оптика. V. оптика
 Скачать 417.52 Kb.
|
|
E D N s N k H Мы рассматриваем одноосный кристалл, следовательно x z zz ε ≠ ε = ε . Поэтому скорости двух волн, на которые мы разложили исходную волну, будут различны. Разность фаз между этими волнами будет зависеть от расстояния, которое эти волны прошли в кристалле, то есть от его толщины. В результате при определенной толщине кристалла на выходе волна будет поляризована эллиптически. 2) Теперь покажем возможность двулучепреломления для одноосного кристалла. Пусть из воздуха в кристалл под углом θ падает пучок естественного света. Выберем систему координат как показано на рисунке (ось z перпендикулярна плоскости рисунка). Для одноосного кристалла ε x = ε y ≠ ε z , Обозначим величины ε x = ε y = ε О , а ε z = ε е . Представим падающую волну в виде двух никак по фазе не связанных взаимно перпендикулярно поляризованных волн. При этом в кристалл волны будут входить под углами, которые можно определить из уравнений (закон преломления): e n sin sin ε = = θ θ ⊥ ⊥ ; O II II n sin sin ε = = θ θ Теперь становится ясно, что волновые фронты будут различны, и в кристалле эти волны будут иметь различные направления движения – произойдет двулучепреломление. Построение Гюйгенса. В основе теории Гюйгенса для распространения волны в анизотропных кристаллах лежит следующая идея. В кристалле у волны две волновых поверхности: одна соответствует обыкновенной (О) волне, другая – необыкновенной (е). Скорость обыкновенной волны v o = c/n o одинакова во всех направлениях, поэтому волновая поверхность обыкновенной волны – сфера. Скорость необыкновенной волны v e = c/n e и зависит от направления движения этой волны. Скорости обыкновенной и необыкновенной волн одинаковы в направлении оптической оси и максимально отличаются в направлениях, перпендикулярных оптической оси. Волновая поверхность необыкновенной волны – эллипсоид вращения. Кристалл называется положительным, если v o > v e (n o < n e ); кристалл называется отрицательным, если v o < v e (n o > n e ). Сам же принцип Гюйгенса остается неизменным: каждая точка волнового фронта является источником вторичных волн. На рисунках изображены различные варианты построения волновых поверхностей. На первом рисунке рассмотрено наклонное падение света на отрицательный кристалл. Поверхность кристалла параллельна оптической оси кристалла ОВ. на втором рисунке свет падает нормально на поверхность кристалла исландского шпата (отр. кристалл). Оптическая ось ОО ’ не параллельна поверхности. Третий рисунок для положительного кристалла. V.11. Поляризационные приборы. Закон Малюса. Явление двулучепреломления используется для получения поляризованного света. Такие приборы делятся на два класса: поляризационные приборы и дихроичные пластинки. E |||||||| E ⊥ ⊥⊥ ⊥ θθθθ E ⊥ ⊥⊥ ⊥ θθθθ ⊥ ⊥⊥ ⊥ θθθθ |||||||| E |||||||| 1. Поляризационные приборы. Наиболее распространенными приборами этого класса являются призмы. Изготовляются призмы в основном из исландского шпата, кварца или натронной селитры. Различают однолучевые и двухлучевые призмы. В двухлучевых призмах распространяются два луча в различных направлениях. Наиболее распространенной поляризационной призмой является призма Николя или просто николь. На рисунке показана такая призма. Стрелкой обозначено направление оптической оси. Естественный угол скола у исландского шпата составляет 71 0 , для изготовления призмы 3 0 стачивают. Два куска исландского шпата склеивают канадским бальзамом. Тогда обыкновенный луч на границе склейки испытывает полное внутреннее отражение и уходит в сторону. Необыкновенный же луч на этой границе просто преломляется. Обыкновенный луч попадает на зачерненную поверхность и поглощается. Второй луч, полностью поляризованный, выходит из призмы. 