оптика. V. оптика
 Скачать 417.52 Kb.
|
ГЛАВА V. ОПТИКА. V.1. Световая волна С точки зрения современной физики свет в одних явлениях ведет себя как электромагнитная волна (ЭМВ), в других явлениях – как частица. В этом разделе физики (оптика) изучается свет как ЭМВ. В любой ЭМВ есть электрическая E ! и магнитная H ! составляющие. Как показывает опыт, на человека влияние оказывает лишь электрическая составляющая ЭМВ. Поэтому далее будет основное внимание уделяться именно ей. Рассмотрим сферическую монохроматическую волну. Уравнение такой волны ) kr t cos( E E m α + − ω = ! ! , где ω - частота ЭМ колебаний в волне, k – модуль волнового вектора, а α - начальная фаза колебаний. Величина n = c/v называется абсолютным показателем преломления среды. В этой формуле k dt d v ω = ω = - фазовая скорость волны. Сравнивая полученную ранее формулу для фазовой скорости εµ = c v , получаем для показателя преломления εµ = n . Обычно у прозрачных сред магнитная проницаемость µ ≈ 1, поэтому ε = n . Значит, показатель преломления таких сред зависит только от диэлектрической проницаемости среды. Опыт показывает, что эта величина зависит от частоты ЭМВ. Это приводит к явлению, которое называется дисперсией. Монохроматическая ЭМВ характеризуется частотой или длиной волны, которые связаны простой формулой λ = с/ ω . Экспериментальные результаты обычно представляют зависимость различных величин от длины волны. Поэтому и мы приведем диапазон длин волн, которые относятся к ЭМВ видимого диапазона (световых волн) λ = 0.40 – 0.76 мкм. Другой характеристикой волны является ее энергия. Эта величина оценивается интенсивностью световой волны. По определению, это модуль средней по времени (за период) плотности потока энергии, проходящей через данную точку пространства. Интенсивность обозначается буквой I: [ ] H , E S I ! ! ! = = Мы уже знаем, как вычислить интенсивность монохроматической волны: [ ] ) kr t ( cos E ) kr t ( cos H E H , E 2 2 m 0 0 2 m m α + − ω µ ε ε = α + − ω = ! ! При вычислениях мы использовали одно из ранее изученных свойств ЭМВ. При усреднении по времени вместо квадрата косинуса появляется множитель ½: 2 1 dt ) kr t ( cos T 1 ) kr t ( cos T 0 2 2 = α + − ω = α + − ω ∫ Окончательно для интенсивности света получаем формулу 2 m 0 0 nE 2 1 I µ ε = Линии, вдоль которых распространяется световая волна, называются лучами. На луче вектор Пойнтинга S ! параллелен касательной к лучу. Свет, испускаемый обычными источниками, называется естественным. В естественном свете есть колебания вектора E ! во всех направлениях, перпендикулярных вектору k ! . В отличие от такого света, свет, в котором направления колебаний вектора E ! упорядочены каким-либо образом, называется поляризованным. Если колебания светового вектора происходят в одной плоскости, проходящей через луч, свет называется плоскополяризованным (линейно поляризованным). Если E ! , поворачиваясь относительно луча при движении волны, описывает в плоскости, перпендикулярной лучу, эллипс, то свет эллиптически поляризован, если круг – то поляризован по кругу. V.2. Групповая и фазовая скорости Итак, уравнение гармонической волны можно записать так ) r k t cos( E E m α + − ω = ! ! ! ! Величина, стоящая под знаком косинуса, называется фазой волны. Если волна распространяется вдоль оси z, то ее фаза изменяется по закону kz t − ω = Φ . Тогда фазовая скорость волны будет равна v = ω /k, причем λ =2 π /k. Если это монохроматическая волна, то с этой скоростью движется и поверхность постоянной фазы и максимум энергии. Но проблема состоит в том, что с помощью такой волны никакого сигнала не передать. Дело в том, что монохроматическая волна – это бесконечная последовательность горбов и