кек. Матвеенко-Матвеенко Апрельская. Выбор технологии, порождающий нормализованные
 Скачать 161.13 Kb.
|
|
527 ВЫБОР ТЕХНОЛОГИИ, ПОРОЖДАЮЩИЙ НОРМАЛИЗОВАННЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ CESФУНКЦИИ 1 Введение Производственная функция с постоянной эластичностью замещения (CES) — основной инструмент при анализе производства и его эффектив- ности. Однако разные спецификации производственных CES-функций су- щественно различаются по своим свойствам (см. [Martemyanov, Matveenko, 2014]). Это приводит к неробастности результатов в ряде моделей производ- ства, экономического роста и международной торговли в зависимости от вы- бора формы производственной функции. В работе [Klump, La Gandville de, 2000] введены семейства нормализо- ванных производственных CES-функций (далее — NCESF). Как отмечается в статье [Klump, Saam, 2008], нормализация необходима для того, чтобы из- бежать «произвольных и противоречащих друг другу результатов». NCESF стали популярным инструментом исследований (см. обзор [Klump et al., 2012]). В частности, с их помощью изучается влияние эластичности замеще- ния на темп роста и переходную динамику в моделях экономического роста, на ставку заработной платы, на эффект перераспределения богатства при ре- формах, на условия локальной неопределенности равновесия в модели дело- вого цикла, анализируется динамика доли труда в различных странах. Хотя NCESF активно применяются уже в течение 15 лет, работа по построению микрооснований этого класса производственных функций только началась. NCESF встречают критику, которая связана, в частно- сти, с отсутствием интерпретации «отправной точки» семейства функций [Temple, 2012]. Кроме того, сомнительна сама идея обеспечить робастность результатов простым исключением «неудобных» спецификаций производ- ственной CES-функции из рассмотрения. Несмотря на бум, связанный с 1 Работа выполнена при поддержке Карлова университета в Праге (грант SVV 260126) и РФФИ (проекты 14-01-00448 и 14-06-00253). А.В.Матвеенко Center for Economic Research and Graduate Education – Economics Institute (CERGE-EI), В.Д. Матвеенко Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», Санкт-Петербург 528 NCESF, многие авторы используют семейство производственных CES- функ ций вида A (K p + L p ) 1/ p , которое ненормализуемо и имеет иные свой- ства, чем NCESF. В настоящей статье для анализа класса NCESF используется подход, связанный с представлением произвольной «глобальной» неоклассической производственной функции как решения задачи оптимального выбора «ло- кальной» технологии из производственного меню, предложенный в работах [Rubinov, Glover, 1998; Matveenko, 1997; Jones, 2005]. В качестве основного объекта исследования предстает не производ- ственная функция, а порождающее ее технологическое меню — двойствен- ный объект, причем связанный не с обычной линейной, а с идемпотентной двойственностью 2 . Мы вводим понятие семейства нормализованных тех- нологических меню, исследуем его свойства и получаем ряд новых свойств NCESF. Такой подход позволяет использовать прямое описание изменений производственных технологий. Мы получаем возможность оценить с точки зрения изменения технологий предположения касательно NCESF, которые не были ранее мотивированы; в частности, мы даем экономическую интер- претацию понятия «отправной точки». 1. Нормализованные производственные CES-функции Семейства NCESF можно определить как обладающие следующими свойствами. (а) Каждая NCESF имеет прототипную форму CES-функции Y = A(αK p + ( 1−α)L p ) 1 p , (1) где Y — выпуск, K — капитал, L — труд, A > 0, 0 < α < 1, p < 1, p ≠ 0; параме- тры A, α могут зависеть от p. В силу постоянной отдачи от масштаба экстен- сивной форме (1) соответствует интенсивная форма y = A(αk p + 1−α) 1 p , (2) где y = Y/L, k = K/L. 2 Бинарная операция ⊕ на множестве M называется идемпотентной, если a ⊕ a = a для любого a ∈ M. Примерами являются ⊕ = min и ⊕ = max. Идемпотентные операции играют центральную роль в тропической математике. По поводу применения тропиче- ской математики в экономическом анализе см. [Matveenko, 2014]. 