Лекция Изгиб. ЛЕКЦИЯ 5 ИЗГИБ.. Лекция 5 изгиб. Расчеты на прочность и жесткость

• Название: Лекция 5 изгиб. Расчеты на прочность и жесткость
• Анкор: Лекция Изгиб
• Дата: 06.07.2022
• Размер: 304 Kb.
• Имя файла: ЛЕКЦИЯ 5 ИЗГИБ..doc
• Тип: Лекция; #625767

ЛЕКЦИЯ 5

ИЗГИБ. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ
5.1 Напряжения и деформации при чистом изгибе
Изгиб – вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня действует изгибающий момент. Если в поперечном сечении действует только изгибающий момент, то изгиб называется чистым, если в поперечном сечении кроме изгибающего момента действует поперечная сила, то изгиб называется поперечным.

Стержень, работающий на изгиб, принято называть балкой.

Пусть имеется балка с заданным поперечным сечением. Введем систему координат следующим образом. Ось Ох направим вдоль оси балки, а оси Оу и Оz – вдоль главных осей инерции поперечного сечения.

Плоскость, проходящая через ось балки и одну из главных центральных осей инерции поперечного сечения, называется главной плоскостью стержня. Если все внешние силы лежат в одной из главных плоскостей стержня, то изгиб, вызванный действием этих сил, называют плоским изгибом.

Р ассмотрим стержень, подверженный плоскому чистому изгибу. На рис. 5.1 показан элемент стержня, испытывающий чистый изгиб. Под действием изгибающих моментов ось балки приобретает кривизну, которая количественно характеризуется локальным значением радиуса кривизны r. Нетрудно видеть, что на выпуклой стороне балки материал испытывает удлинение, тогда как на вогнутой – сжатие. Следовательно, в центре балки находится слой материала, который не подвергается ни сжатию, ни удлинению. Этот слой называется нейтральным слоем.

При получении расчетных зависимостей используются следующие допущения:

1. 
   Деформации малы и подчиняются закону Гука;
   
2. 
   Справедлива гипотеза плоских сечений, т.е. сечения стержня, плоские до деформации остаются плоскими и после деформации, поворачиваясь на некоторый угол относительно оси стержня, перпендикулярной к плоскости действия внешних нагрузок;
   
3. 
   Слои материала, параллельные нейтральному слою, не оказывают давления друг на друга, следовательно, нормальные напряжения между этими слоями равны нулю.
   

Оценим величину деформаций при изгибе. Для этого рассмотрим отрезок СD, параллельный оси балки и лежащий на расстоянии у от нейтрального слоя. До нагружения изгибающим моментом длина отрезка СD равнялась длине отрезка АВ на оси балки, которую можно выразить через радиус кривизны оси балки r и угол d:
АВ = r d.
После нагружения длина отрезка СD стала равной (r + у) d.
СD = (r + у)  d.
Следовательно, относительное удлинение отрезка СD оценивается величиной:
(5.1)
Отсюда видно, что величина деформации при изгибе увеличивается с расстоянием до нейтрального слоя, меняет знак при переходе через слой и пропорциональна кривизне изогнутой оси балки.

Полученное выражение для относительной деформации подставим в закон Гука при растяжении. Получим следующую связь напряжений с кривизной оси стержня:

(5.2)
Воспользоваться полученными форму-лами для расчета деформаций и напряжений нельзя, поскольку не известна зависимость кривизны 1/r от величины изгибающего момента. Получим ее. Для этого рассмотрим поперечное сечение балки и действующие в нем напряжения. Выделим малую площадку dA в сечении, находящуюся на расстоянии у от нейтрального слоя. Нормальные напряжения, действующие на этой площадке, создают момент относительно нейтральной оси (н.о). Нейтральной осью называется линия пересечения данного сечения с нейтральным слоем. Величина этого элементарного момента, очевидно, равна
.
Результирующий момент всех нормальных напряжений, действующих в сечении, может быть получен путем интегрирования элементарного момента по всему сечению. С другой стороны, он равен величине изгибающего момента М_z в этом сечении. Следовательно, с учетом (5.2) имеем:

