Высшая математика. РЕФЕРАТ по высшей математике. Вид работы Реферат Тема Функции одной переменной Подготовил Студент Левашов Дмитрий Игоревич (Ф. И. О. студента)
 Скачать 29.01 Kb.
|
|
ЧАСТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «Академия управления и производства» НАПРАВЛЕНИЕ ПОДГОТОВКИ 13.03.02 «ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКА И ЭЛЕКТРОТЕХНИКА» Кафедра Электротехники и электроэнергетики Дисциплина: Высшая математика Вид работы: Реферат Тема: Функции одной переменной Подготовил: Студент : Левашов Дмитрий Игоревич (Ф.И.О. студента) Курса 1 Группы _____________ _________________________ (Подпись студента) Проверил: _________________________ (Ф.И.О. преподавателя) _________________________ (Подпись преподавателя) Дата: ____ __________ 201 __ г. Содержание Введение………………………………………………………………….3 1. Общая схема исследования функций ………………………………..5 2. Признак возрастания и убывания функций …………………………6 3. Критические точки функции, максимумы и минимумы……………7 4. Наибольшие и наименьшие значения функции……………………8 5. Заключение………………………………………………………………9 6. Список литературы………………………………………………………10 Введение Изучение свойств функции и построение ее графика являются одним из самых замечательных приложений производной. Этот способ исследования функции неоднократно подвергался тщательному анализу. Основная причина состоит в том, что в приложениях математики приходилось иметь дело со все более и более сложными функциями, появляющимися при изучении новых явлений. Появились исключения из разработанных математикой правил, появились случаи, когда вообще созданные правила не годились, появились функции, не имеющие ни в одной точке производной. Развитие функциональных представлений в курсе изучения алгебры и начал анализа на старшей ступени обучения помогает получить наглядные представления о непрерывности и разрывах функций, узнать о непрерывности любой элементарной функции на области ее применения, научиться строить их графики и обобщить сведения об основных элементарных функциях и осознать их роль в изучении явлений реальной действительности, в человеческой практики. Начиная с XVIII века одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Необходимые предпосылки к возникновению понятия функции были созданы, когда возникла аналитическая геометрия, характеризующаяся активным привлечением алгебры к решению геометрических задач. Идея функциональной зависимости возникла в глубокой древности. Она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур и геометрических тел. Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берет свое начало в XVII веке в связи с проникновением в математику идеи переменных. Четкого представления понятия функции в XVII веке еще не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт. Постепенно понятие функции стало отождествляться с понятием аналитического выражения – формулы. Явное определение функции было впервые дано в 1718 году Иоганном Бернулли: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Во второй половине XIX века понятие функции формулируется следующим образом: если каждому элементу х множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у множества В, то говорят, что на множестве А задана функция y = f(x), или что множество А отображено на множество В. Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам, например, к геометрическим фигурам. Краткий обзор развития понятия функции приводит к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, как никогда не закончится и эволюция математики в целом. Общая схема исследования функций Исследуя функцию, нужно знать общую схему исследования: - D(y) – область определения (область изменения переменной х) - E(y) – область значения х (область изменения переменной у) Вид функции: четная, нечетная, периодическая или функция общего вида. Точки пересечения графика функции с осями Ох и Оу (по возможности). Промежутки знакопостоянства: а) функция принимает положительное значение: f(x) > 0 б) отрицательное значение: f(x) < 0. Промежутки монотонности функции: а) возрастания; б) убывания; в) постоянства (f = const). Точки экстремума (точки минимума и максимума). Экстремумы функции (значение функции в точках минимума и максимума). Дополнительные точки. Они могут быть взяты для того, чтобы более точно построить график функции. Следует заметить, что экстремумы функции f не всегда совпадают с наибольшим и наименьшим значением функции. Признак возрастания и убывания функций Если строить график функции по каким-либо произвольно выбранным его точкам, соединяя их плавной линией, то даже при очень большом числе случайно выбранных точек может оказаться, что построенный таким образом график будет сильно отличаться от графика заданной функции. Если при исследовании функции использовать производную и найти так называемые «опорные» точки, т.