529 (б) Каждое семейство NCESF содержит функции при всевозможных значениях параметра p и соответственно при различных значениях эластич- ности замещения σ = 1 / (1− p). (в) Для каждого семейства NCESF задана точка нормализации (отправ- ная точка), в которой функции семейства при всех p имеют одни и те же отправные значения K 0 , L 0 ,Y 0 ,MRTS = μ 0 ,где MRTS = −dK / dL = (∂F / ∂L) / (∂F / ∂K ) — предельная норма технического замещения. Построение семейства NCESF. Будем использовать интенсивную про- тотипную форму. Тогда μ 0 = ( 1−α)k 0 1− p / α, где k 0 = K 0 / L 0 Отсюда α = = 1 / (1+μ 0 k 0 p− 1 ), y = A k p 1+μ 0 k 0 p− 1 + 1− 1 1+μ 0 k 0 p− 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 1 p = A k p +μ 0 k 0 p− 1 1+μ 0 k 0 p− 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 1 p (3) Вычисляем y 0 в точке нормализации, затем выражаем A и подставляем в (3). Получаем уравнения семейства NCESF в интенсивной форме y = y 0 π k k 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ p + 1− π ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ 1 p и в экстенсивной форме Y =Y 0 π K K 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ p + ( 1− π) L L 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ p ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ 1 p , где π = k 0 k 0 +μ 0 ∈ ( 0,1) не зависит от p. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Для каждой функции семейства NCESF (при каж- дом p) в точке нормализации k 0 факторы получают доли, равные π и 1 –π. В лю- бой точке k > k 0 (k < k 0 ) отношение долей капитала и труда возрастает (убы- вает) по p. Этот результат вполне соответствует подтверждаемому эмпирически для промышленно развитых стран (т.е. при достаточно больших k) факту увели- чения в последние десятилетия эластичности замещения в сочетании с уве- личением доли капитала. Подход к CES-функциям на основе дифференциальных уравнений. Если функция Y = F(K, L) = Lf(k), где k = K/L, имеет постоянную эластичность замещения, то она удовлетворяет уравнению σ = 1− e f r f , (4) 530 где e f = ʹ f ⋅ k / f — эластичность функции f; r f = − ʹʹ f ⋅ k / ʹ f — ее «выпуклость» 3 При заданном значении σ ≠ 1 решением дифференциального уравнения вто- рого порядка (4) является CES-функция в интенсивной форме f (k) = γ 1 k σ− 1 σ + γ 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ σ σ− 1 , (5) где γ 1 и γ 2 — постоянные интегрирования, вообще говоря, зависящие от σ. Формы (2) и (5) эквивалентны, γ 1 = Aα 1/ p , γ 2 = ( 1−α) / α. При σ = 1 решением уравнения (4) является интенсивная форма функ- ции Кобба — Дугласа Ak α . При γ 2 = 0 (5) — линейная функция. При σ → 0 (5) сходится к функции Леонтьева. Следует заметить, что (5) включает всевозможные семейства CES- функций, не обязательно NCESF. Например, при γ 1 = 1, γ 2 = 1 приходим к ча- сто используемому семейству CES-функций (K p + L p ) 1 p , которое не является семейством NCESF. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Для каждогоσ существует единственное частное решение дифференциального уравнения (4), которое соответствует заданным отправным значениям k 0 , y 0 , μ 0 и определяет NCESF. Индуцированное семейство NCESF. До сих пор отправные значения K 0 , L 0 , Y 0 и μ 0 выбирались произвольно и не были связаны между собой. Пусть задана некоторая функция F(K, L), обладающая стандартными свойствами неоклассической производственной функции. Будем говорить, что семей- ство NCESF индуцировано функцией F в точке (K 0 , L 0 ), если отправными зна- чениями служат (K 0 , L 0 ), а также Y 0 = F (K 0 , L 0 ), μ 0 = ∂F / ∂L ∂F / ∂K (K 0 , L 0 ) ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Для индуцированного семейства NCESF коэффициен- ты π и 1 –π представляют собой доли факторов индуцирующей функции F в точке (K 0 , L 0 ). Рассмотрим вопрос о наиболее предпочтительной точке нормализации. Пусть фиксирована некоторая корзина факторов (K, L) и задана индуцирую- щая функция F. Какую точку нормализации k 0 следует выбрать, чтобы функ- ции индуцируемого семейства NCESF давали максимальный выпуск в точке (K, L)? 3 Функция r f известна как коэффициент Эрроу — Пратта относительной не- склонности к риску. 531 ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Если индуцирующая функция F является функцией Кобба — Дугласа или CES-функцией, то максимум индуцированных NCESF при каждом p < 0 достигается при k 0 = K/L. 2. Производственная функция как результат оптимального выбора технологии из технологического меню Представления производственных функций. Пусть имеется неоклассиче- ская производственная функция AF(K, L). Вклад факторов может быть иден- тифицирован на основе их предельных или средних производительностей. Соответственно имеется два представления производственной функции. Первое представление: AF (K , L) = min ( p K , p L )∈Π ( p K K + p L L ) . (6) Здесь Π = {( p K , p L )} — некоторое множество цен факторов 4 , порождаю- щее функцию AF(K, L) Второе представление 5 AF (K , L) = max (l K ,l L )∈Λ min{l K K ,l L L } (7) является моделью выбора технологии. Здесь min{l K K ,l L L } — производствен- ная функция Леонтьева 6 . Фирме (или стране) доступно множество леонтьев- ских «локальных» технологий — технологическое меню Λ, из которого она, располагая факторами производства (K, L), выбирает леонтьевскую техно- логию (l K , l L ) так, чтобы максимизировать выпуск. Представление (7) соот- ветствует той точке зрения, что лишь одна локальная технология может быть эффективно использована при существующем соотношении факторов про- изводства 7 4 Модель, предоставляющая микрооснования для уравнения, предложена в работе [Matveenko, 2013]. 5 Это представление предложено в работах [Rubinov, Glover, 1998; Matveenko, 1997; Jones, 2005]. См. [Матвеенко, 2009; Matveenko, 2010]. 6 Принципиальное различие между представлениями (6) и (7) состоит в том, что в (6) используется скалярное произведение p K K + p l L, тогда как (7) использует функцию Леонтьева min{l K K, l L L}, которая является скалярным произведением в тропической математике с идемпотентной операцией ⊕ = min (см. примеч. 2). 7 Эта точка зрения четко сформулирована в [Basu, Weil, 1998]: «каждая техноло- гия является подходящей для одного и только одного отношения капитала к труду». 532 Как доказано в работе [Matveenko, 2010], для всякой неоклассической производственной функции AF(K, L) существует единственное технологиче- ское меню, удовлетворяющее (7); оно имеет вид Λ = {(l K ,l L ) : AF 1 l K , 1 l L ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ =1}. Следующая теорема показывает, что технологии, формирующие техно- логическое меню, имеют простой смысл, который позволяет связать их с до- ступными макроэкономическими данными. ТЕОРЕМА 1. Элементами технологического меню являются все возмож- ные пары средних производительностей капитала и труда, которые возможны в экономике при данном технологическом уровне A. Для каждой конкретной пары факторов (K , L) максимум в правой части равенства (7) достигается при той технологии (l K ,l L ) ∈ Λ , для которой леонтьевские коэффициенты производи- тельности являются соответственно средними производительностями капи- тала и труда в экономике, т.