ОСА 1,2 МНК. Визначення характеристик систем за емпіричними залежностями 1Короткі теоретичні відомості
 Скачать 0.55 Mb.
|
Основи системного аналізуПрактична робота №1, 2 ВИЗНАЧЕННЯ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ за емпіричними залежностями1Короткі теоретичні відомостіУ процесі вивчення різних питань природознавства, економіки і техніки, соціології, педагогіки доводиться на основі великої кількості дослідних даних виявляти суттєві фактори, які впливають на досліджуваний об’єкт, а також встановлювати форму зв’язку між різними зв’язаними одна з одною величинами (ознаками). Нехай у результаті досліджень дістали таку таблицю деякої функціональної залежності (таблиця 1.1): Таблиця 1.1 – Приклад емпіричної залежності
Треба знайти аналітичний вигляд функції  , яка добре відображала б цю таблицю дослідних даних. Функцію  можна шукати у вигляді інтерполяційного поліному. Але інтерполяційні поліноми не завжди добре відображають характер поведінки таблично заданої функції. До того ж значення  дістають у результаті експерименту, а вони, як правило, сумнівні. У цьому разі задача інтерполювання табличної функції втрачає сенс. Тому шукають таку функцію  , значення якої при  , досить близькі до табличних значень   . Формулу називають емпіричною, або рівнянням регресії  на  . Емпіричні формули мають велике практичне значення, вдало підібрана емпірична формула дає змогу не тільки апроксимувати сукупність експериментальних даних, «згладжуючи» значення величини , а й екстраполювати знайдену залежність на інші проміжки значень .Процес побудови емпіричних формул складається з двох етапів: встановлення загального виду цієї формули і визначення найкращих її параметрів. Щоб встановити вигляд емпіричної формули, на площині будують точки з координатами  . Деякі з цих точок сполучають плавною кривою, яку проводять так, щоб вона проходила якомога ближче до всіх даних точок. Після цього візуально визначають, графік якої з відомих нам функцій найкраще підходить до побудованої кривої. Звичайно, намагаються підібрати найпростіші функції: лінійну, квадратичну, дробово-раціональну, степеневу, показникову, логарифмічну.Встановивши вигляд емпіричної формули, треба знайти її параметри (коефіцієнти). Найточніші значення коефіцієнтів емпіричної формули визначають методом найменших квадратів. Цей метод запропонували відомі математики К. Гаус і А. Лежандр. Суть методу наступна Нехай емпірична формула має вигляд  , (1.1)де  ,  , …,  ─ невідомі коефіцієнти. Треба знайти такі значення коефіцієнтів  , за яких крива (1) якомога ближче проходитиме до всіх  точок  ,  , …,  , знайдених експериментально. Зрозуміло, що жодна з експериментальних точок не задовольняє точно рівняння (1.1). Відхилення від підстановки координат у рівняння (1.1) дорівнюватимуть величинам: .За методом найменших квадратів найкращі значення коефіцієнтів  ті, для яких сума квадратів відхилень (1.2)дослідних даних  від обчислених за емпіричною формулою (1.1) найменша. Звідси випливає, що величина (1.2), яка є функцією від коефіцієнтів , повинна мати мінімум. Необхідна умов мінімуму функції багатьох змінних ─ її частинні похідні мають дорівнювати нулю, тобто ,  , …,  .Диференціюючи вираз (1.2) по невідомих параметрах  , матимемо відносно них систему рівнянь (1.3): (1.3) Система (1.3) називається нормальною. Якщо вона має розв’язок, то він єдиний, і буде шуканим.Якщо емпірична функція (1.1) лінійна відносно параметрів , то нормальна система (1.3) буде системою з  лінійних рівнянь відносно шуканих параметрів.Будуючи емпіричні формули, припускатимемо, що експериментальні дані  додатні. Якщо серед значень  і  є від’ємні, то завжди можна знайти такі додатні числа  і  , що  і  . Тому розв’язування поставленої задачі завжди можна звести до побудови емпіричної формули для додатних значень  .