впадин с одной частотой следования. А, как известно, если есть необходимость передать какую-либо информацию, то сигнал должен быть не такой. Он должен содержать уже несколько частот (гармоник). Оборванная монохроматическая волна перестает быть таковой и имеет сложный частотный спектр. Поэтому любая реальная волна представляет собой совокупность нескольких гармоник. В силу того, что диэлектрическая проницаемость большинства сред зависит от частоты, то получается, что разные гармоники будут двигаться с разной скоростью и форма волны при ее движении будет изменяться. Это явление (зависимость скорости ЭМВ от ее частоты) называется дисперсией. В этом случае вводится понятие групповой скорости. Под групповой скоростью светового импульса понимают скорость, с которой движется максимум его интенсивности m I ∼ 2 m nE . На рисунке изображен сигнал, состоящий из трех гармоник, в два момента времени (нормальная дисперсия). Групповая скорость важна еще и тем, что любой прибор регистрирует энергию волны, а это значит, что в первую очередь регистрирует максимум интенсивности. Получим формулу для групповой скорости. По сложившейся традиции получим ее на простейшем примере, а затем обобщим на любой случай. Рассмотрим волновой пакет (световой импульс), состоящий из двух гармоник с близкими частотами ω 1 и ω 2 и волновыми векторами k 1 и k 2 . Волны имеют одну поляризацию и распространяются в одном направлении: ) z k t cos( E E 1 1 0 1 − ω = ; ) z k t cos( E E 2 2 0 2 − ω = При сложении по принципу суперпозиции для электрического поля получаем + − ω + ω − − ω − ω = + = z 2 k k t 2 cos z 2 k k t 2 cos E 2 E E E 2 1 2 1 2 1 2 1 0 2 1 Такое образование и называется группой волн или волновым пакетом. Последний сомножитель можно рассматривать как монохроматическую волну, а остальные сомножители – как ее амплитуду. При этом максимум амплитуды этой волны будет двигаться со скоростью, которую можно определить из уравнения const z 2 k k t 2 2 1 2 1 ОГИБ = − − ω − ω = Φ Дифференцируя по времени, получаем 2 1 2 1 ГР k k v u dt dz − ω − ω = = = Общая же формула будет выглядеть так: k v u ГР ∂ ω ∂ = = Считая, что ω = vk, получаем связь групповой и фазовой скорости k k v v u ∂ ∂ + = Используя связь между волновым вектором и длиной волны (k=2 π / λ ), получаем формулу Релея λ λ ∂ ∂ − = v v u . Для различных сред существует три случая: 1) ∂ v/ ∂λ = 0. Это случай отсутствия дисперсии (вакуум, воздух, H 2 O). 2) ∂ v/ ∂λ > 0. Нормальная дисперсия - u < v ( стекло и большинство прозрачных сред). 3) ∂ v/ ∂λ < 0. Аномальная дисперсия –u > v ( сероуглерод). V.3. Интерференция. Когерентность Интерференцией называется изменение средней плотности потока энергии ( S ! ), обусловленное суперпозицией ЭМВ. Рассмотрим это явление на простейшем примере. Пусть в точке Р одновременно существуют две произвольные (в общем случае немонохроматические) ЭМВ 1 E ! и 2 E ! . В соответствии с принципом суперпозиции E ! = 1 E ! + 2 E ! и 2 1 2 2 2 1 2 E E 2 E E E ! ! + + = . Любой прибор регистрирует не мгновенное значение электрического поля (или потока энергии), а усредненное за время измерения значение. Глаз как измерительный прибор тоже не различает быстрых изменений светового потока. После усреднения последнего соотношения, получаем 2 1 2 2 2 1 2 E E 2 E E E ! ! + + = В зависимости от результата усреднения последнего слагаемого в правой части равенства может быть два различных случая: случай I) 2 1 2 2 2 1 2 I I I ; E E E + = + = ; интерференции нет случай II) 2 1 2 2 2 1 2 I I I ; E E E + ≠ + ≠ ; интерференция есть. Неравенство 0 E E 2 1 ≠ ! ! служит необходимым условием интерференции. Нарушение аддитивности интенсивности I связано не с нарушением закона