е. l K = AF (K , L) K , l L = AF (K , L) L 3. Технологические меню в моделях экономического роста Напомним, что Солоу [Solow, 1956] считал привлечение неоклассиче- ских производственных функций для анализа экономического роста аль- тернативой использованию производственной функции Леонтьева. Пред- ставление (7) показывает, что наличие «глобальной» неоклассической производственной функции нисколько не отрицает присутствия «локальных» производственных функций Леонтьева. Наоборот, последние представляют собой «кирпичики», которые служат основой любой неоклассической про- изводственной функции. Если используется глобальная производственная функция, то на каждом шаге модели экономического роста происходит вы- бор локальной леонтьевской технологии. Траектории моделей экономического роста могут исследоваться в тер- минах технологического меню. Так, аналогом уравнения динамики капитала модели роста оказывается следующее уравнение, описывающее траекторию выбираемых из меню и используемых леонтьевских технологий (l K t ,l L t ) ∈ Λ : Среди недавних публикаций, отстаивавающих данную точку зрения, отметим [Leon- Ledesma, Satchi, 2015]. 533 l L t+ 1 l K t+ 1 ( 1+ n) = l L t 1+1 − δ l K t ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − c t (8) Из (8) следует, что на каждой стационарной траектории используется определенная леонтьевская технология l = (l K ,l L ) ∈ Λ , и душевое потребле- ние равно c (l ) = l L 1− δ + n l K ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟. (9) Смысл равенства (9) состоит в том, что в стационарном состоянии из каждой единицы выпуска делаются расходы на амортизацию и создание новых рабочих мест, а остальное потребляется. Поскольку расходы (δ + n) отсчитываются с единицы капитала, коэффициент 1/l K пересчитывает их в расходы с единицы выпуска. Условием неотрицательности потребления яв- ляется неравенство l K ≥ (δ + n), которое означает продуктивность локальной технологии. Золотому правилу Фелпса соответствует решение задачи выбора ле- онтьевской технологии, обеспечивающей максимальное душевое по- требление (5): max l ∈Λ c (l ). Например, в случае функции Кобба — Дугласа AK α L 1−α , 0 < α <1 имеем технологическое меню Λ = {l K ,l L :l K α l L 1−α = A} ; в этом случае условие первого порядка задачи максимизации полезности сводится к тому, что используется та локальная технология, для которой l K = (δ + n) / α. Тогда из (9) следует, что c (l ) = l L 1−α ( ) ; это известное свойство стационара золотого правила: норма накопления равна s = α. Для модели Солоу с нормой накопления s имеет место сходимость к ста- ционарной «локальной» технологии, для которой l K = (δ + n) / s. В случае про- изводственной функции Кобба — Дугласа AK α L 1−α , 0 < α <1 можно получить два уравнения, описывающие динамику локальной технологии для коэффи- циентов l L t и l K t по отдельности: l L t+ 1 = A 1 α s 1+ n l L t + 1−δ 1+ n (l L t ) 1 α ⎛ ⎝ ⎜ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟⎟ α , l K t+ 1 = s 1+ n (l K t ) α α− 1 + 1−δ 1+ n (l K t ) 1 α− 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ α− 1 534 4. Семейства нормализованных технологических меню Семейство нормализованных технологических меню, соответствующее технологической отправной точке, может быть определено как множество технологических меню с различными значениями параметра q, которые об- ладают прототипной формой 8 βl K −q + ( 1−β)l L −q = H = const, где 0 < β < 1, и для отправной технологии (l K0 , l L0 ) имеют при всех q одно и то же значение H = H 0 и один и тот же угловой коэффициент технологического меню: −dl L / dl K = ν Технологическая отправная точка (l K 0 ,l L 0 ), H 0 , ν может быть интерпре- тирована как лучшая существующая (граничная) технология, а семейство