«Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы без учета. Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы без учета демпфирования

• Название: Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы без учета демпфирования
• Дата: 28.02.2023
• Размер: 378.79 Kb.
• Имя файла: «Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы без учета.docx
• Тип: Документы; #960902

Министерство образования и науки Республики Казахстан

НАО «Евразийский национальный университет имени Л.Н.Гумилева»

Архитектурно-строительный факультет

СРО №6

По дисциплине «Динамика и устойчивость сооружений»

На тему: «Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы без учета демпфирования»

Проверил: Абильмаженов Т. Ш.

Выполнила: Батурина О.В.

Астана 2022

План:

1. Действие мгновенного импульса
2. Действие системы импульсов
3. Действие произвольной нагрузки
4. Действие вибрационной нагрузки
5. Действие внемассовой нагрузки
6. Кинематическое возмущение эпюр

1. Действие мгновенного импульса

Пусть находящаяся в покое колебательная система с массой m в момент времени  подвергается действию мгновенного импульса S (рис. 2.9 а). Это воздействие вызовет свободные колебания системы, которые, если не учитывать демпфирование, можно считать собственными колебаниями. Поэтому примем
(2.32)


Мгновенный импульс не успевает изменить положение массы, поэтому y_t= 0. Однако, действуя как импульс, он сообщает массе начальную скорость v_t=S/m. По этим начальным условиям из (2.32) определим амплитуду и начальную фазу колебаний:

a = S /m ,  = – .

Тогда уравнение (2.32) принимает вид
(2.33)
Значит, колебания массы m будут происходить с собственной частотой  и периодом T собственных колебаний системы. График этого движения представлен на рис. 2.9 б.
2. Действие системы импульсов

Если в моменты ₁,₂,…,_k на систему действуют несколько мгновенных импульсов S₁, S₂, ..., S_k, то на основе принципа суперпозиции (независимости действия сил), перемещение массы будет определяться суммой перемещений от каждого импульса. С учетом (2.33), получим



Наиболее невыгодным, оказывающим наибольшее воздействие на систему, является периодическое действие импульсов. Пусть импульсы равной величины S действуют через период T_s (рис. 2.10 а). Если момент (время) начала действия первого импульса принять ₁=0, то момент приложения i-го импульса будет _i=(i–1)T_s . Тогда имеем





Если период действия импульсов равен периоду собственных колебаний (т.е. T_s=T=2 ), то уравнение движения массы будет определяться формулой



Из него следует, что амплитуда колебаний зависит от числа импульсов k:



График этого движения представлен на рис. 2.10 б.

Таким образом, при действии импульсов с постоянной частотой, равной частоте собственных колебаний системы, амплитуда колебаний равномерно и неограниченно растет. Совпадение частоты возмущающей силы с собственной частотой и сопровождающие его явления называются резонансом. При резонансных колебаниях сооружения возникают большие деформации и напряжения, что может привести к разрушениям.
3. Действие произвольной нагрузки

Для определения частного решения неоднородного дифференциального уравнения при действии произвольной силы P=P(t), эту силу представим как непрерывное действие бесконечно большого числа мгновенных импульсов (рис. 2.11). Принимая в формуле (2.34) S_i= P()d и интегрируя в интервале времени 0t, получим



Он называется интегралом Дюамеля.



Так как это есть частное решение дифференциального уравнения (2.29), а общее решение однородного уравнения определяется по формуле (2.31), то общее решение всего уравнения будет



Первое слагаемое y_соб в этом выражении соответствует собственным колебаниям системы, а второе − вынужденным колебаниям.

Таким образом, масса совершает сложное движение, состоящее из суммы двух колебаний. Однако, из-за наличия внутреннего трения (в реальных системах − сооружениях − оно всегда присутствует) свободные колебания затухают. Поэтому через некоторое время после начала колебаний свободными колебаниями можно пренебречь и считать, что в дальнейшем система совершает только чисто вынужденные колебания, определяемые выражением (2.35).
4. Действие вибрационной нагрузки

Рассмотрим вибрационную нагрузку, изменяющуюся по закону P(t)=P₀sin θt. Если подставить эту функцию в (2.35), получим выражение



Его интегрирование дает следующий результат



Первое слагаемое в правой части этой формулы sinωt соответствует собственным колебаниям с частотой , а второе слагаемое представляет чисто вынужденные колебания с частотой вибрационной силы θ.