2. Дихроичные пластинки. К таким приборам относятся поляроиды и турмалины. В этих приборах обыкновенный луч поглощается сильнее и, при определенной толщине поглощающего слоя, поглощается весь. Использование поляризаторов. а) На поляризатор падает пучок естественного света. Идеальный поляризатор пропускает колебания электрического поля в волне только в плоскости, проходящей через оптическую ось (е-луч). Поэтому, если представить естественный свет E ! как две линейно поляризованные волны, одна из которых поляризована в плоскости оптической оси II E ! , а другая – в перпендикулярной плоскости ⊥ E ! , то пройдет через поляризатор лишь одна, параллельная составляющая II E ! . Поскольку ⊥ ⊥ = = + = I 2 I 2 I I I II II ест , то ест прош I 2 1 I = б) На поляризатор падает линейно поляризованный свет. Разложим вектор электрического поля падающей волны на две взаимно перпендикулярных составляющих II 0 E E E ! ! ! + = ⊥ Один из них направлен вдоль оптической оси поляризатора и проходит полностью. Второй же луч не проходит совсем. Электрическое поле после поляризатора будет определяться так θ = = cos E E E 0 II 1 , а интенсивность прошедшей волны будет равна θ = 2 0 cos I I Эта формула носит название закона Малюса. V.12. Тепловое излучение. Равновесная плотность излучения. Закон Кирхгофа. Вспомним основные постулаты молекулярно-кинетической теории: все вещества состоят из атомов или молекул; атомы или молекулы находятся в непрерывном движении и взаимодействуют друг с другом за счет гравитационного или электромагнитного полей. 68 0 64 0 e o O O ’ O θ O ’ Мы уже знаем, что атомы состоят из заряженных частиц. Любая заряженная частица, которая движется с ускорением, должна излучать. Поэтому, все атомы, участвующие в тепловом движении, должны излучать ЭМВ. Это излучение и называется тепловым. Особенностью такого излучения является сильная зависимость интенсивности теплового излучения от абсолютной температуры Т. Рассмотрим основные свойства теплового излучения и дадим основные определения. Рассмотрим какое-либо тело, нагретое до температуры Т. Окружим его адиабатической оболочкой и откачаем воздух. Стенки этой оболочки идеально отражают все, что на них падает. Внутри оболочки, таким образом, останется тело и его тепловое излучение. Через некоторое время наступит равновесие между телом и излучением: энергии, излучаемая и поглощаемая телом в единицу времени, будут равны. Это равновесие называется тепловым равновесием, а излучение – равновесным тепловым излучением. Итак, тепловое излучение, которое находится в равновесии со своим телом, называется равновесным тепловым излучением. К равновесным системам применимы все законы термодинамики. Теперь дадим несколько определений. Энергетической светимостью тела R называется энергия, излучаемая с единицы поверхности тела в единицу времени во всех направлениях. Энергетическая светимость является функцией только температуры. В некоторых учебниках эта величина обозначается буквой М э Испускательной способностью тела ω = ω ω d dR r называется энергия, излучаемая телом с единицы поверхности в единицы времени в единичном частотном интервале. При этом ω dR - энергия, излучаемая телом в 1с с 1м 2 поверхности в интервале частот от ω до ω +d ω . Испускательная способность тела является функцией частоты и температуры. Поглощательной способностью тела ω ω ω ′ = dФ Ф d a T называется отношение потока энергии, поглощенной телом, к потоку энергии, падающей на поверхность тела. за одно и тоже время. Ясно, что 1 a T ≤ ω . Если поглощательная способность тела равна единице, то такое тело называется абсолютно черным телом (АЧТ). Такое тело поглощает все излучение, которое падает на его поверхность. Если 1 const a a T T < = = ω , то такое тело называется серым телом. Закон Кирхгофа. Возьмем