оптика. V. оптика
 Скачать 417.52 Kb.
|
|
только в центре экрана. Теперь перейдем к рассмотрению дифракции световой волны на круглом диске. На пути волны от точечного источника до экрана поставим преграду в виде круглого диска, как показано на рисунке. В этом случае при сложении векторов электрического поля, приходящих в точку Р от различных открытых зон Френеля, получается такой результат: 2 E 2 E E 2 E 2 E E E E 1 m 3 m 2 m 1 m 1 m 2 m 1 m + + + + + + + ≅ + + − + = + − = Если значение m невелико (m < 10), то 0 1 E 2 E E = ≅ . Это означает, что если диск закрывает небольшое число зон Френеля (хотя бы и четное), то картина на экране будет со светлым пятном в центре диска. Интенсивность в нем будет равна интенсивности, которая возникла бы в этой точке при полном отсутствии какой-либо преграды. При этом в остальных точках экрана будет наблюдаться чередование светлых и темных колец – обычная дифракционная картина. В истории физики это светлое пятно за диском известно как пятно Пуассона. Пуассон первым заметил, что по расчетам Френеля в центре экрана за диском должно быть светлое пятно. Это противоречило бытовавшим до этого взглядам на природу света. Араго тут же поставил эксперимент, который и подтвердил правоту Френеля. r 0 S a b Экран S a b Экран E E 0 V.6. Дифракция плоской волны на щели. Размер первой зоны Френеля играет важную роль как параметр, определяющий переход волновой оптики к геометрической оптике. Для случая падения плоской волны на круглое отверстие радиус первой зоны Френеля определяется по формуле (b – расстояние от отверстия до экрана) λ = b r 2 1 . Тогда величина m b d 2 ≈ λ по порядку величины дает число зон Френеля, которое умещается в отверстии. В зависимости от значения этой величины возможны три варианта: А) 1 b d 2 << λ . Размер отверстия много меньше размера 1 з.Ф. В этом случае наблюдается дифракция Фраунгофера. Б) 1 b d 2 ≈ λ . Размер отверстия сравним с размером 1 з.Ф. Наблюдается дифракция Френеля. В) 1 b d 2 >> λ . Размер отверстия гораздо больше 1 з.Ф. В этом случае дифракции практически нет и свет распространяется в виде лучей – геометрическая оптика. Теперь рассмотрим случай дифракции Фраунгофера на щели. Для наблюдения дифракции возьмем точечный источник света S и поместим его в фокусе собирающей линзы L 1 . После нее свет пойдет в виде плоской волны и на пути встретит преграду в виде плоскости с бесконечной щелью ширины АВ = b, расположенную перпендикулярно волне. За преградой дифрагированные лучи попадают на собирающую линзу L 2 , которая собирает все параллельные лучи в одной точке экрана, расположенного в фокальной плоскости этой линзы. В нашу задачу входит нахождение распределения интенсивности лучей, попадающих на экран. Для этого используем принцип Гюйгенса-Френеля и его математическое выражение. Рассмотрим некоторую точку экрана P. В ней собираются лучи, вышедшие из различных точек открытого волнового фронта (щели), но все они вышли из щели под одним и тем же углом θ , отсчитанном от перпендикуляра к преграде. Разобьем мысленно эту щель на очень узкие полоски шириной dx, а затем просуммируем вектора электрического поля волн, пришедших в точку P от этих полосок. Амплитуда электрического поля в точке Р будет пропорциональна площади излучателя, а значит dx. Поэтому амплитуду электрического поля в точке Р запишем так: dE m = E 0 * dx/b. Волна, пришедшая из точки с координатой x под углом θ , опережает по фазе волну, пришедшую из точки с координатой x = 0 на d ϕ = kx ⋅ sin θ (см. рисунок). Тогда отвлекаясь от всех остальных множителей (не зависящих от x), запишем электрическое поле