сохранения энергии, а с перераспределением энергии по волновому фронту при взаимодействии волн. Из анализа формулы ясно, что если частоты волн различны, то интерферировать они не будут. Аналогичный результат получается для волн с взаимно перпендикулярными векторами электрического поля ( 2 1 E E ! ! ⊥ ). Рассмотрим простейший случай сложения двух ЭМВ одинаковой частоты ω , для которых 2 1 E E ! ! ↑↑ . В этом случае электрическое поле ЭМВ в точке Р можно записать так )) t ( t cos( E E )); t ( t cos( E E 2 20 2 1 10 1 ϕ − ω = ϕ − ω = Для сложения этих волн используем метод векторных диаграмм. С помощью диаграммы можно просто получить амплитуду результирующей волны 0 E ! и ее начальную фазу ϕ 0 : )) t ( ) t ( cos( E E 2 E E ) t ( E 1 2 20 10 2 20 2 10 2 0 ϕ − ϕ + + = ; ) t ( cos E ) t ( cos E ) t ( sin E ) t ( sin E tg 2 20 1 10 2 20 1 10 0 ϕ + ϕ ϕ + ϕ = ϕ В этих формулах стоят мгновенные значения величин. Как мы уже знаем, эти величины необходимо усреднить. Получаем формулу для вычисления квадрата амплитуды: dt )) t ( ) t ( cos( t 1 E E 2 E E dt ) t ( E t 1 E ' ' t 0 1 2 20 10 2 20 2 10 t 0 2 0 2 0 ∫ ∫ ϕ − ϕ ′ + + = ′ = Анализируя полученный ответ, можно получить необходимое условие интерференции: за время измерения t ’ разность фаз ϕ 1 - ϕ 2 должна сохранять свое значение. Волны, удовлетворяющие такому условию, называются когерентными. Дополнительным (достаточным) условием интерференции является равенство частот и неперпендикулярность 1 E ! и 2 E ! Для характеристики волны (а не регистрирующего прибора) используют понятия временной и пространственной когерентности. Временная когерентность ограничивается степенью немонохроматичности волны ω ω ∆ ; а пространственная когерентность ограничивается степенью непараллельности колебаний k k ! ∆ Создать когерентные источники для наблюдения и использования явления интерференции можно следующими способами: 1) Делением амплитуды волны. К таким устройствам относится интерферометр Майкельсона. 2) Делением волнового фронта. К таким устройствам относятся схема Юнга, бипризма Френеля, билинза Бийе, зеркало Ллойда, бизеркало Френеля. Рассмотрим интерференцию двух волн на примере схемы Юнга (на рисунке). Два точечных источника S 1 и S 2 излучают ЭМВ в направлении экрана Э. Для простоты будем считать, что амплитуды двух волн, приходящих в точку А экрана одинаковы и равны E 0 . Такие источники будут когерентны, если они являются источниками волн, рожденных от одной лампы накаливания и прошедших через малое отверстие в шторе. Расстояние между отверстиями (источниками) d должно быть мало по сравнению с расстоянием до экрана d << L. Кроме того интерференция волн на Э r 1 А S 1 x d O r 2 S 2 L E 0 E 20 ϕ 0 E 10 ϕ 2 (t) ось ϕ 1 (t) ∆ S m = S m – S m-1 . Из рисунка следует, что 2 m 2 m 2 m 2 2 m ) h b ( b ) h a ( a r + − = − − = или 2 m 2 m b m h ) b a ( 2 λ + λ = + Для не очень больших m (m ≅ 1) второе слагаемое можно не учитывать. Тогда для площади сферического сегмента, равной S = 2 π Rh, подготовлены формулы для всех сомножителей и λ + π = ∆ λ + π = b a ab S ; m b a ab S m m Необходимо отметить тот факт, что в этом приближении площади всех зон Френеля одинаковы. Теперь найдем радиус зоны с номером m: λ + = = m b a ab ah 2 r m m Так как волна сферическая (Е ∼ 1/r), то амплитуда электрического поля убывает по мере увеличения номера m (b m = b + m λ /2), поэтому Е 1 > Е 2 > Е 3 > ……, а суммарная амплитуда (в силу противофазности колебаний в волнах от соседних зон) получается как 2 E 2 E E 2 E 2 E E E E E E 1 3 2 1 1 4 3 2 1 ≅ + + − + = + − + − = При расчете использован тот факт, что выражение в скобках с достаточной степенью точности равно нулю. Таким образом оказывается, что если