Навигация по странице:Ответ
|
тр. ФНПВар7. Вариант 7 н айти область определения функции и изобразить её на плоскости Д ля заданной функции область определяется следующим неравенством, или.
Вариант № 7
Н айти область определения функции и изобразить её на плоскости: .
Д ля заданной функции область определяется следующим неравенством: , или . Это неравенство определяет область, расположенную выше линии параболы , причём сама линия параболы не входит в указанную область (см. рисунок).
Ответ: .
Вычислить частные производные и сложной функции в данной точке: при .
Частные производные сложной функции двух переменных находятся по формулам и . В данном случае . Следовательно, ,
. Заметим, что в точке промежуточные переменные равны: . Подставляя в частные производные , получим: , . Ответ: , .
Найти уравнение касательной плоскости и нормали к указанной поверхности в данной на ней точке: .
Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке имеют следующие уравнения: а) (касательная плоскость): (нормаль). В данном случае . Найдём частные производные от в точке : . Подставим найденные частные производные в уравнения касательной плоскости и нормали: , . Ответ: а) Уравнение касательной плоскости: ; б) Уравнение нормали: .
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области D: .
С тационарная точка не является точкой экстремума, поскольку функция является возрастающей функцией своих аргументов. На границе области D , , функция имеет вид . Тогда . Приравнивая производную к нулю, получим четыре стационарные точки
. Стационарные точки расположены в верхней полуокружности, т.е. , точки - в нижней части, т.е. . В этих точках функция соответственно равна: . Сравнивая эти значения, видим, что наибольшее значение функция принимает в точках , а наименьшее значение - в точках . Ответ: наибольшее значение функции - в точках , наименьшее значение - в точках .
Изменить порядок интегрирования: .
В осстановим область интегрирования (D) по пределам повторных интегралов: , . Изобразим область интегрирования на чертеже (см. рисунок). Найдём точки пересечения парабол и : . Порядок интегрирования в данном интеграле показан штриховкой на первом графике. На втором графике штриховка изменена на вертикальную. Из рисунка видим, что данная область является y – трапецией. На нижней границе , на верхней границе . Поэтому и в результате подстановки пределов получим следующий повторный интеграл: . Ответ: .
Н айти объём тела, ограниченного указанными поверхностями: .
Основанием тела в плоскости ХОУ является область D, ограниченная параболой и окружностью , которые пересекаются в точке . Снизу тело ограничено плоскостью , сверху – плоскостью (см. рисунок). Таким образом,
. Ответ: .
Н айти объём тела, ограниченного указанными поверхностями: .
Параболоид вращения ограничен сверху плоскостью (см. рисунок). Проекция тела на плоскость ХОУ представляет круг . Сверху тело ограничено плоскостью, а снизу – поверхностью параболоида. Удобно перейти к цилиндрическим координатам: . Уравнением параболоида будет , уравнением плоскости - , уравнением круга - . Областью интегрирования будет область . Следовательно,
. Ответ: .
Найти объём тела, ограниченного указанными поверхностями: .
Т ело расположено между двумя концентрическими сферами с центрами в начале координат радиуса 1 и 7, конусом (сверху), и двумя плоскостями и . Перейдём к сферической системе координат: . Якобиан преобразования равен . Уравнение малой сферы будет , большой сферы - , На плоскости будет или ., а на плоскости будет или . Уравнение конуса переходит в уравнение . Таким образом, тело занимает следующую область: . Объём тела равен: . Или . . Ответ: .
Найти массу пластинки:
Пластинка занимает область D, и зображённую на рисунке. Область неудобна для интегрирования в декартовой системе координат. Поэтому перейдём к эллиптической системе координат: . Уравнением меньшего эллипса будет: . Аналогично, для большего эллипса получим: . Якобиан преобразования равен . На прямой линии имеем . Область, занимаемая пластинкой, есть . Тогда . Ответ: .
Найти массу тела: .
Т ело представляет часть шара, «вырезанную» цилиндрической поверхностью Цилиндрпересекается с поверхностью сферы на высоте (см. рисунок). Область интегрирования: . Интегрирование в декартовой системе координат неудобно. Перейдём к цилиндрической системе координат: . Таким образом, тело занимает следующую область: . При этом плотность тела равна . Масса тела равна: . Или . Ответ: .
R Вычислить криволинейный интеграл по формуле Грина: .