волны в точке P в виде (запись в комплексном виде; нам нужна только вещественная часть) α α = θ θ = = ∫ ∫ − θ − θ sin E ) dx sin k ( e sin k 1 b E Re dx e b E Re E Re * 2 / b 2 / b ) sin kx ( i 0 2 / b 2 / b sin ikx 0 0 S L 1 A B L 2 экран P 0 dx x θ В этой формуле буквой α обозначено выражение λ θ π = θ = α sin b 2 sin kb Тогда для интенсивности световой волны, попавшей в точку экрана P под углом θ , получаем следующее выражение 2 2 0 2 2 0 sin b sin b sin I sin I ) ( I λ θ π λ θ π = α α = θ График этой зависимости изображен на рисунке. Минимумы интенсивности будут наблюдаться в точках, в которых синус будет обращаться в ноль (кроме центральной точки): α = m π , m = ± 1, ± 2, ± 3, ± 4…... Расчет дает формулу для минимумов дифракционной картины: λ = θ ⋅ m sin b , m = ± 1, ± 2…. Для нахождения положения максимумов интенсивности света на экране необходимо вычислить производную от интенсивности и приравнять ее к нулю. В результате расчетов для максимумов интенсивности получается трансцендентное уравнение α = α tg или λ θ π = λ θ π sin b sin b tg Если плоская световая волна падает на щель наклонно под углом θ 0 к нормали, то разность хода между колебаниями, распространяющимися от краев щели под углом θ к нормали, будет равна ∆ = b(sin θ -sin θ 0 ), поэтому условие минимумов интенсивности изменится и примет вид λ = θ − θ m ) sin (sin b 0 , m = ± 1, ± 2…. V.7. Дифракционная решетка. Условие максимумов и минимумов интенсивности. Дифракционная решетка – это прибор для разложения световой волны в спектр и определение его спектрального состава. Дифракционные решетки бывают: 1) стеклянные, когда на прозрачной поверхности специальное устройство наносит штрихи. Такая ДР работает как на просвет, так и на отражение. 2) металлические, когда на полированной поверхности металла наносятся штрихи. Такая ДР работает только на отражение. Рассмотрим дифракционные свойства идеализированной ДР. Она представляет собой N бесконечных щелей шириной b в непрозрачном экране. Размер самой преграды между щелями a. Постоянной решетки называется величина d = b + a. Ширина всей ДР L ≈ 1 см, что гораздо меньше, чем расстояние от ДР до экрана. Наблюдение дифракционной картины происходит на экране, помещенном в фокальной плоскости линзы, или на экране, удаленном от решетки. В обоих случаях наблюдается дифракция в параллельных лучах. Световая волна падает на ДР перпендикулярно C A B D θ I( θ ) - λ /b 0 λ /b sin θ решетке, начало координат и отсчет фазы производится от середины ДР. Тогда для вторичных световых волн, идущих от открытых частей волнового фронта под углом θ , разность хода от соседних щелей равна d ⋅ sin θ , а разность фаз в этом случае равна θ λ π = θ = δ sin d 2 sin kd Найдем амплитуду электрического поля в точке P на экране, в которой собираются лучи от всех щелей, идущие под углом θ к нормали. Для этого используем результат, полученный в предыдущем параграфе для одной щели. Для центральной щели напряженность электрического поля в точке P будет равна (обозначения те же) α α = sin E E * 0 0 Тогда для остальных щелей с номерами ± 1, ± 2…. аналогичные величины равны δ − δ − δ − = = = 2 N i 0 2 / N 2 i 0 2 i 0 1 e E E ;....... e E E ; e E E Полное электрическое поле на экране будет суммой геометрической прогрессии ( ) 2 i 0 i iN 2 N i 0 2 N i i i 2 N i 0 e 2 sin 2 N sin E e 1 e 1 e E e e 1 e e E E δ δ − δ − δ δ − δ − δ δ δ δ = − − = + + + + + + = Для интенсивности электрического поля волны в точке P на экране получаем δ δ α α = θ 2 sin 2 N sin sin I ) ( I 2 2 2 2 0 Напоминаем, что λ θ π = θ = α sin b 2 sin kb , а θ λ π = θ = δ sin d 2 sin kd С помощью