адиабатическую оболочку, в которой в состоянии теплового равновесия находятся три различных тела. При этом они обмениваются тепловым излучением. Оказывается, что хотя они и разные, но каждое из них поглощает энергию теплового излучения в той же степени, в которой и излучает. Это происходит независимо от вида тел, поэтому ) T , ( f a r a r a r 3 T 3 T 2 T 2 T 1 T 1 T ω = = = = ω ω ω ω ω ω Отношение испускательной и поглощательной способностей не зависит от природы тела, а является универсальной функцией частоты и температуры. Так как для АЧТ поглощательная способность равна единице, то функция f( ω ,T) оказывается испускательной способностью АЧТ. Таких тел как АЧТ в природе в чистом виде не существует. Однако некоторые тела в определенных условиях по своим свойствам близки к АЧТ. Изображенный на рисунке объем по своим свойствам может служить 1 3 2 примером АЧТ. Это адиабатическая оболочка с малым отверстием для исследования свойств находящегося внутри излучения. Для таких тел есть эксперименты, результаты которых изображены на графике. В теоретических исследованиях удобнее пользоваться зависимостями от частоты, в эксперименте получаются зависимости от длины волны. Поэтому экспериментальные данные для теплового излучения представляют собой зависимости испускательной способности АЧТ от длины волны: λ λ ϕ = ω = λ ω ω d ) T , ( dR ; d r dR . Так как λ ω = dR dR и λ π = ω c 2 , то ) T , ( f c 2 ) T , ( 2 ω λ π = λ ϕ Рассмотрим излучение, находящееся в равновесии со своим телом. В этом случае энергия излучения будет распределена в объеме полости с определенной плотностью u = u(T) Спектральное распределение этой энергии можно охарактеризовать функцией u( ω ,T) , определяемой условием ω ω = ω d ) T , ( u du . Тогда ∫ ∞ ω ω = 0 d ) T , ( u ) T ( u Найдем связь между испускательной способностью АЧТ и спектральной плотностью равновесного теплового излучения. Рассмотрим полость, заполненную равновесным излучением. Воспользуемся гипотезой Планка о фотонах (подробности будут чуть позже) и запишем объемную спектральную плотность теплового излучения как du ω = # ω dn ω При изучении молекулярной физики была получена формула, определяющая число ударов молекул газа о стенку: dN = 1/4cdn ω . Для фотонного газа она тоже применима, поэтому в единицу времени фотоны принесут на единицу площади энергию 1/4 # ω cdn ω , которая вся поглотится. Поскольку речь идет о АЧТ, вся эта энергия будет излучена. Следовательно, f( ω ,T)d ω = 1/4 # ω cdn ω = c/4u( ω ,T)d ω Поэтому, ) T , ( u 4 c ) T , ( f ω = ω V.13. Излучение АЧТ. Формула Релея-Джинса. Классическая физика оказалась не в состоянии объяснить теоретически вид функции ϕ ( λ ,T), измеренной экспериментально. Предельные случаи ϕ ( λ ,T) при достаточно малых и достаточно больших частотах были теоретически обоснованы формулами Рэлея—Джинса и Вина. Общая формула как интерполяционная формула для предельных случаев была найдена Планком. Она положила начало развитию квантовой теории. Итак, нужно получить формулу для вычисления испускательной способности АЧТ или плотность энергии теплового излучения. Попытки получить эту формулу сводились к нахождению числа возбужденных колебаний и умножению этого числа на энергию одного колебания. Концентрация мод колебаний. Рассмотрим модель АЧТ в виде полости с адиабатическими стенками. Будем считать, что полость имеет форму куба с ребром L, как изображено на рисунке. Наполним ее тепловым излучением. Со временем установятся стоячие волны во всех направлениях. В этом случае волны не гасят друг друга и могут существовать бесконечно долго. Стоячая волна может образоваться лишь в том случае, если бегущая волна после отражения от двух противоположных граней куба и прохождения пути 2L, возвращается в исходную точку с