Изотропные среды. Волны в анизотропных средах
![]()
|
">http://www.allbest.ru/ Волны в анизотропных средахВ однородной анизотропной среде без пространственной дисперсии, для которой зависимость свойств от направления одинакова в разных точках, материальные уравнения принимают вид: Di(r, ) = i j()Ej(r, ), Bi(r, ) = i j()Hj(r, ), ![]() Обычно в среде тензором бывает либо магнитная, либо диэлектрическая проницаемость, а вторая величина при этом является скаляром. 1. Волновое уравнение для анизотропной средыРассмотрим немагнитную негиротропную однородную и анизотропную среду с материальным уравнением вида ![]() rot H = –iD/c, div H = 0, rot E = iH/c, div D = 0, и с учетом материальных уравнений сводятся к волновому уравнению ![]() Для плоских волн уравнения Максвелла принимают вид (2.28) [k H] = –D/c, (k H) = 0, [k E] = H/c, (k D) = 0, (3.0) а волновое уравнение (3.1) можно записать в виде: ![]() Из системы уравнений (3.2) следует, что векторы k, D и H взаимно перпендикулярны и вектор H перпендикулярен вектору Е, но вектор Е в общем случае не коллинеарен вектору D. В плоскости волнового фронта (k r) = const лежат векторы D и H, а вектор Е не лежит в этой плоскости. Следовательно, и направление потока энергии S = [E H]c/(4) не совпадает с волновым вектором k, то есть не совпадают направления групповой и фазовой скоростей. Введем лучевой вектор s, направление которого совпадает с направлением вектора Пойтинга S, а модуль определяется из условия (s n) = 1, (3.0) где n = kc/. Нетрудно показать, что (s Е) = 0, (s Н) = 0. (3.0) Умножая уравнение (3.2) векторно на s и учитывая соотношение (3.4), получим: [s D] = H, [s H] = –E. (3.0) Материальное уравнение для соотношений (3.5) и (3.6) имеет вид ![]() Волновое уравнение (3.3) может быть записано для компонентов в виде, аналогичном уравнению (2.29): (n2i j – ninj – i j)Ej = 0. Нетривиальное решение этой системы уравнений возможно лишь при равенстве нулю ее детерминанта, что задает дисперсионное уравнение: det(n2i j – ninj – i j) = 0, (3.0) устанавливающее частотную зависимость коэффициента преломления n() при заданном тензоре диэлектрической проницаемости i j(). Аналогично система уравнений (3.5) и (3.6) приводит к другой форме дисперсионного уравнения: det(s2i j – sisj – –1i j) = 0. (3.0) Для анизотропных и негиротропных кристаллов тензор диэлектрической проницаемости симметричен i j() = j i(). Если среда прозрачна, то есть можно пренебречь поглощением, то все компоненты тензора вещественны, а симметрический вещественный тензор может быть приведен к главным осям, в которых отличны от нуля только его диагональные компоненты x x, y y, z z. В этих осях материальное уравнение принимает вид: Dx = x x Ex, Dy = y y Ey, Dz = z z Ez. (3.0) Естественно, что в главных осях и обратный тензор тоже диагональный, а дисперсионное соотношение (3.8) принимает вид уравнения Френеля: анизотропный среда волновой кристалл ![]() Для монохроматической волны фиксированной частоты уравнение Френеля (3.11) является квадратичным относительно квадрата показателя преломления n2. Поэтому каждому заданному направлению n = (nx, ny, nz) соответствуют два различных значения волнового числа k = n/c, то есть две нормальных волны, распространяющихся с различными фазовыми скоростями. Например, вдоль главной оси z получаем nx = ny = 0, nz = n, и уравнение Френеля (3.11) существенно упрощается: n4 – n2(x x + y y) + x x y y = 0, n21 = x x, n22 = y y. Рассмотрим поляризацию нормальных волн. Направим ось z' вдоль вектора n, тогда Dz' = 0 и уравнения (3.2) легко сводятся к виду: D = n2E – n(nE), Dx' = n2Ex', Dy' = n2Ey', который с помощью материального уравнения (3.7) записывается в виде: ![]() Поскольку все компоненты обратного тензора диэлектрической проницаемости действительны, то и множитель поляризации ![]() тоже действительное число. Таким образом, в анизотропной среде нормальные волны поляризованы линейно. Всякая другая волна в анизотропной среде расщепляется на две линейно поляризованные волны, фазовые скорости которых различны. Найдем