Математика. Дмитрий Вадимович. Задача 2 (7

• Название: Задача 2 (7
• Анкор: Математика
• Дата: 31.03.2023
• Размер: 471.04 Kb.
• Имя файла: Дмитрий Вадимович.docx
• Тип: Задача; #1029070

Задача 2 (7 вариант)
Определить деформацию симметричной двутавровой балки (рис.2) при равномерном нагреве верхнего пояска до температуры Т (табл.2). Поясок теплоизолирован от стенки балки. Построить эпюру продольных напряжений.


Решение
Изобразим расчетную схему балки, указав длины участков, величины внешних нагрузок и направления реакций. Левая опора А – шарнирно-подвижная, и в ней может быть только вертикальная реакция R_A. Правая опора – шарнирно-неподвижная, и в ней – вертикальная реакция R_B и горизонтальная – H_В.

Чтобы составить выражения для Q и M, предварительно следует определить реакции опор.

Проектируя все силы на горизонтальную ось x, устанавливая, что H_В=0.

;

–F∙4 + R_B∙2,66 – q∙1,33∙2 + M = 0;

–6∙4 + R_B∙2,66 – 5,33∙2,66 + 20 = 0;

–24 + R_B∙2,66 – 14,18 + 20 = 0;

R_B∙2,66 = 24 + 14,18 – 20;

R_B∙2,66 = 18,18;

R_B = 6,82 кН.

;

–R_A∙2,66 + M – F∙1,33 = 0;

R_A∙2,66 = M – F∙1,33;

R_A∙2,66 = 20 – 7,98;

R_A∙2,66 = 12,02;

R_A∙2,66 = 12,02;

R_A = 4,5 кН.

Проверка

;

R_A – q∙2,66 + R_B – F = 0;

4,5 – 2∙2,66 + 6,82 – 6 = 0;

0 = 0.

Таким образом, реакции опор определены верно. Полученные знаки «плюс», свидетельствуют о правильном выборе направлений для R_A и R_B. Если реакция получена со знаком «минус», следует изменить направление ее вектора на противоположное.

Имеем три участка. Проведем в них сечения и покажем текущие координаты. Для первого и второго участка рассмотрим равновесие левой части, а для третьего – правой части.



Рисунок 1 - Балка с консолью: а – расчетная схема; б – эпюра

поперечных сил; в – эпюра изгибающих моментов; г – упругая линия
Участок 1 (0 ≤ x₁ ≤ 1,33 м)

4,5 кН;



Величина постоянна, и эпюра представляет собой линию, параллельную осиx. Величина изменяется по линейному закону, и для построения эпюры необходимо иметь два значения. Положительные значения откладывают над базовой линией. Положительные значения изгибающих моментов откладывают под базой (строятM_z на «растянутом волокне»).

Участок 2 (0 ≤ x₂ ≤ 1,33 м)





где qx₂ – равнодействующая распределенной нагрузки, а – плечо этой силы. Эпюру строим по двум точкам, а эпюру – по трем.

Участок 3 (0 ≤ x ₃ ≤ 1,33 м)





Обратим внимание, что в сечениях, где приложены сосредоточенные силы R_A, F, R_B на эпюре Q_y имеем скачки на величину этих сил в направлении сил (если двигаться слева направо).

В соответствии с пунктом 2 задания подберем балку двутаврового поперечного сечения из стали с σ_y = 240 МПа; при n=1,6; E=2∙10⁵ МПа. Условие безопасной прочности имеет вид:

.

По эпюре M_z определяем M_zmax= –14 кН·м. Допускаемое напряжение равно:

150 МПа.

Определим момент сопротивления:

93,33 см³.

По сортаменту ГОСТ 8239-89 выбираем двутавр №16, у которого осевой момент сопротивления ближайший к расчетному значению: W_z=109 см³ > 99,33 см³.

Выпишем его параметры: h = 16 мм; b = 8,1 мм; S = 0,5 мм; t=0,78мм; A = 20,2 см²; I_z = 873 см⁴; = 62,3см³.

Определим величину σ_mах:

Н/см² = 128,44 МПа < .