фазой, отличающейся от первоначальных на 2 π n, где n - целое. Не ограничивая общности, можно считать, что двукратное отражение от граней либо не вносит в фазу волны каких-либо изменений, либо изменяет фазу на 2 π . Поэтому условие образования стоячих волн в каждом из измерений куба имеет вид k2L = 2 π n, или k x L = π n x ; k y L = π n y ; k z L = π n z , где n x ,n y ,n z - целые числа. Число волн dN, волновые числа которых заключены между (k x ,k x +dk x ), (k y ,k y +dk y ), (k z ,k z +dk z ) равно числу целых чисел, заключенных в интервале (n x ,n x +dn x ), (n y ,n y +dn y ), (n z ,n z +dn z ), поэтому z y x 3 z y x dk dk dk L dn dn dn dN π = = Расчет удобно вести в сферических координатах, считая, что по осям декартовой системы координат отложены k x ,k y и k z . Поскольку числа k x ,k y и k z положительны, в сферических координатах число возбужденных колебаний принимает вид dk k 4 8 1 L dn dn dn dN 2 3 z y x π π = = Учитывая, что k = ω /с, находим концентрацию стоячих волн ( число волн, приходящееся на единицу объема полости): ω π ω = d c 2 1 L dN 3 2 2 3 Поскольку электромагнитная волна обладает двумя возможными поляризациями, то полная концентрация стоячих волн в два раза больше и равна ω π ω = d c L dN 3 2 2 3 полн Каждая из стоячих волн называется модой колебаний, а число мод равно числу степеней свободы системы. Если < ε > является средней энергией, приходящейся на одну степень свободы, то плотность энергии стоячих волн равна > ε < π ω >= ε < = ω 3 2 2 3 полн c L dN ) T , ( u Таким образом, нахождение u( ω ,Т) свелось к определению средней энергии моды колебаний. Формула Рэлея - Джинса. По теореме о равнораспределении энергии на одну степень свободы в классической статистической системе приходится энергия kT/2. У гармонического осциллятора средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной, и поэтому его средняя энергия равна kТ. Это энергия, приходящаяся на одну моду колебаний. Поставим этот результат в общую формулу, в результате получим kT c ) T , ( u 3 2 2 π ω = ω ; kT c 4 ) T , ( f 2 2 2 π ω = ω Последние равенства называется формулой Рэлея- Джинса. Эта формула была предложена Д. У. Рэлеем L L L (1842—1911) в 1900 г. и несколько более подробно обоснована Д. Д. Джинсом (1877— 1946). Она дает достаточно хорошее согласие с экспериментом при малых ω (больших λ ). При больших ω спектральная плотность значительно превосходит наблюдаемую, а при ω → ∞ получается недопустимое соотношение u( ω ,T) → ∞ . Расходимость плотности энергии излучения u( ω ,T) называется ультрафиолетовой катастрофой. Формула Вина. В. Вин (1864—1928) предположил, что каждая мода колебаний является носителем энергии ε ( ω ), но не все моды данной частоты возбуждены. Относительное число ∆ N/Nвозбужденных мод дается распределением Больцмана: kT ) ( e N N ω ε − = ∆ Отсюда для средней энергии, приходящейся на моды с частотой ω , находим kT ) ( e ) ( ω ε − ω ε >= ε < Из общих термодинамических соображений Вин заключил, что энергия моды частотой ω пропорциональна частоте, т.е ε ( ω ) = ħ ω . Коэффициент пропорциональности здесь дан в современных обозначениях в виде постоянной Планка, которая в то время не была известна. Общая формула в этом случае приобретает вид kT ) ( 3 2 3 e c ) T , ( u ω ε − π ω = ω # ; kT ) ( 2 2 3 e c 4 ) T , ( f ω ε − π ω = ω # Она называется формулой Вина (1896) и дает хорошее согласие с экспериментом в области достаточно больших частот (малых длин волн). Промежуточную область долгое время описать не удавалось. V.14. Формула Планка. Законы Стефана-Больцмана и Вина. Попытку выйти из положения предпринял Планк(1858-1947). В 1900 он предложил интерполяционную формулу, которая полностью соответствовала экспериментальным данным. При получении ее он предположил, что тела излучают