Задание Математика. Внимание! Данное задание
 Скачать 18.13 Kb.
|
|
Внимание! Данное задание необходимо выполнить и отправить на проверку преподавателю. Задание. Для функции y = (2x + 3)e5x : 1. Найти область определения, точки разрыва . 2. Исследовать функцию на четность, периодичность . 3. Исследовать поведение функции на концах области определения. Указать асимптоты. 4. Найти промежутки монотонности. Точки экстремума . 5. Найти промежутки выпуклости. Точки перегиба. 6. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = (2x + 3)e5x и прямыми x = 0, x = 2, y = 0. Результаты исследования оформить в виде таблицы.
1. Область определения функции - вся числовая ось: D(f) = R при х ≠ 1. 2. Функция f (x) = (2x-1)/(x-1)^2 непрерывна на всей области определения. Точка, в которой функция точно не определена (разрыв функции): х = 1. Область значений функции приведена в пункте 5. 3. Точки пересечения с осью координат Ох. График функции пересекает ось Ох при f = 0, значит надо решить уравнение: (2x-1)/(x+1)^2 =0. Достаточно для дроби приравнять нулю числитель и проверить, не превращается ли в 0 знаменатель при найденных корнях. Приравниваем нулю: 2х - 1 = 0. х = 0,5. Значит, функция может принимать значения х = 0, так как точка, при которой знаменатель превращается в 0, это х = 1. 4. Точки пересечения с осью координат Оу. График пересекает ось Oy, когда x равняется 0. Точка пересечения графика с осью координат Оу соответствует аргументу х = 0. Результат: f(0) = -1. Точка: (0, -1). 5. Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y’ = 0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: y^'=-2x/(x-1)^3 =0. Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами (достаточно нулю приравнять числитель): 2x=0. Получаем 1 корень этого уравнения и это - точка, в которых возможен экстремум: х = 0 .Эта точка делит область определения функции на 2 промежутка, а с учётом точки разрыва функции при х = 1 получаем 3 промежутка монотонности функции : x ϵ (-∞; 0) U (0; 1) U (1; +∞). На промежутках находим знаки производной. Находится производная, приравнивается к 0, найденные точки выставляются на числовой прямой; к ним добавляются те точки, в которых производная не определена. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума. x = -1 0 0,5 1 2 y' = -0,25 0 8 - -4 Минимум функции в точке х = 0. Максимума функции нет. Возрастает на промежутке: x ϵ (0; 1). Убывает на промежутках: (-∞; 0) (1; +∞).. Наличие точки разрыва функции первого рода требует определения предела функции при приближении к точке х = 1. Находим пределы при х→1_(-0) и х→1_(+0). lim┬(x→1)〖(2x-1)/(x-1)^2 =∞〗. Так как в точке х = 1 функция терпит бесконечный разрыв, то прямая, заданная уравнением х = 1, является вертикальной асимптотой графика. Отсюда находим область значений функции - вся числовая ось: E(y) = R. 6. Точки перегибов графика функции: Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции. y^''=(2(2x+1))/(x-1)^4 =0. Это уравнение имеет решение при 2x+1=0,x=-1/2. Поэтому у графика перегиб в точке ((-1/2); (-8/9)). 7. Интервалы выпуклости, вогнутости: Так как вертикальная асимптота делит график на 2 части, а точка перегиба находится в одной из них, то имеем 3 промежутка выпуклости функции: x ϵ (-∞; (-1/2)) U ((-1/2); 1) U (1; +∞). Находим знаки второй производной на этих промежутках - где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый: x = -1 -0,5 0,5 1 2 y'' = -0,125 0 64 - 10 Выпуклая на промежутке: (-∞; (-1/2)). Вогнутая на промежутках: ((-1/2); -1) и (-1; ∞). 8. Асимптоты. Вертикальная асимптота определилась в пункте 2, это прямая х = 1. Горизонтальные асимптоты графика функции: Горизонтальную асимптоту найдем с помощью предела данной функции при x->+∞ и x->-∞. Соотвествующие пределы находим: lim┬(x→∞)〖2x/(x-1)^2 =∞〗, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует lim┬(x→-∞)〖2x/(x-1)^2 =-∞〗,, значит, горизонтальной асимптоты слева не существует. Наклонные асимптоты графика функции Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y=kx+b. Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при lim┬( x→±∞)〖(kx+b-f(x)).〗 Находим коэффициент k: k=lim┬(x→±∞)〖(f(x))/x.〗 k= lim┬(x→∞)〖(2x-1)/((x-1)^2 x)=(2x-1)/(x^3-2x^2+x)=(2x/x^3 -1/x^3 )/(x^3/x^3 -(2x^2)/x^3 +x/x^3 )=(0-0)/(1-0+0)=0.〗 Так как коэффициент к = 0, то наклонной асимптоты нет, она совпадает с осью Ох при x→∞. 9. Четность и нечетность функции: Проверим функцию - четна или нечетна с помощью соотношений f(-x)=f-x) и f(-x)=-f(x). Итак, проверяем: f(-x)=(-2x-1)/(-x-1)^2 =(-(2x+1))/(x+1)^2 ≠f(x)≠-f(x). 3начит, функция не является ни чётной, ни нечётной. |