Математическое моделирование в прочностных расчетах
![]()
|
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых» (ВлГУ) Кафедра сопротивления материалов Практическая работа по математическому моделированию Тема: Математическое моделирование в прочностных расчетах элементов строительных конструкций
Задача №1 Данные (шифр 4602):
Расчетное сопротивление R = 200 МПа. Решение: 1. Составляем расчетную схему балки, указав заданные размеры и нагрузку (рисунок 1). ![]() Рисунок 1 ![]() Рисунок 2 Рисунок 3 2. Для определения внутренних усилий и построения эпюр используем метод сечений. На балке два участка, начнем рассматривать со свободного конца. Продольную ось х, поперечные оси у и z направим, как показано на расчетной схеме. Проведем сечение I-I на 1-ом участке и рассмотрим равновесие левой отсеченной части. Покажем в сечении положительные направления поперечной силы Qz и изгибающего момента Мy(рисунок 2). Составим уравнения равновесия, из которых найдем внутренние усилия: Сечение I-I: ![]() ![]() ![]() Подсчитываем значения внутренних усилий на границах 1-го участка: ![]() ![]() Проведем сечение II-II на 2-ом участке и рассмотрим равновесие левой отсеченной части. Покажем в сечении положительные направления поперечной силы Qz и изгибающего момента Мy(рисунок 3). Составим уравнения равновесия, из которых найдем внутренние усилия: Сечение II-II: ![]() ![]() ![]() Подсчитываем значения внутренних усилий на границах 2-го участка: ![]() ![]() Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рисунок 4). При этом учтем, что знак поперечной силы на участках не меняется, т.е. изгибающий момент не имеет экстремума на участках. Опасное сечение находится в заделке, где изгибающий момент имеет максимальное по модулю значение. ![]() Рисунок 4 3. Запишем условие прочности при изгибе по нормальным напряжениям: ![]() 4. Определим из условия прочности осевой момент сопротивления поперечного сечения: ![]() 5. Определим размеры поперечного сечения балки для заданных форм (рисунок 5). ![]() Рисунок 5 а) подбираем по таблице сортамента (ГОСТ 8239-89) двутавр №45, для которого осевой момент сопротивления Wy= 1231 см3 (мы учли, что в нашем случае ось у направлена как ось х в сортаменте, т.е. из таблицы взято значение Wх ). б) для прямоугольника ![]() Отсюда ![]() Примем b=12 см, тогда h=24 см. в) для прямоугольника ![]() Отсюда ![]() Примем b1=30 см, тогда h1=15 см. г) для круглого сечения ![]() Отсюда ![]() Примем d=23 см. 6. Проведем сравнение балок с указанными формами поперечного сечения по расходу материала (по весу). Так как длины балок одинаковы, то вес балки пропорционален площади поперечного сечения. Из ГОСТа 8239-89 находим площадь поперечного сечения двутавра №45, она равна А=84,7 см2. Площадь прямоугольного поперечного сечения балки со сторонами bиh равна А=b∙h=12∙24=288 см2. Площадь прямоугольного поперечного сечения балки со сторонами b1иh1 равна А=b1∙h1=30∙15=450 см2. Площадь круглого поперечного сечения балки равна ![]() Как видно из сравнения, минимальная площадь у двутаврового поперечного сечения, поэтому оно является самым экономичным. Таким образом, выбираем самое рациональное сечение по расходу материала – двутавр №45. Ответ: двутавр №45. Задача №2 Данные (шифр 4602):
Расчетные сопротивления: при сжатии Rсж=140 МПа, при растяжении Rраст=50 МПа. Решение: 1. Составляем расчетную схему балки, указав заданные размеры и нагрузку (рисунок 6). ![]() Рисунок 6 ![]() Рисунок 7 Рисунок 8 2. Для определения внутренних усилий и построения эпюр используем метод сечений. На балке два участка, начнем рассматривать со свободного конца. Продольную ось х, поперечные оси у и z направим, как показано на расчетной схеме. Проведем сечение I-I на 1-ом участке и рассмотрим равновесие левой отсеченной части. Покажем в сечении положительные направления поперечной силы Qz и изгибающего момента Мy(рисунок 7). Составим уравнения равновесия, из которых найдем внутренние усилия: Сечение I-I: ![]() ![]() ![]() Проведем сечение II-II на 2-ом участке и рассмотрим равновесие левой отсеченной части (рисунок 8). Составим уравнения равновесия, из которых найдем внутренние усилия: Сечение II-II: ![]() ![]() ![]() Поперечная сила постоянна на участке, подсчитываем значения изгибающего момента на границах 2-го участка: ![]() ![]() Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рисунок 9). Опасное сечение находится в заделке, где изгибающий момент имеет максимальное по модулю значение. ![]() Рисунок 9 3. Так как материал балки неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то условие прочности запишется отдельно для растягивающихся и сжимающихся волокон: ![]() ![]() Здесь точки А и В наиболее удаленные от нейтральной оси точки. Для определения их расстояний zA, zB от нейтральной оси и осевого момента инерции Jy необходимо вначале найти центр тяжести сечения. Для этого разобьем сечение на два прямоугольника (рисунок 10,а) и определим координату центра тяжести по формуле: ![]() Покажем центр тяжести сечения и укажем расстояния от него до центров тяжести прямоугольников (рисунок 10,б). ![]() Рисунок 10 Нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения (ось у). Определяем момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси, как сумму осевых моментов инерции двух прямоугольников: ![]() 4. Определим размеры поперечного сечения. В сечении, где изгибающий момент имеет наибольшее по модулю значение, верхние волокна испытывают растяжение, поэтому балку следует расположить полкой вверх (рисунок 10,в). Определяем размер b из расчета на прочность по наибольшим растягивающим напряжениям в этом сечении: ![]() ![]() Отсюда ![]() Примем b=4 см. 5. Проверим выполнение условия прочности по сжимающим напряжениям в сечении, где изгибающий момент имеет наибольшее по модулю значение (в заделке): ![]() ![]() Как видно, наибольшие сжимающие напряжения в этом сечении значительно ниже расчетного. Необходимо также проверить прочность по наибольшим растягивающим напряжениям в сечениях на 1-ом участке, так как хотя там момент и меньше максимального, но сечение балки расположено нерационально – растянуты нижние волокна. Опасной является точка В, в которой возникают наибольшие растягивающие напряжения: ![]() Условие прочности выполнено. Ответ: b=4 см. Задача №3. Данные (шифр 4602):
Расчетное сопротивление растяжении и сжатии R = 210 МПа, при срезе R = 120 МПа. Решение: 1. Составляем расчетную схему балки, указав заданные размеры и нагрузку, а также реакции опор балки (рисунок 11). ![]() Рисунок 11 Найдем реакции опор балки из уравнений равновесия: ![]() ![]() ![]() ![]() Выполним проверку правильности определения реакций опор, составив уравнений проекций сил на вертикальную ось: ![]() ![]() Рисунок 12 Рисунок 13 Для определения внутренних усилий и построения эпюр используем метод сечений. Проведем сечение I-I на 1-ом участке и рассмотрим равновесие левой отсеченной части(рисунок 12). Составим уравнения равновесия, из которых найдем внутренние усилия: Сечение I-I: ![]() ![]() ![]() Подсчитываем значения внутренних усилий на границах 1-го участка: ![]() ![]() Так как поперечная сила Qzменяет знак на 1-м участке, то изгибающий момент имеет экстремум в сечении, где Qz= 0. Найдем координату этого сечения: ![]() Найдем значение изгибающего момента в этом сечении: ![]() Проведем сечение II-II на 2-ом участке и рассмотрим равновесие правой отсеченной части(рисунок 13). Составим уравнения равновесия, из которых найдем внутренние усилия: Сечение II-II: ![]() ![]() ![]() Подсчитываем значения внутренних усилий на границах 2-го участка: ![]() ![]() Так как знак поперечной силы на 2-ом участке не меняет знак, то изгибающий момент на этом участке не имеет экстремума. Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рисунок 14). На эпюре поперечной силы в сечениях, где приложены сосредоточенные силы есть скачки, равные по величине эти силам. На эпюре изгибающих моментов скачков нет, так как нет приложенных к балке сосредоточенных моментов. Опасное сечение находится в сечении, где изгибающий момент имеет максимальное по модулю значение. ![]() Рисунок 14 3. Запишем условие прочности при изгибе по нормальным напряжениям: ![]() 4. Определим из условия прочности осевой момент сопротивления поперечного сечения: ![]() Подбираем по таблице сортамента (ГОСТ 8239-89) двутавр №50, для которого осевой момент сопротивления Wy= 1589 см3 (мы учли, что в нашем случае ось у направлена как ось х в сортаменте, т.е. из таблицы взято значение Wх ). Тогда максимальное нормальное напряжение ![]() 5. Проведем уточнение модели балки, учтя ее вес. Для двутавра №50 находим в таблице сортамента массу 1 метра: m=66,5 кг/м. Тогда вес одного метра при g=10 м/с2 равен q′=665 Н/м=0,665 кН/м. Таким образом, вес балки учтем как дополнительную равномерно распределенную нагрузку интенсивностью q′. Тогда в выражениях для реакций опор и внутренних усилий необходимо принять вместо значения q значение qобщ=q+q′=20,665 кН/м. Найдем реакции опор балки: ![]() ![]() Проверка: ![]() Тогда координата опасного сечения, где изгибающий момент имеет наибольшее значение: ![]() Найдем значение изгибающего момента в этом сечении: ![]() Вычислим максимальное нормальное напряжение в опасном сечении: ![]() 6. Определим в процентах отклонение максимального нормального напряжения для уточненной модели балки с учетом ее веса от максимального нормального напряжения для модели балки без учета ее веса: ![]() Как видно, разница в максимальных нормальных напряжениях мала, поэтому расчет балки на прочность можно проводить по первоначальной модели балки без учета ее веса. 7. Определим наибольшее касательное напряжение в сечении, где поперечная сила имеет максимальное по модулю значение (в сечении над опорой В). Максимальное касательное напряжение имеет место на нейтральной оси этого сечения (т.е. на оси у) и определяется по формуле: ![]() Для двутавра №50 из таблицы сортамента находим (с учетом направления осей): статический момент половины сечения относительно нейтральной оси Sy=919 см3, осевой момент инерции поперечного сеченияJy=39727 см4, толщина сечения на нейтральной оси (толщина стенки) s=10 мм. Подсчитаем наибольшее касательное напряжение и сравним его с расчетным напряжением при срезе R=120 МПа: ![]() Таким образом условие прочности по касательным напряжениям выполнено. Ответ: двутавр №50. Владимир 2019г. |