Ермолаева. Ермол_7. Vii неустановившаяся фильтрация упругой жидкости в упругой пористой среде
![]()
|
По правилу дифференцирования сложных функций находим![]() ![]() ![]() Подставляя найденные значения производных в уравнение (7.14), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение ![]() которое должно быть проинтегрировано по условиям (7.13) Для решения (7.15) обозначим ![]() ![]() Разделяя переменные в (7.20) и интегрируя, получаем ![]() где С1 – постоянная интегрирования. Интегрируя (7.21), будем иметь ![]() Второе условие из (7.13) дает ![]() Из интегрального исчисления известно, что ![]() поэтому ![]() ![]() Интеграл в (7.22) называется интегралом вероятности и является табулированной функцией, изменяющейся в пределах от 0 до 1: ![]() ![]() Рис. 42Таким образом ![]() Тогда закон распределения давления в неустановившемся прямолинейно-параллельном потоке упругой жидкости имеет вид ![]() Зная х и t, определяем значение ![]() ![]() Р ![]() аспределение давления Р(х,t) показано на рис.43. Рис. 43Найдем дебит Q галереи. Будем считать положительным дебит, отбираемый из галереи (х=0), когда поток движется против оси х. Согласно закону Дарси, имеем ![]() где В, h – соответственно ширина и толщина пласта. Дифференцируя выражение (7.23), получаем ![]() Тогда дебит будет равен![]() И ![]() з формулы (7.24) следует, что дебит галереи убывает с течением времени по закону ![]() Рис. 44 Накопленная к моменту времени t добыча Vдоб определяется по формуле ![]() т.е. сразу после начала отбора из галереи Vдоб быстро возрастает, а затем растет очень медленно. Плоско-радиальный фильтрационный поток упругой жидкости; основная формула теории упругого режима Пусть в неограниченном горизонтальном пласте постоянной толщины h имеется добывающая скважина нулевого радиуса (точечный сток). Начальное пластовое давление во всем пласте одинаково и равно РК . В момент времени t=0 скважина пущена с постоянным объемным дебитом Q0=const. В пласте образуется неустановившийся плоско-радиальный поток упругой жидкости. Распределение давления в пласте Р(r,t) определяется интегрированием уравнения (7.10), которое для плоско-радиального движения (в полярных координатах) запишется в виде ![]() Начальные и граничные условия задачи: ![]() ![]() ![]() Последнее условие запишем в виде ![]() Проведем анализ размерностей. Искомое распределение давления в пласте Р(r,t) зависит от пяти определяющих параметров: r, t, , PK , Q/2kh , размерности которых следующие: ![]() Тогда давление, приведенное к безразмерному виду ![]() ![]() где ![]() Таким образом, задача автомодельна и уравнение (7.27) можно свести к обыкновенному. Дифференцируя (7.28), найдем аналогично предыдущему ![]() ![]() ![]() Подставляя полученные выражения в уравнение (7.25), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение вида ![]() которое нужно проинтегрировать при условиях, полученных из (7.26) и (7.27): ![]() ![]() и ![]() Используем подстановку ![]() ![]() или ![]() Интегрируя (7.31), получаем ![]() где С1 – постоянная интегрирования. Потенцируя (7.32), имеем ![]() Интегрируя (7.33) и учитывая первое из условия (7.30), получаем ![]() Умножая (7.33) на , устремляя 0 и используя второе из условий (7.30), находим ![]() Тогда из (7.34) получим ![]() Интеграл в последней формуле легко свести к табличному следующей подстановкой ![]() Тогда ![]() Перейдем от безразмерного давления ![]() ![]() ![]() Интеграл в (7.36) называется интегральной показательной функцией, которая табулирована и обозначается ![]() К ![]() ачественное изменение этой функции показано на рис. 45. Рис. 45 Следовательно, давление в любой точке плоско-радиального потока в условиях упругого режима фильтрации определяется по формуле ![]() Формула (7.37) называется основной формулой теории упругого режима фильтрации. Она носит широкое практическое применение, и в частности используется при интерпретации результатов исследования скважин. При малых значениях аргумента ![]() ![]() где 0,5772 = ln 1,781 = СЭ – константа Эйлера; т.е. ![]() при этом погрешность не превышает 0,25 %, если ![]() 1,0 % , если ![]() Таким образом, при малых значениях ![]() ![]() или ![]() Из (7.37) находим, что расход жидкости через любую цилиндрическую поверхность радиусом r и скорость фильтрации определяются соответственно по формулам ![]() ![]() Из последней формулы следует, что стационарная скорость ![]() Заметим, что формула (7.37) справедлива лишь для точечного стока, т.е. для r = 0 в неограниченном пласте (RK = ). Для оценки влияния конечного радиуса возмущающей скважины rC на результаты расчетов давления В.Н.Щелкачев использовал параметр Фурье ![]() Р ![]() ассмотрим пьезометрические кривые для бесконечного пласта, который эксплуатируется скважиной радиуса rC с постоянным дебитом Q0 (рис.46). Рис. 46 Для точек вблизи забоя скважины можно пользоваться формулой (7.39); дифференцируя ее по координате r, найдем градиент давления ![]() Из этой формулы следует, что градиент давления для значений ![]() Таким образом, вокруг скважины, непрерывно увеличиваясь, образуется область, в пределах которой давление распределяется как при установившемся режиме (область квазиустановившегося процесса) – на рис.46 показаны жирными линиями. Решение дифференциального уравнения упругого режима для различных случаев фильтрации упругой жидкости в ограниченных открытых и закрытых пластах представляются бесконечными рядами по функциям Бесселя. В то же время непосредственными расчетами В.Н. Щелкачев показал, что в громадном большинстве практически интересных случаев поведение возмущающей скважины в конечном открытом пласте (рис.47) можно в течении достаточно длительного времени изучать при помощи простой формулы (7.37) для бесконечного пласта. В частности расхождение в значениях ![]() ![]() ![]() ![]() и ![]() ![]() ![]() Характер распределения давления Р(r,t) для случаев ограниченного открытого и закрытого пластов показан на рис.47 и 48 соответственно. |