ЭМВ (тепловое излучение) дискретно, в виде квантов с энергией ε 0 . Тогда сама энергия теплового излучения должна быть дискретна и кратна этой величине ε 0 , 2 ε 0 , 3 ε 0 ,…n ε 0 . При этом сами излучательные системы рассматривались как колебательные системы – атомные осцилляторы (АО). Такая система, АО в данный момент с вероятностью kT n n 0 Ae P ε − = находится в одном из состояний с энергией n ε 0 , то есть подчиняются распределению Больцмана по энергии. Средняя излучаемая энергия при этом может быть вычислена по формуле (используем обозначение β = 1/(kT)): ∑ ∑ ∑ ∑ ∞ = βε − ∞ = βε − ∞ = ε − ∞ = ε − ε = ε >= ε < 0 n n 0 n n 0 0 n kT n 0 n kT n 0 0 0 0 0 e e n e e n По виду эта формула похожа на логарифмическую производную ∑ ∑ ∑ ∞ = βε − ∞ = βε − ∞ = βε − ε = β − 0 n n 0 n n 0 0 n n 0 0 0 e e n e ln d d Таким образом, необходимо вычислить сумму бесконечной геометрической прогрессии 0 0 0 e 1 1 e e 1 n ) 1 n ( 0 n n βε − ∞ = βε − − ∞ = βε − − = = ∑ ∑ После вычисления логарифмической производной, получаем выражение для вычисления средней энергии АО: 1 e kT 0 0 − ε >= ε < ε , а для излучательной способности АЧТ 1 e c 4 ) T , ( f kT 0 2 2 2 0 − ε π ω = ω ε И вот теперь Планк предположил, что энергия кванта пропорциональна частоте ω , то есть ε 0 = ħ ω . Постоянный коэффициент в этой формуле получил название постоянной Планка. Формула для испускательной способности АЧТ приобрела окончательный вид: 1 e 1 c 4 ) T , ( f kT 2 2 3 − π ω = ω ω # # Из сравнения теории и эксперимента было найдено значение постоянной Планка. Оно оказалось равным # = 1.05 ⋅ 10 -34 Дж ⋅ с. Сначала Планк догадался, что формула должна иметь такой вид, и лишь спустя четыре месяца ему удалось вывести эту формулу. Легко показать, что законы Релея-Джинса и Вина входят в эту формулу как ее предельные случаи соответственно малых и больших частот: kT c 4 1 kT 1 1 c 4 1 e 1 c 4 ) T , ( f 1 kT 2 2 2 2 2 3 kT 2 2 3 π ω = − ω + π ω ≅ − π ω = ω ⇒ << ω ω # # # # # - Релей-Джинс. kT 2 2 3 kT 2 2 3 kT 2 2 3 e c 4 e 1 c 4 1 e 1 c 4 ) T , ( f 1 kT ω − ω ω π ω = π ω ≅ − π ω = ω ⇒ >> ω # # # # # # # - Вин. Закон Стефана-Больцмана. С помощью формулы Планка можно вычислить энергетическую светимость АЧТ. Для этого необходимо вычислить следующий интеграл: 4 4 4 2 2 0 x 2 4 2 2 0 kT 2 2 2 0 ачт T 15 kT c 4 1 e dx x kT c 4 1 e d c 4 d ) T , ( f R σ = π π = − π = − ω ω π = ω ω = ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ ω ∞ # # # # # # Вычислена энергия, излучаемая АЧТ с единицы поверхности в единицу времени. Она пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры, что подтверждается экспериментом. Коэффициент σ в этом законе назван постоянной Стефана-Больцмана и равен σ = 5.67 ⋅ 10 -8 Вт/(м 2 К 4 ).Ее можно вычислить из приведенной формулы, зная постоянную Планка, или определить из эксперимента. Оба значения получились очень близкими по величине. Закон смещения Вина. Суть закона смещения Вина в том, что экспериментально было обнаружено смещение максимума испускательной способности АЧТ в сторону меньших длин волн при увеличении температуры АЧТ: b T m = λ . Коэффициент b был назван постоянной Вина. Для того, чтобы теоретически получить эту формулу, необходимо записать испускательную способность АЧТ в зависимости от длины волны, а затем определить ее максимум дифференцированием. Проделаем последовательно все вычисления: kT c 2 x ; 1 e x c 8 kT 1 e 1 c 8 c 2 ) T , c 2 ( f c 2 ) T , ( x 5 3 3 5 kT c 2 3 3 5 2 # # # # # λ π = − π = − π λ π = λ π λ π = λ ϕ λ π Дифференцируя полученное выражение по x, получаем трансцендентное уравнение: 0 1 5 x e x = − + − Решая его методом последовательных приближений, находим его решение x m = 4.965. Теперь зная значение x m , можно получить закон смещения Вина: b c 2 kx T m m = π = λ # |