П D реобразуем криволинейный интеграл по замкнутому контуру в двойной по формуле Грина: . Область интегрирования изображена на рисунке. Для заданного интеграла получаем: . Действительно, в полярных координатах якобиан преобразования равен . Следовательно, .
Ответ: .
Вычислить массу дуги кривой (L) при заданной плотности :
.
М ассу дуги вычисляем с помощью криволинейного интеграла первого рода: . В данном примере линия и плотность заданы в полярных координатах, где . Следовательно,
. Ответ: .
Вычислить работу силы при перемещении вдоль линии от точки M к точке N: .
Работу вычисляем по формуле: . Линия находится в пересечении цилиндрической поверхности и плоскости (см. рисунок). Перейдём к параметрическому заданию линии: . Найдём значение параметра t, при котором достигаются точки M и N; ; . Тогда
.
Ответ: Работа равна .
Найти производную функции в точке по направлению внешней нормали к поверхности , заданной уравнением , или по направлению вектора : .
Производная по направлению находится по формуле: , где - координаты единичного вектора данного направления. Найдём частные производные функции в заданной точке: .
Следовательно, . Найдём координаты вектора , где :
. Таким образом, . Найдём единичный вектор нормали : . Так как координаты x и z вектора положительны, то нормаль является внешней (см. рисунок). Тогда производная по заданному направлению равна: . Ответ: .
Найти наибольшую скорость изменения скалярного поля в заданной точке М: .
Наибольшую скорость характеризует градиент поля: .
Вычислим координаты градиента: , , . Таким образом, .
Величина скорости есть модуль градиегнта: .
Ответ: Наибольшая скорость изменения поля в заданной точке равна .
Вычислить расходимость и вихрь в произвольной точке М, а также найти уравнения векторных линий поля градиента скалярного поля : .
По заданному скалярному полю построим поле его градиентов: . Дивергенция (расходимость) вектора определяется формулой: . Для градиента получаем: . Ротор вектора вычисляется как символический определитель третьего порядка:
. Для поля градиентов :
.
Уравнение векторных линий поля определяется системой дифференциальных уравнений: . Для заданного поля :
. Из равенства следует или . Рассмотрим равенство . Исключая отсюда , получим .
Итак, уравнения векторных линий поля градиентов задаётся как семейство кривых от пересечения следующих поверхностей: . Ответ: , , урвнения векторных линий поля градиентов: .
Найти поток векторного поля через часть плоскости Р, расположенную в 1-ом октанте (нормаль образует острый угол с осью OZ): .
З апишем уравнение плоскости в отрезках: или и изобразим её на чертеже (см. рис.). Найдём нормальный вектор: . Нормируем нормальный вектор: . Поток векторного поля находится по формуле , где - проекция вектора поля на нормаль к поверхности: . Поверхностный интеграл сведём к двойному интегралу по области D, являющейся проекцией Р на координатную плоскость ХОУ: . При этом . Из уравнения поверхности . Тогда
.
Ответ: .
18…19. Тело Т лежит в 1-ом октанте и ограничено плоскостями координат и поверхностью Q, заданной уравнением . Вычислить:
а) поток поля вектора через поверхность, ограничивающую тело Т (воспользоваться формулой Остроградского);
в) циркуляцию поля вектора вдоль линии пересечения поверхности Q с плоскостями координат в направлении от точки пересечения Q с осью ОХ к точке пересечения Q с осью OY (воспользоваться формулой Стокса): .
Решение.
а) Линии пересечения поверхности с координатными плоскостями.
С плоскостью XOY с плоскостью XOZ с плоскостью YOZ (см.рисунок). Поток поля через поверхность, ограниченную этими линиями находим по формуле Гаусса-Остроградского:
. Находим дивергенцию: . Тогда
в) Циркуляцию поля вектора вдоль линии вычислим по формуле Стокса: . Вычислим ротор данного поля:
. Найдём вектор : (это внешняя нормаль, так как ). Вычислим скалярное произведение: . Таким образом, циркуляция векторного поля равна:
. Ответ: .
Убедиться, что поле вектора потенциально, найти потенциал поля и вычислить работу при перемещении точки единичной массы из точки А в точку В: .
Вычислим ротор вектора :
. Следовательно, поле вектора является потенциальным. Восстановим потенциал поля: ( за точку M0 взята точка
M0(1, 1, 1)). Найдём работу по перемещению точки:
.
Ответ: . |
|
|