В обычных сооружениях собственные колебания быстро затухают и после нескольких колебаний остаются лишь вынужденные колебания. Этот процесс называется установлением колебаний. После установления колебаний система колеблется лишь с частотой возмущающей силы:



Преобразуем эту формулу. Так как



Здесь P₀ = y_ст − статический прогиб под действием силы P₀. Тогда



По этой формуле можно заключить, что, в зависимости от частоты, вибрационная нагрузка может оказывать бόльшее воздействие чем статическая нагрузка. С целью изучения этого явления вводится понятие коэффициента динамичности , который показывает, во сколько раз максимальное отклонение от динамической нагрузки больше отклонения от ее статического действия:



Если этот коэффициент известен, то расчет на динамическую нагрузку P(t)=P₀sint можно заменить расчетом на статическую нагрузку P= P₀ . Коэффициент динамичности вибрационной силы определяется из (2.39):


Эта формула используется при малых частотах вибрационной силы, когда θ. При больших частотах, когда θ, получаем



Значит, в этом случае



Анализ формулы (2.38) позволяет сделать некоторые выводы:

1) когда θ, знак отклонения y совпадает со знаком силы P, поэтому вибрационная сила и вызванное ею перемещение массы находятся в одной фазе;

2) когда θ, то знак отклонения будет противоположен знаку силы, т.е. возмущающая сила P и перемещение y будут в противофазе;

3) когда частота вынуждающей силы приближается к частоте собственных колебаний, т.е. θ , то амплитуда колебаний неограниченно возрастает: y  ∞. Такой случай соответствует резонансу.

Однако, вывод о неограниченном возрастании перемещений был получен без учета затухания колебаний. В действительности, из-за наличия демпфирования, этого не будет. Этот вывод не справедлив и потому, что в области больших деформаций становится непригодным решение теории линейных колебаний. Поэтому резонанс следует рассматривать как случай, когда значительно возрастает амплитуда колебаний (рис. 2.12). И это может стать опасным для прочности Рис. 2.12 сооружения.



Согласно нормам, в период установившегося режима работы машин нужно стремиться к тому, чтобы частоты θ и  отличались друг от друга не менее чем на 30%, т.е. чтобы их отношение не лежало в интервале


5. Действие внемассовой нагрузки

Приложение динамической нагрузки в системе вне массы (рис. 2.13 а) является более общим случаем рассмотренного вопроса. Такая задача решается путем замены действующей внемассовой силы P(t) на эквивалентную ей заменяющую силу P_m(t) (рис. 2.13 б).

Заменяющая сила P_m(t) должна дать такое же перемещение массы m, что и сила P(t), т.е. должно быть y(t)=y_m(t). С другой стороны, y_m(t)=P_m(t) , где  – податливость балки в точке расположения массы m (рис. 2.13 в). Тогда внемассовая нагрузка приводится к замещающей силе.




6. Кинематическое возмущение эпюр

Рассмотрим балку с массой m (рис. 2.14 а), правая опора которой перемещается по известному закону (t).



Условно можно считать, что балка совершает вынужденные колебания под действием реакции R(t) в опоре при ее смещении на (t). Тогда, на основании формулы (2.44), внемассовую силу R(t) можно заменить силой



приложенной к массе (рис. 2.14 б). Перемещение y(t) найдем по методу перемещений, рассматривая единичное состояние балки (рис. 2.14 в) при =1. Если _m – перемещение массы m, то



Тогда заменяющая сила, эквивалентная смещению (t), будет



Подставляя ее в (2.36), получим



С учетом того, что , окончательно получаем



Рассмотрим частный случай кинематического возбуждения по гармоническому закону



где Δ₀ – амплитудное значение смещения опоры, θ – частота кинематического возбуждения. Подставляя (2.46) в (2.45), имеем



После интегрирования и ряда преобразований получим



При длительных колебаниях влиянием собственных колебаний (перемещением y_соб и вторым слагаемым в скобках) можно пренебречь. Тогда перемещение массы и действующая на нее инерционная сила будут



Список использованной литературы:

1. Динамика и устойчивость сооружений Р.А. Шакирзянов, Ф.Р. Шакирзянов, Казань Ай Пи Ар Медиа, 2022, 119 стр.

2. Динамика и устойчивость сооружений: учеб. пособие / А. К. Рябухин, Д. В. Лейер, Н. Н. Любарский. – Краснодар: КубГАУ, 2020. – 171 с.