теперь направление групповой скорости нормальной волны. Пусть E(r) = eE(r), тогда волновое уравнение (3.3) примет вид: ![]() Умножим уравнение (3.12) скалярно на е и продифференцируем его по k: ![]() откуда получаем выражение для групповой скорости: ![]() Поскольку е = Е/Е, а в силу соотношения (3.2) [k e] = [k E]/E = H/(cE), то [e [k e]] = [H E]/(cE2) = 4S/(cE)2, то есть групповая скорость нормальной волны параллельна ее лучевому вектору. Наконец, рассмотрим ограниченный в сечении пучок (почти плоскую волну) вида: E(r) = A(r)exp(ikr), (3.0) где амплитуда A(r) медленно меняется в пространстве: |dA/dr| << k|A|. (3.0) Пусть пучок является одной из нормальных волн: A(r) = еA(r). (3.0) Найдем ротор векторного поля E(r) вида (3.14): rot E = rot (A(r)eikr) = eikr rot A + [grad (eikr) A] = eikr(rot A + i[k A]). Возьмем еще раз ротор от полученного выражения с учетом условий (3.15) и (3.16): rot rot E = eikr rot (rot A + i[k A]) + [grad (eikr) (rot A + i[k A])] eikr{rot (Ai[k e] + i[k (rot A + i[k A])]} = = eikr{iA rot [k e] + i[(grad A) [k e]] + i[k [(grad A) e]] – [k [k A]]}. Тогда волновое уравнение (3.1) принимает вид: i[(grad A) [k e]] + i[k [(grad A) e]] – {[k [k e]] +e2/c2}A = 0. (3.0) Заметим, что в силу уравнения (3.12) выражение в фигурных скобках обращается в нуль. Умножая уравнение (3.17) скалярно на вектор е, получим: e{k(e grad A) – e(k grad A) + (grad A)(ke) – e(k grad A)} = 0, (ke) (e grad A) – (ee) (k grad A) = 0, [e [k e]] (grad A) = 0. (3.0) Укороченное уравнение (3.18) описывает распространение волнового пучка в анизотропной среде без учета дифракции и диссипации, из него следует, что амплитуда остается постоянной в направлении вектора [e [k e]], который параллелен лучевому вектору s. 3. Оптические свойства кристалловОсновное свойство кристалла – симметрия его кристаллической решетки. Различают 3 группы симметрии: 1) кубическая решетка без осей симметрии, выбранных направлений в кристалле нет, тензор диэлектрической проницаемости превращается в скаляр i j() = i j(); 2) одноосные кристаллы, одна из главных осей совпадает с осью симметрии кристалла (оптическая ось), направление двух других главных осей произвольные, z z() = ||(), x x() = y y() = (); 3) двухосные кристаллы. Для одноосных кристаллов уравнение Френеля (3.11) принимает вид: ![]() и распадается на два уравнения второго порядка ![]() Первое из этих уравнений описывает в координатах (nx, ny, nz) сферу радиуса ![]() ![]() ![]() Точечный источник, помещенный в однородную анизотропную среду, будет излучать две расходящиеся волны: обыкновенную – со сферическим фронтом и необыкновенную – с волновым фронтом в виде эллипсоида. Для плоской волны фазовая скорость обыкновенной волны не зависит от направления распространения, а у необыкновенной зависит. В оптически отрицательных кристаллах фазовая скорость обыкновенной волны меньше, чем у необыкновенной, у положительных – наоборот, когда направление распространения волны совпадает с оптической осью, обе скорости равны. Для необыкновенной волны уравнение (3.19) можно записать в виде: ![]() Пусть оптическая ось кристалла направлена вдоль оси z, волновой вектор k лежит в плоскости (у, z), то есть kx = 0. Поскольку направление луча совпадает с направлением групповой скорости vгр = d/dk, то для угла ' между оптической осью и лучевым вектором получим: ![]() Дифференцируя соотношение (3.20) по kz и ky, найдем: ![]() где – угол между волновым вектором k и оптической осью. Таким образом, в необыкновенной волне векторы n и s не совпадают, но лежат в главном сечении, то есть плоскости, проходящей через оптическую ось и вектор n. При падении плоской волны на поверхность кристалла волновые векторы преломленной и отраженной волн должны лежать в плоскости падения, следовательно, в одноосных анизотропных кристаллах возникают две преломленных волны: обыкновенная и необыкновенная – двойное лучепреломление, при этом лучевой вектор необыкновенной волны не лежит в плоскости падения. 