Побудова лінійної емпіричної формули. Нехай між даними існує лінійна залежність. Шукатимемо емпіричну формулу у вигляді . (1.4)Знайдемо значення  і  , за яких функція матиме мінімальне значення. Щоб знайти ці значення, прирівняємо до нуля частинні похідні функції   Звідси, врахувавши, що  , маємо (1.5)Розв’язавши відносно і цю систему, отримаємо , (1.6)  . (1.7)Зазначимо, що, крім графічного, є ще й аналітичний критерій виявлення лінійної залежності між значеннями  і  .Покладемо  ,  ,  .Якщо  , то залежність між і лінійна, бо точки  лежатимуть на одній прямій. Якщо  , то між і існує майже лінійна залежність, оскільки точки лежатимуть близько до деякої прямої.Побудова емпіричних формул найпростіших нелінійних залежностей. Нехай у системі координат  маємо нелінійну залежність  , неперервну і монотонну на відрізку  .Введемо змінні  ,  так, щоб у новій системі координат  задана емпірична нелінійна залежність стала лінійною . (1.10)Тоді точки з координатами  в площині  лежатимуть на прямій лінії.Покажемо, як від нелінійних залежностей 1)  , 2)  , 3)  ,4)  , 5)  , 6)  перейти до лінійних. 1) Розглянемо степеневу залежність , де  ,  ,  .Логарифмуючи її, знаходимо  . Звідси, поклавши  ,  ,  ,  , маємо .2) Логарифмуючи показникову залежність , маємо  . Поклавши ,  ,  , в системі координат дістанемо залежність (1.10).Зазначимо, що замість показникової залежності часто шукають залежність  . Остання перетвориться в лінійну, якщо позначити , , , .3) Щоб перейти від логарифмічної залежності до лінійної  , досить зробити підстановку  , .4) У гіперболічній залежності замінимо змінні  ,  . Тоді гіперболічна залежність перетвориться в лінійну (1.10), в якій  ,  .5) Розглянемо дробово-лінійну функцію . Знайдемо обернену функцію  . Тоді ввівши нові координати  , , дістанемо лінійну залежність (1.10), де , .6) Нехай маємо дробово-раціональну залежність . Оберненою до неї буде залежність  . Ввівши нові змінні ,  , дістанемо лінійну залежність (1.10) з коефіцієнтами ,  .Отже, для побудови будь-якої з емпіричних формул 1)-6) треба: а) за вихідною таблицею даних побудувати нову таблицю  , використавши відповідні формули переходу до нових координат;б) за новою таблицею даних знайти методом найменших квадратів коефіцієнти  і  лінійної функції (1.10);в) за відповідними формулами знайти коефіцієнти  і  даної нелінійної залежності.Вибрати емпіричну формулу для нелінійних залежностей графічним методом часто буває важко. Тоді вдаються до перевірки аналітичних критеріїв існування певної залежності. Для цього зводять її до лінійної і перевіряють виконання критерію лінійної залежності між перетвореними вихідними даними . Але є й власні аналітичні критерії наявності кожної з розглянутих вище нелінійних залежностей. Найпростіші необхідні умови їх наявності подано в табл. 2.Умови перевіряють у такий спосіб. На заданому відрізку зміни незалежної змінної вибирають дві точки, досить надійні і розміщені якомога далі одна від одної. Нехай, наприклад, це будуть точки  ,  . Потім, залежно від типу емпіричної формули, що перевіряється, обчислюють значення  , яке є або середнім арифметичним, або середнім геометричним, або середнім гармонічним значень , . Маючи значення  і  аналогічно обчислюють і відповідне значення  . Далі, користуючись даною таблицею значень  , для значення  знаходять відповідне йому значення  . Якщо немає в таблиці, то знаходять наближено з побудованого графіка даної залежності або за допомогою лінійної інтерполяції  , де  і  ─ проміжні значення, між якими лежить  . Обчисливши , знаходять величину  . Якщо ця величина велика, то відповідна емпірична формула не придатна для апроксимації заданих табличних даних. З кількох придатних емпіричних формул перевагу надають тій, для якої відхилення якомога менше.Таблиця 2 – Умова вибору апроксимаційних залежностей
|
, де 
, де 
, де