Интеграл

(5.3)
называется моментом инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси. Он имеет размерность м⁴ и является одной из важнейших геометрических характеристик сечения. Тогда:

,
отсюда выражение для кривизны изогнутой оси балки:


(5.4)
Таким образом, кривизна оси балки пропорциональна величине изгибающего момента в данном поперечном сечении и обратно пропорциональна произведению EI_z , которое называется жесткостью стержня при изгибе (аналогично жесткости ЕА при растяжении и жесткости GI_p при кручении). Поскольку изгибающий момент может меняться по длине балки, меняется и ее кривизна.

Подставив полученное соотношение в формулу (5.2), получим выражение для расчета нормальных напряжений в поперечном сечении:
(5.5)
Это соотношение носит название формулы Навье. Оно позволяет провести простой анализ распределения напряжений в сечении. На нейтральной оси сечения при у = 0 напряжения равны нулю, малы по абсолютной величине в центре сечения (при малых значениях у) и достигают наибольших значений на периферии сечения, рис. 5.3 а. Следствием столь неравномерной картины напряжений послужило то, что на практике широко применяются балки с поперечным сечением специального профиля (двутавра, швеллера, уголка). У таких профилей основное количество металла сосредоточено на периферии сечения (в области больших напряжений), что позволяет значительно снизить металлоемкость конструкций, рис. 5.3 б.



5.2 Условие прочности при чистом изгибе
Формула Навье дает возможность сформулировать условие прочности при чистом изгибе. Как обычно, оно состоит в требовании, чтобы максимальные напряжения не превосходили допускаемых значений. Максимальные напряжения возникнут, очевидно, в том сечении, где действует наибольший изгибающий момент, и в тех точках этого сечения, которые находятся на максимальном удалении (y_max) от нейтрального слоя – эти точки называются опасными. Следовательно, условие прочности имеет вид:
или (5.6)
Здесь W_z – момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси (аналогично W_р при кручении).

Иногда при проверке условий прочности приходится учитывать, что при изгибе одна часть материала испытывает растяжение, а другая -сжатие. Для большинства материалов значения допускаемых напряжений при сжатии []_сж и растяжении []_р различны. В этих случаях условие (5.6) распадается на два: _min  []_сж и _max  []_р. В первом из этих неравенств учтено, что при сжатии напряжения отрицательны.

5.3 Касательные напряжения при поперечном изгибе
Если при чистом изгибе в поперечных сечениях возникают только нормальные напряжения, то при плоском поперечном изгибе к ним добавляются касательные, обусловленные действием поперечной силы Q_y. Величина касательных напряжений также зависит от расстояния до нейтрального слоя балки. Эта зависимость описывается формулой Журавского:
(5.7)
В числителе этой формулы участвует еще одна геометрическая характеристика поперечного сечения балки – статический момент S_z(y) относительно нейтральной оси. Эта характеристика определяется формулой:
(5.8)
Под интегралом стоит произведение элемента площади dA на расстояние до нейтральной оси, которое можно рассматривать как момент элемента площади относительно оси z (по аналогии с моментом силы). Интегрирование в (5.8) ведется по той части поперечного сечения, которая удалена от нейтральной оси больше, чем на у. Поэтому функция S_z(y) равна нулю при у_max, возрастает с уменьшением расстояния у (из-за увеличения площади интегрирования) и достигает своего наибольшего значения при у = 0. Величина b(y) в (5.7) представляет собой ширину поперечного сечения балки, которая также может меняться по его высоте.

Пользуясь формулой Журавского проанализируем распределение касательных напряжений для наиболее простого профиля – прямоугольника со сторонами b и h(рис. 5.4). Для такого профиля ширина b постоянна, а момент инерции: .