Наибольшие касательные напряжения будут в сечении, где самая большая по абсолютной величине поперечная сила. По эпюре Q_y определяем Q_ymax=8,66 кН.

Касательные напряжения в любой точке сечения при поперечном изгибе определяют по формуле Журавского:



где I_z – момент инерции сечения, – статический момент отсеченной части,b(y) – ширина сечения, измеренная по линии, параллельной осиzи проходящей через искомую точку.

Наибольшего значения напряжения достигают на нейтральной оси сечения:

1236 H/см² = 12,36 МПа.

Для вычисления τ в месте перехода стенки в полку следует определить статический момент осеченной части (полки):

40,68 см³;

МПа; МПа.

Зная характер изменения σ (линейный) и τ (параболической) по высоте сечения, строим эпюры.



Рисунок 2 - Эпюры нормальных и касательных напряжений для

двутаврового сечения балки

Расчет на прочность балки при изгибе должен обеспечить ее безопасную прочность, но это не гарантирует необходимую жесткость балки. Определяют ее максимальный прогиб, который не должен превышать значения прогиба, устанавливаемого в соответствии с ее эксплуатационным назначением.

Существует несколько способов определения перемещений. Используем метод начальных параметров с универсальной формулой:

EIv=EIv_o+EI x+

где: M_i, F_i, q_i – внешние нагрузки, включающие и опорные реакции, расположенные левее (знак «л» над знаком суммы) от рассматриваемого сечения; a_i, b_i, с_i, d_i – расстояния от начала координат до сечения, где приложены эти нагрузки (рис. 49); v – перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному оси балки x (если перемещение вверх по оси y, то v > 0); v_o – перемещение в начале координат О; – угол поворота сечения в начале координат по отношению к исходному (ненагруженному) положению. Если поворот против часовой стрелки, по >0.

Начальные параметры v_o и определяют из граничных условий (ограничений, накладываемых опорами).

Р исунок 3. Расчетная схема балки для метода начальных параметров

В соответствии с условиями вывода формулы начало координат О принято располагать в крайнем левом сечении балки (сохраняя его общим для всех участков), ось y направлять вверх, а ось z – вправо (рис. 49). Внешние силы, показанные на этом рисунке, принимаются положительными. Если направление внешней силы противоположно, то в уравнении прогибов ее записывают со знаком «минус».

Определим перемещение точки k, равноудаленной от правой и левой опоры балки.

Граничные условия в данном случае имеют вид:

v_A= v₀ = 0 при x = 0

v_B = 0 при x = м,

или

кН·м².

Итак, , следовательно сечение в начале координат поворачивается по часовой стрелке.

кН·м³;

см.

Таким образом точка равноудаленная от правой и левой опоры, перемещается вниз на 0,2 см (см. рис. 47). Отметим также очевидное перемещение точки края консоли вниз. Примерный вид упругой линии представлен на рисунке 2.

Задача 3 (7 вариант)
Определить деформации укорочения и изгиба при сварке тавровой балки

Решение
При сварке двутавровых балок могут возникнуть деформации из плоскости, деформации укорочения, а в ряде случаев местные деформации в виде выпучин. Общие и местные деформации зависят от погонной энергии сварки и последовательности наложения швов.

Определение погонной энергии сварки

Момент инерции относительно горизонтальной оси .

Момент инерции относительно вертикальной оси .

Определим погонную энергию по формуле:



где  - сила тока, ;

 - напряжение, ;

 - скорость сварки, ;

 - Эффективный КПД дуги, .

Данные по ГОСТ 14771-76-Т3- 6, «Полуавтоматическая сварка. Основные типы, конструктивные элементы и размеры». Рассчитаем погонную энергию:





Характеристики сварных швов балки

 

Расположение сварных швов по сечению.

Определим количество швов:

Количество швов №1, №2 равно, каждого по одному.

Определим длину швов:

Длина одного шва №1 = 600 см,  №2 = 600 см,  №3 = 600 см,  №4 = 600 см,   №6 = 33,8 см, длину швов №5 и №7 определим по соотношению - .

Определим координаты центра тяжести пластической зоны:

                                                   по оси X                                                   по оси Y

шов №1                           

шов №2                                  

где  - толщина вертикального листа;

 - ширина горизонтального листа;

 - высота вертикального листа;

 - катет шва.