нормализованных технологических меню — как прогноз будущего техноло- гического развития, допускающего такие технологические меню, которые (1) включают в себя граничную отправную технологию и (2) обладают спектpoм различных эластичностей замещения. Другая интерпретация: это множество возможных ожидаемых или альтернативных технологий, которые могут су- ществовать при различных условиях, например в различных странах. Подставляя β = ν / [ν + (l L 0 / l K 0 ) q+ 1 ] в прототипную форму, получаем νl K 0 νl K 0 q+ 1 + l L 0 q+ 1 l K l K 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ −q + l L 0 νl K 0 q+ 1 + l L 0 q+ 1 l L l L 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ −q = H 0 (10) В технологической отправной точке (10) превращается в (νl K 0 + l L 0 ) / (νl K 0 q+ 1 + l L 0 q+ 1 ) = H 0 Находим семейство нормализованных техноло- гических меню в виде 8 Прототипная форма может быть оправдана «моделью идей» технического про- гресса. В работе [Jones, 2005] предложена модель, в которой случайные производитель- ности капитала и труда, соответствующие новым технологическим идеям, описыва- ются независимыми распределениями Парето; эта модель ведет к производственной функции Кобба — Дугласа. Разработаны версии этой модели, ведущие к NCESF; они основаны на совместных распределениях, построенных на базе распределений Парето [Growiec, 2008a; Матвеенко, 2009; Matveenko, 2010] или на независимых распределе- ниях Вейбулла [Growiec, 2008b]. Имеются также версии, приводящие к ненормали- зуемым семействам CES-функций вида A(K p + L p )1/p; они основаны на независимых экспоненциальных распределениях [Matveenko, 2011; Матвеенко, Полякова, 2012] или на независимых распределениях Вейбулла [Hrendash, Matveenko, 2015]. 535 η l K l K 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ −q + ( 1− η) l L l L 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ −q = 1, где η = νl K 0 νl K 0 + l L 0 ∈ ( 0,1) не зависит от q. ТЕОРЕМА 2. Для каждого семейства нормализованных технологических меню M существует семейство NCESF Φ, такое что каждое меню m ∈ M по- рождает функцию f ∈Φ, и наоборот, каждая функция f ∈Φ порождается меню m ∈ M. Технологической отправной точке соответствует отправная точка се- мейства NCESF. Уравнения π = k 0 μ 0 + k 0 , η = ν ν + k 0 и π = η влекут μ 0 ν = k 0 2 Индуцированное семейство нормализованных технологических меню. Ин- тересно рассмотреть случай, когда технологическая отправная точка не про- извольна, а сама взята из некоторого меню. Пусть задана функция G(l K , l L ), которая обладает стандартными неоклассическими свойствами; Λ(G) — ее линия единичного уровня. В качестве технологических отправных значений возьмем некоторую леонтьевскую технологию (l K0 , l L0 ) ∈ Λ(G), соответствую- щий ей угловой коэффициент меню ν = ∂G ∂l K / ∂G ∂l L (l K 0 ,l L 0 ) и значение H 0 = G(l K0 l L0 ) = 1. Семейство нормализованных технологических меню имеет вид (l K ,l L ) : ∂G(l K 0 ,l L 0 ) ∂l K l K 0 1+q l K −q + ∂G(l K 0 ,l L 0 ) ∂l L l L 0 1+q l L −q = 1 ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ (11) Будем говорить, что семейство (11) индуцировано технологическим меню Λ(G) в точке (l K0 , l L0 ). Технологические меню семейства (7) порождают семейство NCESF 1 η l K 0 q K q + 1 1− η l L 0 q L q ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 1 q . (12) В то же время меню Λ(G)порождает производственную функ- цию F(K, L) = 1/G(1/K, 1/L), которая, в свою очередь, индуцирует семейство NCESF. Следующая теорема показывает, что полученные двумя способами семейства NCESF совпадают. ТЕОРЕМА 3. Производственная функция F(K, L) = 1/G(1/K, 1/L) в точ- ке (K 0 , L 0 ), такой что k 0 = l L0 /l K0 , индуцирует то же самое семейство NCESF (12), которое порождается семейством (11) технологических меню, индуцируе- мым Λ(G) в точке (l K0 , l L0 ). 