4. Распространение электромагнитных волн в гиромагнитных средахВ ферритах типа MeOFe2O3 (Me – двухвалентный металл) тензором является магнитная проницаемость i j(). Анизотропия магнитной проницаемости в ферритах создается наложением постоянного или медленно (по сравнению с частотой электромагнитной волны) меняющегося магнитного поля Н. В ферритах магнитные моменты молекул, имеющие спиновую природу, из-за взаимодействия не компенсируются, и единица объема (домен) обладает магнитным моментом М, то есть является магнитным диполем. Прецессия магнитных диполей вокруг силовых линий постоянного магнитного поля и создает анизотропию магнитных свойств. При Н = 0 магнитная проницаемость феррита – скалярная величина. Движение магнитного диполя с магнитным моментом Мэф = М0 + М во внешнем магнитном поле Нэф описывается уравнением Ландау – Лифшица: dMэф/dt = –[Mэф Нэф], (3.0) где Нэф = Н0 + Н, Н0 – постоянное магнитное поле, Н – магнитное поле распространяющейся волны, М0 – постоянная намагниченность, совпадающая по направлению с Н0, М – магнитный момент, создаваемый волной, = e/(mc) – гиромагнитное отношение. Будем считать, что |H| << |H0|, |M| << |M0|, тогда уравнение (3.21) примет вид: dM/dt + [M Н0] = –[M0 Н]. При распространении гармонической волны M(t) = Mexp(–it), H(t) = Hexp(–it), и для компонент комплексных амплитуд получаем уравнения: –iMx + My = M0Hy, –iMy – Mx = M0Hx, –iMz = 0. (3.0) Здесь предполагается, что постоянное магнитное поле Н0 направлено вдоль оси z, = |H0|. Из уравнения (3.22) можно найти компоненты переменного магнитного момента Mx, My, Mz и компоненты Вx, Вy, Вz вектора магнитной индукции Вi = Нi – 4Мi = i jHj, i, j = x, y, z, то есть определить компоненты тензора магнитной проницаемости: ![]() Из уравнений (3.23) следует, что тензор магнитной проницаемости феррита – эрмитовый, то есть феррит является магнитоактивной средой, нормальные волны в ней должны иметь круговую или эллиптическую поляризацию. При частоте , то есть при W 1, должны наблюдаться резонансные явления. Уравнения Максвелла (1.16) – (1.19) для гармонической волны с частотой 0 = ck0, распространяющейся в такой среде, принимают вид: ![]() Из второго уравнения системы (3.24) следует, что ![]() Bx = Hx + iHy, By = Hy – iHx, Bz = ||Hz, откуда получаем: Hx = MBx+ iKBy, Hy = MBy – iKBx, Hz = M||Bz, где обозначено: ![]() Остальные компоненты обратного тензора магнитной проницаемости равны нулю: ![]() ![]() ![]() Перенесем все слагаемые с Ех в левую часть уравнения, добавим к обеим частям М||2Ех/х2 и, учитывая, что div E = 0, то есть ![]() ![]() Аналогично можно получить уравнения для составляющих Ey и Ez: ![]() ![]() Рассмотрим случай, когда вдоль оси z распространяется поперечная электромагнитная волна (Ez = 0). Решение уравнений (3.26) – (3.28) будем искать в виде E(x, y, z) = E(x, y)exp(ihz). Тогда уравнения (3.26) и (3.27) примут вид: ![]() Заметим, что из условий div E = 0, Ez = 0 и уравнения (3.28) следует, что ![]() то есть ![]() Система уравнений (3.29) имеет нетривиальные решения только тогда, когда ее детерминант равен нулю, что приводит к биквадратному уравнению относительно постоянной распространения h: ![]() С учетом соотношений (3.25) между компонентами прямого и обратного тензоров магнитной проницаемости получаем: ![]() то есть в направлении оси z распространяются две поперечные электромагнитные волны с различными фазовыми скоростями: ![]() Подставляя вычисленные значения h2 в уравнения (3.29), найдем множитель поляризации P = Ex/Ey = i, то есть эти волны имеют соответственно правую и левую круговую поляризацию. Линейно поляризованная волна в продольно намагниченном феррите расщепляется на две волны, поляризованные по кругу. Скорости распространения этих волн различны, поэтому при прохождении некоторого расстояния l плоскость поляризации оказывается повернутой на угол, пропорциональный l (эффект Фарадея). Направление вращения плоскости поляризации определяется относительно вектора Н и не зависит от направления распространения волны (по z или по –z). Это свойство используется для создания СВЧ-вентильных систем (циркуляторов). |