Найдем явный вид зависимости S_z(y). Зафиксируем некоторое значение координаты у и выразим величину статического момента той части поперечного сечения, точки которой имеют большее значение этой координаты (на рисунке эта часть заштрихована). В данном случае статический момент равен произведению площади А₁ на координату цента тяжести у_С. Очевидно, что
; .
Следовательно, касательное напряжение зависит от координаты по параболическому закону:
. (5.9)
Зависимость (у) обычно иллюстрируется эпюрой (рис. 5.4), которая помещается рядом с профилем балки и позволяет легко узнать величину напряжения в каждой точке поперечного сечения. Нетрудно видеть, что максимальное значение касательного напряжения 3Q/2A достигается в нейтральном слое. Знак напряжения соответствует знаку поперечной силы.

Условия прочности при поперечном изгибе в дополнение к (5.6) должны включать и ограничение на величину максимальных касательных напряжений. С учетом сказанного выше о характере изменения статического момента максимальные касательные напряжения возникнут в центре (при у = 0) того сечения, где действует максимальная по абсолютной величине поперечная сила. Следовательно, условие прочности по касательным напряжением будет иметь вид:
(5.10)
где [] – допускаемое касательное напряжение.

Таким образом, формулы Навье (5.5) и Журавского (5.7) позволяют оценить величину нормальных и касательных напряжений в любой точке материала балки, подверженной изгибу.

5.4 Деформации и перемещения при изгибе
Ранее полученная формула (5.4) дает возможность рассчитать величину возникающих деформаций. Однако, использовать последнюю формулу для практических расчетов неудобно, поскольку непосредственно измерять кривизну изогнутой оси балки довольно затруднительно. В силу этого при оценке жесткости балок вместо кривизны ее оси используются другие характеристики.

На рис. 5.5 показана балка, нагруженная сосредоточенной силой. Под действием приложенной силы первоначально прямая ось балки искривляется. Перемещения изогнутой оси в произвольном сечении характеризуются прогибом у и углом поворота сечения . Прогиб представляет собой величину смещения центра сечения от своего первоначального положения. Величина  - угол, на который повернулось сечение вокруг нейтральной оси после приложения внешних нагрузок. И прогиб и угол поворота являются функциями продольной координаты: у = у(х);  = (х). В каждом сечении обе характеристики перемещений связаны между собой соотношением:
(5.11)
Преобразуем формулу (5.4) так, чтобы вместо кривизны она содержала только что рассмотренные характеристики. Для этого воспользуемся известным из математики выражением для кривизны плоской кривой у = у(х):

.


Углы поворота  при эксплуатации химического оборудования по порядку величины не превышают 10^-2 рад. Поэтому в знаменателе приведенного выражения вторым слагаемым можно пренебречь. Следовательно, кривизна изогнутой оси балки целиком определяется второй производной от прогиба:
(5.12)
Подставив правую часть этого равенства в (5.4), получим уравнение
, (5.13)
которое носит название дифференциального уравнения изогнутой оси балки. Для его интегрирования необходимо знать явный вид зависимости изгибающего момента M_z(x) от продольной координаты.

Согласно методу мысленных поперечных сечений, изгибающий момент в некотором сечении определяется характером и величиной внешних нагрузок. Пусть на балку действует набор сосредоточенных сил F_i, сосредоточенных моментов М_i и распределенных нагрузок q_i. Будем отсчитывать продольную координату х от крайнего левого сечения. Тогда каждой сосредоточенной силе будет соответствовать координата a_Fi сечения, к которому она приложена. Аналогично каждому моменту М_i отвечает координата a_Mi, а каждой распределенной нагрузке – две координаты и - начала и конца участка ее действия. Рассмотрим сечение балки с некоторым фиксированным значением х. Согласно методу поперечных сечений, внутренний изгибающий момент в рассматриваемом сечении должен иметь такую величину, которая уравновесит сумму моментов, обусловленную действием всех внешних нагрузок, приложенных к балке по левую или правую сторону от сечения. Следовательно, момент M_z(x) в сечении равен алгебраической сумме моментов относительно данного сечения тех нагрузок, координата приложения которых меньше значения х:

.
Выбор знаков каждого слагаемого в этом выражении вытекает из вида дифференциального уравнения изогнутой оси балки (5.12). Согласно этому уравнению знак момента и второй производной от прогиба один и тот же. В свою очередь, как известно из математики, знак второй производной определяет направление кривизны плоской кривой. Следовательно, если некоторая внешняя нагрузка пытается изогнуть балку выпуклостью вверх, то соответствующее слагаемое берется со знаком минус (вторая производная меньше нуля). Если нагрузка пытается придать балке кривизну выпуклостью вниз (вторая производная положительна), то слагаемое берется со знаком плюс.

Подставим выражение для момента M_z(x) в уравнение (5.12) и проинтегрируем один раз. Слева получим первую производную от прогиба, которая в силу (5.11) равна углу поворота сечения (х). Справа однократное интегрирование даст первообразную степенной функции:


(5.14)

Величина ₀ представляет собой угол поворота крайнего левого сечения балки, т. е. ₀ = (0).

Соотношение (5.14) позволяет по заданным внешним усилиям рассчитать угол поворота  для любого сечения. Повторное интегрирование приведет к аналогичному соотношению для прогиба:



(5.15)
Здесь у₀ – прогиб в крайнем левом сечении балки, т. е. у₀ = у(0). Последнее соотношение позволяет определить прогиб в любом сечении балки. Величины ₀ и у₀ называются начальными параметрами. Их численные значения зависят от способа закрепления балки. В частности, если ее левый конец жестко защемлен, то оба начальных параметра равны нулю.

Соотношения (5.14) и (5.15) называются универсальными уравнениями оси балки, изогнутой заданными внешними нагрузками. Они лежат в основе расчетов на жесткость при изгибе. Условия жесткости при этом вытекают из ограничений на максимальные перемещения:
У_max  [y]; _max  [] (5.16)
Величины допускаемых прогибов [y] и углов поворота [] принимаются в соответствии со справочной литературой или нормами, основанными на опыте эксплуатации данного класса оборудования. Так, для валов перемешивающих устройств в аппаратах, работающих при повышенном давлении, прогиб вала на участке сальникового уплотнения не должен превышать [y] = 0.5 мм для обеспечения герметичности. Допускаемое значение угла поворота [] при установке вала в подшипниках качения не должно превосходить 0.01 рад., а при установке в подшипниках скольжения 0.001 рад. Большие значения углов поворота приведут к резкому сокращению сроков службы деталей подшипников.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ ЛЕКЦИИ
1. В чем отличие чистого изгиба от плоского поперечного изгиба?

2. Что такое нейтральная ось поперечного сечения?

3. Какова причина возникновения нормальных напряжений при изгибе?

3. Как распределены нормальные напряжения в поперечном сечении при изгибе?

4. Запишите формулу для нормальных напряжений при изгибе (формула Навье); поясните какие параметры входят в эту формулу.

5. Сформулируйте условие прочности по нормальным напряжениям при плоском поперечном изгибе.

6. Как распределены касательные напряжения в поперечном сечении при плоском поперечном изгибе?

7. Запишите формулу для касательных напряжений при изгибе (формула Журавского); поясните какие параметры входят в эту формулу.

8. Сформулируйте условие прочности по касательным напряжениям при плоском поперечном изгибе.

9. Какими величинами характеризуются перемещения при изгибе?

10. Запишите дифференциальное уравнение изогнутой оси балки.

11. Как определить величину прогиба и угол поворота в некотором сечении балки?

12. Сформулируйте условия жесткости при поперечном изгибе.