536 Источники Матвеенко В.Д. «Анатомия» производственной функции: технологическое меню и выбор наилучшей технологии // Экономика и математические методы. 2009. Т. 46. № 2. С. 105–115. Матвеенко А.В., Полякова Е.В. Моделирование изменения технологий и по- требительских предпочтений // Вестник Костромского государственного универ- ситета им. Н.А. Некрасова. 2012. № 6. С. 159–162. Basu D., Weil D.N. Appropriate Technology and Growth // Quarterly Journal of Economics. 1998. Vol. 113. P. 1025–1054. Growiec J. A Microfoundation for Normalized CES Production Functions with Factor-augmenting Technical Change // Journal of Economic Dynamics and Control. 2013. Vol. 37. No. 11. P. 2336–2350. Growiec J. A New Class of Production Functions and an Argument Against Purely Labor-augmenting Technical Change // International Journal of Economic Theory. 2008a. Vol. 4. No. 4. P. 483–502. Growiec J. Production Functions and Distributions of Unit Factor Productivities: Uncovering the Link // Economic Letters. 2008b. Vol. 101. No. 1. P. 87–90. Hrendash T., Matveenko A. Choice Models Which Generate Production Functions and Utility Functions. Discussion Paper No. 232. Prague: CERGE — EI, 2015. Jones C.I. The Shape of Production Function and the Direction of Technical Change // Quarterly Journal of Economics. 2005. Vol. 120. No. 2. P. 517–549. Klump R., La Grandville O. de. Economic Growth and the Elasticity of Substitution: Two Theorems and Some Suggestions // American Economic Review. 2000. Vol. 90. No. 1. P. 282–291. Klump R., McAdam P., Willman A. The Normalized CES Production Function: Theory and Empirics // Journal of Economic Surveys. 2012. Vol. 26. No. 5. P. 769–799. Klump R., Saam M. Calibration of Normalised CES Production Functions in Dy- namic Models // Economics Letters. 2008. Vol. 99. No. 2. P. 256–259. Leon-Ledesma M., Satchi M. Appropriate Technology and the Labour Share. Kent Discussion Papers in Economics No. 1505. 2015. Martemyanov Yu., Matveenko V. On the Dependence of the Growth Rate on the Elasticity of Substitution in a Network // International Journal of Process Management and Benchmarking. 2014. Vol. 4. No. 4. P. 475–492. Matveenko V. Anatomy of Production Functions: A Technological Menu and a Choice of the Best Technology // Economics Bulletin. 2010. Vol. 30. No. 3. P. 1906– 1913. Matveenko V. On a Dual Representation of CRS Functions by use of Leontief Func- tions // Proceedings of the First International Conference on Mathematical Economics, Non-Smooth Analysis, and Informatics. Baku, Institute of Mathematics and Mechanics Azerbaijan National Academy of Sciences. 1997. P. 160–165. Matveenko V. Resources, Institutions and Technologies: Game Modeling of Dual Relations // Montenegrin Journal of Economics. 2013. Vol. 9. No. 3. P. 7–27. Matveenko A. Stochastic Models of the Technological Ideas Flow as a Foundation of the Production Functions // International Days of Statistics and Economics: Confer- ence Proceedings. Prague: Melandrium, 2011. P. 368–380. Matveenko V. Tropical Support Sets in Analysis of Weak Links and Complementar- ity // Litvinov G., Sergeev S. (eds). Tropical and Idempotent Mathematics and Applica- tions. Contemporary Mathematics. 2014. Vol. 616. P. 211–220. Rubinov A.M., Glover B.M. Duality for Increasing Positively Homogeneous Func- tions and Normal Sets // Recherche Operationnele/Operations Research. 1998. Vol. 12. No. 2. P. 105–123. Solow R. A Contribution to the Theory of Economic Growth // Quartely Journal of Economics. 1956. Vol. 7. No. 1. P. 65–94. Temple J.R.W. The Calibration of CES Production Functions // Journal of Macro- economics. 2012. Vol. 34. No. 2. P. 294–303. |