этих формул можно определить максимумы и минимумы освещенности экрана. В центр экрана волны от различных щелей приходят в фазе. При этом если амплитуда электрического поля в центре экрана от одной щели E 0 , то от N щелей она будет в N раз больше. При этом интенсивность света в этой точке будет в N 2 раз больше, чем от одной щели. Аналогичная картина будет наблюдаться и в направлениях, для которых выполняется условие – разность хода волн, идущих от соседних щелей должна равняться целому числу длин волн: 3 , 2 , 1 , 0 m ; m sin d ± ± ± = λ = θ Точки экрана, для которых выполняются эти условия, дают положения главных максимумов интенсивности дифракционной картины. Для нахождения положения минимумов воспользуемся тем фактом, что первая дробь в формуле для интенсивности обращается в ноль при условии, которое было получено в предыдущем параграфе: 3 , 2 , 1 m ; m sin b 1 1 ± ± ± = λ = θ В этом направлении ни одна щель не излучает, поэтому такие минимумы носят название главных минимумов. Кроме главных минимумов на дифракционной картине имеются точки, в которых выполняется условие sin(N δ /2) = 0, а sin( δ /2) ≠ 0. При этом второй сомножитель в формуле для интенсивности обращается в ноль, что дает условие побочных (добавочных или второстепенных) минимумов: 1 N ,.... 2 , 1 p ...; 3 , 2 , 1 , 0 m ; N p m sin d − = ± ± ± = λ + = θ Действительно, рассмотрим промежуток углов θ между m и m-1. При этом значение δ /2 изменяется от 0 до π . Знаменатель второго сомножителя при этом не равен нулю, а числитель [sin(N δ /2)] обращается в нуль N-1 раз. Таким образом, в этом диапазоне углов (между двумя главными максимумами) будет находиться N-1 побочный минимум. V.8. Электромагнитная волна на границе раздела двух прозрачных сред. Законы отражения и преломления как следствия уравнений Максвелла. На границе раздела двух различных сред ход светового луча может измениться. Дело в том, что скорости распространения волны в этих средах будут различны. Математическое выражение этого факта – граничные условия, которым подчиняется световая волна. Если на границе раздела двух сред нет свободных зарядов ( σ = 0) и токов (j = 0), то 2 n 1 n 2 n 1 n 2 1 2 1 B B ; D D ; H H ; E E = = = = τ τ τ τ Из этих четырех формул только две независимы. Покажем это с помощью уравнений Максвелла. Нужное нам уравнение выглядит так: ∫ ∫ ∂ ∂ = S d t D l d H ! ! ! ! или ∫ ∫ = dS D dl H n l " Поэтому, если касательные к поверхности раздела компоненты вектора l H одинаковы в обеих средах, то и производные по времени от нормальных к поверхности раздела компонент вектора смещения n D должны быть одинаковы. Как мы уже знаем, для случая монохроматических сред ϕ = i 0 e D D ! ! и D i D ! "! ω = . Поэтому равенство производных означает и равенство самих величин. Аналогично доказывается эквивалентность первого и четвертого граничного условия. Итак, независимыми оказываются два граничных условия – первое и второе. Так как на плоскости у любого вектора две независимых проекции, то всего получается четыре независимых уравнения, связывающие вектора электрического и магнитного поля по обе стороны границы. Воспользуемся ими для получения законов отражения и преломления. Рассмотрим падение плоской волны естественного света на границу раздела двух прозрачных диэлектриков (диэлектрические проницаемости ε 1 и ε 2 ) под углом θ Обозначим волновые вектора падающей, отраженной и преломленной световых волн буквами k ! , k ′ ! и k ′′ ! . Все эти вектора лежат в одной плоскости, которую назовем плоскостью падения волны. Это следует из однородности каждой полу бесконечной среды. Выделим из