преграды на пути волны нет и открыт весь волновой фронт, то интенсивность света в точке Р 4 I 2 E E I 1 2 1 2 0 0 = = = в четыре раза меньше, чем в случае одной первой открытой зоны Френеля. Этот же результат можно изобразить графически. От горизонтальной оси откладываются в полярных координатах модули векторов E d ! от соседних точек волнового фронта. Второй координатой является разность фаз между волной, пришедшей в точку Р из некой точки волновой поверхности, и волной, пришедшей в точку Р из центра волновой поверхности. В результате кривая завивается в спираль, которая была названа спиралью Френеля. На рисунке изображены различные варианты построений векторов электрического поля в точке Р с помощью спирали. Используя эти идеи, можно увеличить интенсивность света в точке Р, используя зонные пластинки: фазовые и амплитудные. Фазовая пластинка устроена так, что все нечетные зоны Френеля оказываются закрытыми и вычитания векторов электрического поля не происходит. Амплитудная зонная пластинка работает так, что фазы нечетных зон a r m b m S a-h m b Р E 1 E 3 E 2 «поворачиваются» и становятся положительными. Интенсивность света в точке Р амплитудная пластинка дает в 4 раза больше. Используем метод зон Френеля для изучения дифракции света на круглом отверстии. Если на пути волны поставить преграду в виде плоскости с круглым отверстием, то в зависимости от размера отверстия картина освещенности экрана за преградой будет различна. Если расстояния a и b удовлетворяют соотношению λ + = m b a ab r 0 , где m – целое число, то отверстие оставит открытым ровно m зон Френеля. Далее, зная это число, можно по спирали Френеля определить результат дифракции в центре экрана (точка Р): m = 1 (одна зона Френеля). I ∼ E 2 = E 1 2 = 4I 0 2 = 4I 0 m = 2 (две зоны Френеля). I ∼ E 2 = 0 m = 3 (три зоны Френеля). I ∼ E 2 = E 3 2 = 4I 0 2 = 4I 0 На рисунке индексом E 0 обозначена амплитуда вектора электрического поля от всего открытого волнового фронта, а индексом E – тоже, но для части открытого волнового фронта. В остальных точках экрана дифракционная картина будет представлять собой чередование светлых и темных колец. Все это будет наблюдаться в небольшой окрестности проекции отверстия на экран. У метода спирали Френеля есть один существенный недостаток: он дает интенсивность дифракционной картины |
)
kr t
cos(
E
E
1 0
1
−
ω
=
;
)
kr t
cos(
E
E
2 0
2
−
ω
=
По принципу суперпозиции
Φ
+
Φ
Φ
−
Φ
=
+
=
2
cos
2
cos
E
2
E
E
E
2 1
2 1
0 2
1
В этой формуле
Φ
1
-
Φ
2
=
ω
t –kr
1
-
ω
t –kr
2
= k(r
1
– r
2
) =
∆Φ
называется разностью фаз.
Величина
∆
=
∆Φ
/k = r
1
– r
2
называется разностью хода. Напомним, что оптической разностью хода называется величина
∆
опт
= n
1
r
1
– n
2
r
2
. Тогда выражение для интенсивности результирующей волны будет выглядеть так:
)
k cos
1
(
E
2
n
2 1
k
2
r r
cos
E
4
n
2 1
nE
2 1
I
2 0
0 0
1 2
2 2
0 0
0 2
m
0 0
∆
+
µ
ε
=
−
µ
ε
=
µ
ε
=
Итак, если волны распространятся в вакууме, то интенсивность на экране будет пропорциональна
I
)
k cos
1
(
E
2 2
0
∆
+
Это означает, что в точках экрана, в которых выполняется условие
∆
=
±λ
m (m = 0,1,2,…) будет наблюдаться максимум интенсивности (яркое пятно) с
I
2 0
E
4
. В точках же экрана, в которых выполняется условие
∆
=
±λ
(m + ½) (m = 0,1,2,…) будет наблюдаться минимум интенсивности (темное пятно) с
I
= 0. Координаты максимумов и минимумов интенсивности света на экране можно определить по рисунку:
L
xd
)
2
/
d x
(
L
)
2
/
d x
(
L
r r
2 2
2 2
1 2
≅
−
+
−
+
+
=
−
Тогда положения максимумов будут определяться по формуле
Lm d
x m
λ
±
=
Ширина интерференционного максимума, то есть расстояние между ближайшими минимумами (или максимумами) при этом будет равна
L
d x
λ
=
∆
V.4.