е. точки разрыва, точки максимума и минимума, промежутки монотонности функции, то даже при небольшом числе таких «опорных» точек мы получим правильное представление о графике функции. Определение монотонности функции на интервале Функция y = f(x) называется возрастающей на интервале, если для любых точек х1 и х2 этого интервала из условия х1< х2 следует, что f(x1) < f(x2). Если же из условия х1 < х2 следует, что f(x1) > f(x2), то функция называется убывающей на этом интервале. Достаточный признак монотонности функции в интервале. Теорема: если функция имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке интервала, то функция возрастает (убывает) на этом интервале. Геометрическое истолкование теоремы весьма простое, если вспомнить, что f’(x) = tgα, α – это угловой коэффициент касательной к графику функции в заданной точке х. Если, например, f‘(x) > 0 во всех точках некоторого интервала, то касательная к графику с осью абсцисс образуют острые углы, а значит, с ростом х возрастает и f(x). Если же f‘(x) < 0, то касательная с осью абсцисс образуют тупой угол, а значит, с ростом х функция f(x) убывает. Поскольку эти рассуждения основаны лишь на наглядных геометрических представлениях, они не являются доказательством теоремы. Критические точки функции, максимумы и минимумы Определение точек экстремума функции. Пусть х0 – внутренняя точка из области определения функции f(x). Тогда, если существует такая δ – окрестность ] x0- δ, x0+ δ [ точки х0, что для всех х из этой окрестности выполняется неравенство f(x) ≤ f(x0) (неравенство f(x) ≥ f(x0)), точка х0 называется точкой максимума (точкой минимума) этой функции. Точки максимума минимума являются внутренними точками области определения функции. Необходимый признак существования экстремума дифференцируемой функции. Теорема Ферма. Если х0 есть точка экстремума функции f(x) и в этой точке производная существует, то она равна нулю: f ’(x0)=0. Эта теорема не является достаточным условием существования экстремума дифференцируемой функции: если в некоторой точке х0 производная обращается в нуль, то из этого еще не следует, что в точке х0 функция имеет экстремум. Замечание: теорема не верна, если функцию рассматривать на отрезке. Определение критических точек функции. Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции. Достаточные условия существования экстремума. Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна в точке х0, f‘(x) > 0 на интервале [a, x0] и f‘(x) < 0 на интервале [x0, b], то х0 является точкой максимума функции f(x). Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна в точке х0, f‘(x) < 0 на интервале [a, x0] и f‘(x) > 0 на интервале [x0, b], то х0 является точкой минимума функции f(x). Наибольшие и наименьшие значения функции Правила отыскания наибольшего и наименьшего значений функций в промежутке. Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой в некотором промежутке, нужно найти все критические точки, лежащие внутри промежутка, вычислить значения функции в этих точках и на концах промежутка и из всех полученных таким образом значений функции выбрать наибольшее и наименьшее. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Справедливости ради надо сказать, что по сравнению с другими науками экономика и менеджмент были на одном из последних мест по глубине проникновения в них математических знаний, созданию количественных методов исследования. Многие ученые-экономисты считали (а некоторые считают и по сей день), что экономика, управление организациями, как и другие общественные науки, – знания чисто описательного характера. Потребности практики, однако, требуют от экономики и менеджмента все более точных и изощренных расчетов. И тут без математики не обойтись. Развитие предпринимательства сопровождается появлением и быстрым совершенствованием науки о рыночном управлении предприятиями и производством – становлением научного менеджмента. Математика – язык, на котором сегодня говорит любая точная наука. Математические идеи пронизывают современные макро и микроэкономику, служат основой автоматизации управленческих и производственных процессов, базой для совершенствования компьютерных программ. В настоящее время математический аппарат является признанным инструментом менеджмента и экономики. С его помощью разрабатываются конкретные прикладные задачи управления предприятиями и организациями, оптимизации бизнеса и производства, финансового регулирования. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Башмаков, М.И. Алгебра и начало анализа. – М.: Просвещение, 1992. 2. Гусев, В.А. Математика: Справочные материалы. – М.: Просвещение, 1888. 3. Дорофеев, Г.В. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. – М.: Наука, 1974. 4. Зорин, В.В. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. – М.: Высшая школа, 1980. 6. Исследование операций в экономике: Учеб. Пособие для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. Проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2005 г. |