естественного света одну плоскую линейнополяризованную монохроматическую волну. Тогда вектор электрического поля для нее в комплексном виде запишется так ) y k x k t ( i m ) r k t ( i m y x e E e E E − − ω − ω = = ! ! ! ! ! Поле в среде 1 состоит из полей падающей и отраженной волн ) y k x k t ( i ' m ) y k x k t ( i m 1 ' y ' x ' y x e E e E E E E α′ + − − ω − − ω + = ′ + = ! ! ! ! ! , а в среде 2 существует только преломленная волна ) y k x k t ( i '' m 2 '' y '' x e E E E α ′′ + − − ω′′ = ′′ = ! ! ! В нашу задачу входит нахождение связи между частотами, волновыми векторами и начальными фазами колебаний падающей, отраженной и преломленной волнах. Далее мы используем граничное условие 2 1 E E τ τ = для случая y = 0. Получаем следующее равенство ) x k t ( i '' m ) x k t ( i ' m ) x k t ( i m '' x ' x ' x e E e E e E α ′′ + − ω ′′ α′ + − ω τ − ω τ = + ! Сначала получим соотношение между частотами. Так как это равенство должно быть справедливо при любом x, то и при x = 0 оно сохраняется. Но тогда сумма двух гармонических функций будет тоже гармонической функцией. А это возможно только в случае, если у всех волн одна и та же частота. Итак, ω = ω ’ = ω ’’ Теперь перейдем к волновым векторам. Исходное равенство справедливо в любой момент времени, а значит справедливо и в момент t = 0. Кроме того, оно должно выполняться и в любой точке границе раздела (при любом x). Отсюда следует, что x k = x k ′ = x k ′′ или θ′′ ′′ = θ′ ′ = θ sin k sin k sin k Так как волновые вектора падающей и отраженной волн по модулю одинаковы, то мы получаем закон отражения θ′ = θ Используя соотношение k ′′ = 2 v ω , получаем закон преломления 21 1 2 2 1 n n n v v sin sin = = = θ′ θ Получили мы эти законы для одной линейно поляризованной волны, но по принципу суперпозиции можно из таких волн составить любую волну, в том числе и естественный свет. Поэтому эти законы выполняются для любой электромагнитной волны. Несколько слов скажем о явлении, названном полным внутренним отражением (ПВО). В законе преломления заложена возможность того, что в случае, когда n 2 < n 1 , значение sin θ ’ = 1, а числитель при этом меньше единицы. Это означает, что преломленная волна есть, но она идет вдоль границы раздела сред, не проходя во вторую среду. Условием этого является соотношение 1 2 1 2 ПВО n n ; n n sin < = θ V.9. Поляризация электромагнитной волны на границе раздела двух сред. Формулы Френеля. В этом параграфе мы рассмотрим падение волны естественного света на границу раздела двух прозрачных диэлектриков (диэлектрические проницаемости ε 1 и ε 2 ) с точки зрения поляризационных свойств ЭМВ. Естественный свет – неполяризованный. Его можно представить в виде двух взаимно перпендикулярно линейно поляризованных волн, фазы которых никак не связаны. Такие волны являются некогерентными. Обозначим электрическое поле таких волн буквами ⊥ E ! и II E ! Первый из векторов перпендикулярен плоскости падения световой волны, второй вектор параллелен этой плоскости. В силу некогерентности волн, закон их сложения таков: 2 II 2 2 E E E + = ⊥ В нашу задачу входит нахождение формул, связывающих электрические поля отраженной и падающей волны, а так же преломленной и падающей волны. Выделим из естественной волны одну из составляющих и найдем для нее искомые формулы. 