Дифракция. Принцип Гюйгенса – Френеля
По сути, интерференция и дифракция – это одно и тоже явление: перераспределение энергии волн по волновому фронту. Но исторически сложилось так, что наложение волн от дискретно расположенных источников называется интерференцией, а аналогичное явление от непрерывно расположенных источников (например, одной щели) называется дифракцией. В основе рассмотрения обоих этих явлений лежит принцип Гюйгенса –
Френеля.
Первоначально Гюйгенс постулировал: каждая точка волнового фронта может рассматриваться как источник вторичных волн, огибающая которых дает волновой фронт в следующий момент времени.
В этом определении не учитывалось явление интерференции вторичных волн, поэтому не было ясно, почему волна распространяется только вперед. Лишь дополнительные исследования Френеля дали возможность использовать этот принцип в расчетах.
Напишем математические формулы, соответствующие принципу Гюйгенса-Френеля.
Рассмотрим источник S с точки зрения наблюдателя в точке P (соответствующее положение объектов изображено на рисунке). Окружим источник S сферой радиуса a, и выберем на этой поверхности
σ
участок d
σ
. Рассмотрим электрическое поле, создаваемое
σ
и характеризуемых поверхностью d
σ
, нормалью n
!
и углом
ψ
. Френель ввел коэффициент k(
ψ
), который имеет максимальное значение при угле
ψ
= 0 (когда нормаль к элементу излучающей поверхности «смотрит» на точку P) и обращается в ноль при
ψ
≥
π
/2. Тем самым устраняется возможность распространения назад волны, движущейся вперед (устраняется возможность появления обратной волны, направленной внутрь
σ
). Тогда для электрического поля, создаваемого этим элементом поверхности в точке P, можно записать
σ
ψ
=
d r
e a
e
E
)
(
k dE
r k
i ika
'
0
p
!
!
В этой формуле нет временного множителя для волны t
i e
ω
и учтено, что волна сферическая. Для сферической волны интенсивность связана с мощностью излучателя P
0
и расстоянием от него r соотношением
I
2 0
r
4
P
π
, поэтому E
I
r
P
0
. Суммарное поле от всех участков выбранной поверхности в точке P можно определить с помощью принципа суперпозиции для вектора напряженности электрического поля:
∫ ∫
σ
ψ
=
d r
e
)
(
k a
e
E
E
r k
i ika
'
0
p
!
!
Эта формула и является математическим выражением принципа Гюйгенса-Френеля.
Различают два вида дифракции: а) дифракция в параллельных лучах – дифракция Фраунгофера. б) дифракция Френеля.
При изучении дифракции Фраунгофера используется линза ( изображена на рисунке), а при дифракции Френеля ее нет.
V.5.
Зоны Френеля. Дифракция на круглом отверстии и диске.
Вычисления по формуле Гюйгенса-Френеля часто очень сложны. Но в случаях, отличающихся какой-либо симметрией, нахождение амплитуды результирующего колебания может быть найдено более просто.
Пусть точечный источник S излучает сферическую волну в сторону точки наблюдения P. Выделим одну из волновых поверхностей и разделим ее на кольца так, чтобы разность хода от соответствующих краев зон равнялась
λ
/2. Это и есть зоны Френеля. Общая формула для расстояний от краев зон Френеля до точки P – b m
= b + m
λ
/2. Особенность такого разделения заключается в том, что волны от соседних зон приходят в точку наблюдения в противофазе. Вычислим площадь зоны Френеля с номером m. Она равна
σ
n
!
d
σ
ψ
S P a b
P линза b+2
λ
/2 b+
λ
/2
S a b Р