Полученные данные занесем в таблицу №1:

Таблица № 9.1

 

Номер шва по рисунку	Количество швов	Длина одного шва (см)	Координаты центра тяжести пластической зоны
№1	1	600	-0,55	-16,6
№2	1	600	0,55	-16,6

Определение объема продольного укорочения сварных соединений от поясных швов №1, №2

(две пары близко расположенных швов)

Объем продольного укорочения от поясных швов №1, №2 определяем по формуле:



где  - коэффициент пуансона, ;

 - коэффициент перекрытия пластических зон, ;

 - коэффициент тепловой деформации, ;

 – погонная энергия сварки, ;

 - длина парного шва №1и№2, .

Рассчитаем объем продольного укорочения:





 





Теперь определим коэффициент поперечного укорочения этого шва по формуле:



где  - коэффициент учитывающий степень прогрева сварных элементов, определяем из таблицы, по соотношению:


где  - коэффициент степени раскрепления сварного соединения пересекающими его ребрами, определяем из таблицы, по соотношению:



Рассчитаем коэффициент поперечного укорочения этого шва:

.

Задача 3 (7 вариант)

Определить деформации симметричной тавровой балки с учетом начальных
напряжений от сварки шва 1



Решение

1. 
   Определяем площадь сечения балки:
   

F₁ = A_n × S_n + h_b × S_b

F₂ = 12 × 1 + 12×1 = 22 см²

2. 
   Определяем ординату центра тяжести
   

Z = = = 27.5 мм = 2.75 см

3. 
   Определяем момент инерции сечения
   

I = + + S_n × A_n × ( Z + )² ; см⁴

І = + + 10 × 1 × 3.25² = 325см⁴

4. 
   Определяем площадь поперечного сечения шва
   

F_шв. = + 1.05 × e × q; мм²

F_шв. = + 1.05 × 6 × 2 = 27.7 мм²

5. 
   Определяем погонную энергию
   

q_n = 650 × F Дж/см

q_n = 650 × 27.7 = 17875 Дж/см

6. 
   Определяем относительное укорачивание по оси балки.
   

Δ_ц.т. = 0.83 × 10^-6 × ; см.

Δ_ц.т. 0.83 × 10^-6 × = 5.42 × 10^-4 см.

7. 
   Определяем кривизну балки
   

С = 0.83 × 10^-6 × ; см

С = 0.83 × 10^-6 × = 1.26 × 10^-4 см

8. 
   Определяем стрелу прогиба
   

f = ; см

f = = 10.1 см

9. 
   Определяем общее укорачивание балки.
   

ΔL = Δ_ц.т. × L; см

ΔL = 5.42 × 10^-4 × 800 = 0.433 см

Задача 7 (7 вариант)

Определить продольные и поперечные деформации укорочения и построить эпюру продольных напряжений



Решение

Определим величину удлинения стержня от действия силы и от нагрева нижнего участка.







Поскольку сумма l_Риl_Тбольше начального зазора= 0,012 см, при нагружении стержня этот зазор замкнется и стержень будет работать как статически неопределимый с двумя опорными реакциямиR₁иR₂(рис.2.10,а).

Составим уравнение равновесия.

Х= 0, –R₁+ 30 –R₂= 0 ,R₁+R₂= 30 кН .

Для решения задачи используем условие деформации стержня l=. От- бросим мысленно нижнее закрепление и введем неизвестную силуХ=R₂. Возможное укорочение стержня от действия этой силы равно:

.

Используя условие деформации стержня, с помощью принципа независимости действия сил получим

.



Определим продольные силы и нормальные напряжения в пределах участков стержня и величины удлинений участков.

Участок 1.



Участок 2.



Проверим выполнение условия деформации стержня.



Задача решена правильно. Эпюры Nиприведены на рис.2.10,б,в. Определяем осевые перемещения характерных сечений стержня.

х= 0 ,u=u₀= 0 ;

х= 40 см ,u₁=u₀+l₁= 0,0036 см ;

х= 80 см ,u₂== 0,012 см .

Осевые перемещения изменяются по линейному закону. Все поперечные сечения перемещаются вниз.