1) Вектор E ! исходной волны лежит в плоскости падения. При этом вектор H ! перпендикулярен плоскости падения. Тогда граничные условия для касательных проекций векторов электрического и магнитного поля будут выглядеть так: E E 1 H H θ 1 θ 1 E 2 θ 2 H E II ⋅ cos θ 1 – E 1II ⋅ cos θ 1 = E 2II ⋅ cos θ 2 H ⊥ + H 1 ⊥ = H 2 ⊥ Воспользуемся связью векторов электрического поля и напряженностью магнитного поля в волне H = nc ε 0 E. Тогда система уравнений приобретает вид: 2 1 II 2 II 2 1 2 II 1 II 1 2 II 2 II 1 II sin sin E E n n E E cos cos E E E θ θ = = + θ θ = − Разделив первое равенство на второе, и приведя все к общему знаменателю, можно получить окончательное выражения параллельной составляющей электрического поля отраженной волны в этом случае: ) ( tg ) ( tg E E 2 1 2 1 II II 1 θ + θ θ − θ = После несложных вычислений можно получить формулу для преломленной волны: ) cos( ) sin( cos sin 2 E E 2 1 2 1 1 2 II II 2 θ − θ θ + θ θ θ = 2) Вектор E ! исходной волны перпендикулярен плоскости падения. При этом вектор H ! лежит в плоскости падения. Теперь граничные условия для касательных проекций векторов электрического и магнитного поля будут выглядеть так: E ⊥ + E 1 ⊥ = E 2 ⊥ H ⋅ cos θ 1 - H 1 ⋅ cos θ 1 = H 2 ⋅ cos θ 2 Проведя соответствующие вычисления, получаем формулы для электрического поля для отраженной и преломленной волн перпендикулярной к плоскости парения поляризации: ) sin( ) sin( E E 2 1 2 1 1 θ + θ θ − θ = ⊥ ⊥ ; ) sin( cos sin 2 E E 2 1 1 2 2 θ + θ θ θ = ⊥ ⊥ Для определения энергии отраженной волны и прошедшей волны вводятся понятия коэффициента отражения R и коэффициента пропускания T: 2 0 2 1 2 0 2 II 2 2 II 2 1 2 II 1 2 0 0 1 E E n n I I T ; R R E E E E E E I I R = = + = + + = = = ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ Анализ полученных формул показывает, что существует ситуация, когда параллельная плоскости падения компонента электрического поля в отраженной волне отсутствует. В этом случае отраженная волна оказывается линейно поляризованной. Условием этого является соотношение 2 2 1 π = θ + θ Угол падения, при котором в отраженной волне остается только ⊥ E , называется углом Брюстера. Для этого угла имеется соотношение 21 1 2 БР n n n tg = = ϕ H H 1 E ⊥ E 1 ⊥ θ 1 θ 1 H 2 θ 2 E 2 ⊥ Величина этого угла для перехода воздух-стекло θ БР = 57 0 V.10. Двойное лучепреломление. Электрическое поле в веществе (в том числе и поле ЭМВ) характеризуется векторами E ! и D ! . Для изотропных сред связь между этими величинами простая D ! = εε 0 E ! . В этой формуле ε - диэлектрическая проницаемость вещества, которая является в этом случае скаляром. В природе существуют вещества, имеющие анизотропные свойства. Это означает, что свойства таких веществ в различных направлениях различны. Для таких веществ связь между векторами E ! и D ! более сложная и осуществляется через тензор ) E E E ( D ) E E E ( D ) E E E ( D z zz y zy x zx 0 z z yz y yy x yx 0 y z xz y xy x xx 0 x ε + ε + ε ε = ε + ε + ε ε = ε + ε + ε ε = ⇒ ∑ ε ε = j j ij 0 i E D ;i = 1,2,3; j = 1,2,3. диэлектрической проницаемости ( ε ij ). Понятие тензора уже встречалось нам, когда мы изучали движение твердого тела (тензор инерции). Тогда мы рассмотрели основные свойства тензора. Из приведенных уравнений ясно, что вектора E ! и D ! могут быть не параллельны. Точная теория показывает, что тензор диэлектрической проницаемости должен быть симметричным - ε ij = ε ji . Кроме того, для каждого кристалла существует такая система координат, в которой тензор ( ε ij ) превращается в диагональный. Оси такой ε ε ε ⇒ ε ε ε ε ε ε ε ε ε z y x zz zy zx yz yy yx xz xy xx 0 0 0 0 0 0 системы координат называются главными осями кристалла. Для главных осей справедливо соотношение const z y x 2 z 2 y 2 x = ε + ε + ε Учитывая соотношение ε = n , получаем ( ) ( ) ( ) const z n y n x n 2 z 2 y 2 x = + + Это уравнение определяет фигуру, называемую эллипсоидом Френеля. У этого эллипсоида (как и любого