражается. Для практических расчѐтов могут быть использованы таблицы значений интеграла вероятностей, приво- димые в справочниках, или аппроксимации для прямой (3.43) и обратной функции , (3.44) где . Графики ПРВ и ФРВ Гаусса при нулевом математическом ожидании и единичной дисперсии показаны на рис.3.3. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 0.1 0.2 0.3 0.4 w x ( ) x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 F x ( ) x Рис.3.3 ПРВ и ФРВ Гаусса В большинстве практических случаев плотность распреде- ления вероятности флуктуационного случайного процесса явля- В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru ется гауссовой. Это связано с тем, что такие случайные процессы являются результатом совместного действия большого количест- ва различных факторов, каждый из которых вносит примерно одинаковый вклад. При этом оказываются выполненными усло- вия центральной предельной теоремы теории вероятностей, что и определяет неограниченное приближение ПРВ к гауссовой. Гауссов закон распределения инвариантен по отношению к линейным преобразованиям случайного процесса, более того, при линейном инерционном преобразовании происходит нормализа- ция случайного процесса: ПРВ отклика линейной инерционной системы приближается к гауссовой, независимо от того, какую ПРВ имел преобразуемый случайный процесс. Чем больше по- стоянная времени инерционной системы по сравнению с интер- валом корреляции случайного процесса, определяемым шириной его автокорреляционной функции, тем сильнее проявляется эф- фект нормализации. Можно показать, что для гауссова процесса некоррелиро- ванность выборок означает их независимость. 3.3. Релеевский процесс Рассмотрим нелинейное преобразование независимых ста- ционарных гауссовых процессов и с одинаковыми дис- персиями в процессы и вида , (3.45) Обратному преобразованию: , (3.46) соответствуют функции , (3.47) и якобиан преобразования (3.48) Совместная плотность распределения вероятностей получаемых в результате преобразования случайных процессов: (3.49) В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru Запишем выражения для одномерных ПРВ процессов и : , (3.50) Так как рассматриваемые случайные процессы независимы, их совместную ПРВ можно представить в виде: Подставив это выражение в (3.49), запишем Представим и в виде: , , где , . (3.51) Тогда и выражение для со- вместной ПРВ процессов и принимает вид: (3.52) Определим плотность распределения вероятностей процесса , используя свойство согласованности для ПРВ (3.7), исклю- чая параметр : (3.53) Интеграл, входящий в (3.53), связан с функцией Бесселя нулевого порядка от мни- мого аргумента , (3.54) где результат интегрирования не зависит от . График функции Бесселя показан на рис.3.4. В некоторых случаях оказывается удобным пользоваться еѐ аппроксимацией: 0 1 2 3 4 2 4 6 8 10 12 I 0 z ( ) z Рис.3.4. График функции Бесселя В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru (3.55) Относительная погрешность аппроксимации (3.55) не превышает 3%. С учѐтом (3.54) (3.56) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 w 0 2 1 3 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 F 0 1 2 3 5 Рис.3.5.Графики ПРВ и ФРВ Райса. Полученная ПРВ называется распределением Райса (или обоб- В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru щѐнным распределением Релея). Параметры и в данном случае не являются математическим ожиданием и дисперсией. Интегральная функция обобщѐнного распределения Релея (3.57) в элементарных функциях не выражается и рассчитывается чис- ленно, либо с использованием справочных таблиц и графиков. Графики ПРВ и ФРВ Райса показаны на рис.3.5. Значения параметра указаны около соответствующей кри- вой. Когда ПРВ и ФРВ Райса удовлетворительно аппрок- симируются гауссовым законом c параметрами и , (3.58) Графики аппроксимирующих функций для показаны на рис.3.5 пунктиром. t ( ) t Рис.3.6. Пример реализаций релеевского процесса. В частном случае, когда , (3.59) распределение Райса (3.56) переходит в распределение Релея: , (3.60) которому соответствует ФРВ, математическое ожидание и дис- персия: В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru , , (3.61) График ПРВ и ФРВ Релея на рис.3.5 соответствует случаю В качестве примера на рис.3.6 показано несколько реализа- ций релеевского процесса. Вернѐмся к (3.52) при условии (3.59) , (3.62) и определим ПРВ процесса : (3.63) В рассматриваемом частном случае случайный процесс име- ет равномерное распределение на интервале , более того , (3.64) то есть случайные процессы и независимы. 3.4. Узкополосные случайные процессы Узкополосным называется случайный процесс, ширина спектра мощности которого гораздо меньше центральной частоты спектра (3.65) Пример реализации узкополосного случайного процесса показан на рис.3.7 (пунктиром показана огибающая реализации). t ( ) t Рис.3.7. Пример реализации узкополосного случайного процесса Узкополосный случайный процесс описывается выражением , (3.66) В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru где - огибающая случайного процесса, - мгновенная фаза, . Выражение (3.66) нетрудно преобразовать к виду , (3.67) где ; . Найдѐм одномерные ПРВ которые имеют процессы , , , , когда узкополосный является стационар- ным гауссовым случайным процессом с нулевым математиче- ским ожиданием и дисперсией , а случайные процессы и - взаимно независимые. Как видно из (3.67) является линейной комбинацией процессов и , поэтому они также должны быть стацио- нарными. Выборки процесса в моменты времени , удовле- творяющие уравнению , (3.68) совпадают с выборками узкополосного процесса (3.69) Следовательно, в моменты времени совпадают и ПРВ процес- сов и . Поскольку рассматриваются стационарные про- цессы, то одномерная ПРВ не зависит от времени. Таким образом ПРВ рассматриваемых процессов совпадают и является га- уссовым случайным процессом с нулевым средним и дисперсией Аналогично, рассматривая выборки процесса в момен- ты времени , удовлетворяющие уравнению , (3.70) нетрудно установить, что является гауссовым случайным процессом с нулевым средним и дисперсией Рассмотрим взаимную корреляционную функцию процессов и в один и тот же момент времени (3.71) В силу независимости и , используя свойства математи- ческого ожидания (3.24) и (3.25), выражение (3.71) продолжим в В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru виде: (3.72) При любой чѐтно-симметричной ПРВ , (3.73) интеграл в (3.72) равен нулю и случайные процессы и являются не коррелированными в один и тот же момент времени. Так как они гауссовы, то некоррелированность для них означает и независимость. При выполнении условия (3.73) случайные процессы и , получаются нелинейным преобразованием независимых га- уссовых величин с нулевым математическим ожиданием и оди- наковой дисперсией вида (3.45), и, как установлено в п.3.3, имеет распределение Релея (3.60) с параметром , а имеет равномерное распределение (3.63). 3.5. Квазидетерминированные сигналы В радиотехнических системах сигнал, распространяясь от радиопередающего устройства к приѐмному, не только подверга- ется воздействию помех, но и искажается в результате взаимо- действия с локальными неоднородностями среды распростране- ния, еѐ временной нестабильности, зависимости параметров от времени суток и погодных условий. В большинстве случаев эти искажения проявляются в случайных изменениях амплитуды и фазы сигнала из-за наличия областей с различной оптической плотностью, показателем поглощения и рассеивания на пути рас- пространения сигнала, а также в результате многолучевого рас- пространения. Амплитуда и фаза сигнала непредсказуемо изме- няются и при отражении сигнала от радиолокационной цели и за- висят от еѐ конфигурации, угла облучения, эффективной поверх- ности рассеивания. Для учѐта указанных явлений сигнал на входе приѐмного устройства представляют в виде стационарного гауссова случай- ного процесса с нулевым математическим ожиданием и диспер- сией , (3.74) В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru где и – независимые случайные величины. имеет распреде- ление Релея (3.60) с параметром , – равномерно распределена на интервале . , - детерминированные функции, которые определяют огибающую и мгновенную фазу сигнала, формируемого радиопередающим устройством, - частота не- сущего колебания. Выражение (3.74), описывающее сигнал со случайной амплитудой и фазой, является частным случаем (3.66). Сигнал со случайной амплитудой и фазой характеризуется средней энергией (3.75) Учтѐм, что начальная фаза несущего колебания является не энергетическим параметром, а математическое ожидание линей- но, тогда для средней энергии запишем , (3.76) где – энергия сигнала при Представляя случайную величину в виде и имея в виду свойства математического ожидания, запишем (3.77) Выражения для математического ожидания и дисперсии релеев- ской случайной величины даются (3.61) , , (3.78) Подставляя их в (3.77) и возвращаясь к (3.76), для средней энер- гии сигнала получим (3.79) Средняя энергия сигнала со случайной амплитудой и фазой равна энергии соответствующего детерминированного сигнала, когда его дисперсия (3.80) В случае, когда амплитуда сигнала известна, рассматривает- ся сигнал со случайной начальной фазой , (3.81) В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru где – равномерно распределена на интервале . Отметим, что в общем случае, (3.81) описывает стационарный случайный процесс лишь при определѐнных видах и , однако, при анализе его стационарность принимается приближѐнно. Сигналы вида (3.74) и (3.81) иногда называются квазиде- терминированными сигналами. 3.6. Белый и квазибелый шум При анализе преобразования случайных процессов линей- ными системами, когда в пределах амплитудно-частотной харак- теристики системы спектр мощности случайного процесса можно приблизительно считать постоянным, в качестве математической модели воздействия рассматривают белый или квазибелый шум. Белый шум – это случайный процесс с равномерным спектром мощности (3.82) Корреляционная функция белого шума: (3.83) Дисперсия рассматриваемого процесса беско- нечна. Это означает, что белый шум может рассматриваться лишь в качестве удобной математической абстракции, использование которой в ряде случаев упрощает решение различных задач. Поскольку корреляционная функция белого шума равна ну- лю при любых отличных от нуля значениях своего аргумента, то любые две выборки белого шума, соответствующие различным моментам времени, являются некоррелированными, а в случае, когда белый шум гауссов - независимыми. Квазибелым шумом называется случайный процесс , спектр мощности которого равномерен в пределах некоторой полосы частот и равен нулю вне этой полосы (3.84) Обратное преобразование Фурье от (3.84) даѐт автокорреляцион- ную функцию (3.85) Дисперсия квазибелого шума В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru (3.86) Графики спектральной плотности мощности и автокорреляцион- ной функции квазибелого шума показаны на рис.3.8. 10 5 0 5 10 0.5 1 R n n 2 m 2 1 0 1 2 N N 0 2 m Рис.3.8. Корреляционная функция и спектр мощности квазибелого шума. Корреляционная функция квазибелого шума обращается в нуль в точках , (3.87) где . Это означает, что выборки квазибелого шума, взятые с интервалом равным или кратным некоррелированы, а в слу- чае, когда квазибелый шум гауссов – независимы. Главная страница |