другого) имеется два круговых сечения. Оси, перпендикулярные этим круговым сечениям, называются оптическими осями кристалла. В общем случае их две. Форма эллипсоида Френеля зависит от значения диагональных компонент тензора диэлектрической проницаемости кристалла. Если выполняется условие z y x ε ≠ ε = ε , то эллипсоид Френеля становится эллипсоидом вращения. В этом случае две различные оптические оси превращаются в одну и такой кристалл называют одноосным. При этом его оптическая ось совпадает с осью z. Получим общее уравнение для волн в одноосных кристаллах. Рассмотрим прохождение ЭМВ через не поглощающий немагнитный кристалл, в котором нет ни внесенных зарядов ( σ = 0), ни макроскопических токов (j = 0). Для получения искомых уравнений будем использовать систему уравнений Максвелла. Решение ее будем искать в виде плоской волны, как наиболее простое. Запишем уравнения Максвелла в дифференциальной форме и используем комплексную запись векторов электрического и магнитного полей ЭМВ: 0 B div ; 0 D div ; t B E rot ; t D H rot = = ∂ ∂ − = ∂ ∂ = ! ! ! ! ! ! ( ) ( ) r k t i 0 r k t i 0 e H H ; e E E ! ! ! ! ! ! ! ! − ω − ω = = Введем два единичных вектора – волновой k N ! и лучевой s N ! : [ ] s k N S H , E S ; N k k ! ! ! ! ! ! = = = После упрощений уравнения Максвелла приобретают следующий вид: 0 H N ; 0 D N ; E N v 1 H ; H N v 1 D k k k 0 k = = × µ = × − = ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! Анализируя полученные уравнения, можно получить соотношения между направлениями векторов, описывающих ЭМВ: H , E N ; H E ; N , E H ; H , N D s k k ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ Таким образом, в кристаллах групповая ( s N ! ) и фазовая ( k N ! ) скорости в общем случае по направлению не совпадают. Лучевой вектор – это вектор, в направлении которого распространяется максимум амплитуды волны. Он сонаправлен с вектором групповой скорости. Волновой же вектор перпендикулярен волновой поверхности и сонаправлен вектору фазовой скорости волны. Получается, что ЭМВ в кристаллах не совсем поперечная (направления всех векторов в волне показаны на рисунке). Объединяя первые два уравнения, получаем искомую связь векторов E ! и D ! в волне ( ) E N N n D k k 2 0 ! ! ! ! × × ε − = Раскроем двойное векторное произведение ( ) ) E N ( N E n D k k 2 0 ! ! ! ! ! − ε = Это и есть общее уравнение для нахождения всех оптических свойств кристаллов. Решать его в общем случае сложно. Но, рассматривая простые случаи, можно проиллюстрировать все основные законы оптики анизотропных сред. 1) Сначала покажем возможность возникновения эллиптической поляризации волны, распространяющейся в кристалле, если падающая волна была поляризована линейно. Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси y (N x = N z = 0; N y = 1). В этом случае при произвольном направлении плоскости поляризации волны у нее будут две проекции вектора E ! : E x и E z . Рассмотрим отдельно распространение этих компонент волны в кристалле. а) Пусть у вектора электрического поля волны будет одна компонента E x . Тогда 0 0 0 1 0 0 E E N x k = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ! ! Общее уравнение примет вид E n D 2 0 ! ! ε = . Кроме того, ∑ ε ε = j j ij 0 i E D . В результате получаем x 2 0 x xx 0 x E n E D ε = ε ε = . Тогда показатель преломления в этом случае равен xx n ε = , а скорость распространения волны такой поляризации xx x c v ε = б) Пусть у вектора электрического поля волны будет одна компонента E z . Тогда аналогичный расчет дает следующий результат: z 2 0 z zz 0 z E n E D ε = ε ε = . Скорость в этом случае равна zz z c v ε = |