кппап. 04. Уравнения в комплексной форме. Волновые уравнения для вектор. Волновые уравнения
 Скачать 202.46 Kb.
|
|
2.1. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ. ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ Рассмотрим поля, меняющиеся во времени по гармоническому (синусоидальному) закону. Любой сигнал в силу преобразования Фурье можно разложить в спектр гармонических колебаний разных частот ω Для анализа гармонических колебаний удобно использовать символический метод. Для анализа монохроматического (одной частоты) поля используют комплексную форму записи. Например, вместо действительного вектора ( , ) cos( ), x m E E E z t i E t kz ω ϕ = = − + (2.1) где x i — орт прямоугольной системы координат; m E — амплитуда напряжённости электрического поля, ω — круговая (циклическая) частота, k — постоянная распространения, z — координата, E ϕ — начальная фаза, можно ввести комплексный вектор ( ) E j t kz x m E i E e ω ϕ − + = (2.2) Соответствие между этими векторами устанавливается равенством ( , ) Re , E E z t E = = в котором символ Re означает реальную часть комплексного числа. Комплексная функция удобнее тем, что дифференцирование по времени заменяется умножением на множитель : j ω E j E t ω ∂ = ∂ Интегрирование сводится к делению на j ω Учитывая вышесказанное, можно записать дифференциальные уравнения Максвелла в комплексной форме: rot , H j j D (2.3) rot , E j B (2.4) div , D (2.5) div 0, B (2.6) div j j ωρ = − (2.7) Объёмную плотность тока проводимости можно представить в виде суммы стороннего тока, создаваемого внешним источником, и тока, создаваемого полем, существующим в данной среде: ст j j E (2.8) В этом случае первые два уравнения Максвелла с учётом материальных уравнений для однородной изотропной среды: ст rot , H j E j E (2.9) rot E j H (2.10) Если сгруппировать последние два слагаемых в уравнении (2.9), введя комплексную абсолютную диэлектрическую проницаемость среды 1 1 1 tg , j j j (2.11) где tg — тангенс угла диэлектрических потерь, используемый для сред с малыми потерями, то уравнения Максвелла приобретут следующий вид: ст rot , H j j E (2.12) rot E j H (2.13) Из уравнения (2.9) следует, что на СВЧ понятия диэлектрика и проводника относительны. Проводником считают среду, в которой преобладают токи проводимости над токами смещения: Тогда для диэлектрика токи смещения преобладают над токами проводимости: Таким образом, частота колебаний может оказаться решающей при определении характера среды. Так, почва в диапазоне частот до сотен килогерц может считаться проводником, а уже при частотах порядка сотен мегагерц — диэлектриком. Деление сред на проводники и диэлектрики по их электропроводности относительно, так как критерий оценки включает частоту. В большом диапазоне частот, которым располагает современная радиотехника, свойства сред меняются значительно. Можно сказать, что с ростом частоты вещества приобретают диэлектрические качества. Поведение некоторых хорошо известных сред иллюстрирует рис. 13. Как видно, медь, алюминий и другие металлы остаются хорошими проводниками в широком диапазоне частот. Сухая почва на низких частотах является проводником, на сверхвысоких частотах становится отчётливо выраженным диэлектриком. Отмеченный факт играет важную роль в распространении радиоволн над земной поверхностью. Рис. 13 2.2. ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВЕКТОРОВ ПОЛЯ Решение системы уравнений Максвелла возможно путём приведения их к двум независимым уравнениям относительно векторов поля E и H Будем считать среду линейной однородной и изотропной. Чтобы получить уравнение, в котором будет только вектор напряжённости электрического поля, необходимо исключить из уравнений Максвелла вектор напряжённости магнитного поля H Возьмём ротор от обеих частей уравнения (2.13) и вместо rot H подставим его значение из уравнения (2.12) 2 ст rot rot E j j E (2.14) Преобразуем левую часть уравнения (2.14), используя тождество векторной алгебры rot rot graddiv , E E E где — оператор Лапласа (лапласиан), который в декартовой системе координат имеет вид 2 2 2 2 2 2 x y z Для вычисления div E возьмём дивергенцию от обеих частей уравнения (2.12). Используя тождество divrot 0, H получаем ст 1 v d v i i d E j j (2.15) Подставив в последнее уравнение ст , div j использовав уравнение непрерывности для стороннего- тока (2.7), найдём ст div E (2.16) Выполнив все указанные преобразования в уравнении (2.14), придём к неоднородному волновому уравнению ст 2 ст grad E E j j (2.17) Если во всей рассматриваемой области источники отсутствуют, то получаем однородное волновое уравнение (уравнение Гельмгольца) 2 0, E E (2.18) которое описывает электромагнитное поле. Уравнение для вектора напряжённости магнитного поля получим, если возьмём ротор от обеих частей уравнения (2.12) и подставим rot E из выражения (2.13), 2 ст rot rot rot H j H (2.19) Используя тождество rot rot graddiv , H H H и учитывая, что div 0 H после преобразований уравнения (2.19), будем иметь неоднородное волновое уравнение для вектора : H 2 ст rot . H H j (2.20) В области пространства, где отсутствуют источники, поле вектора H описывается однородным волновым уравнением, аналогичным уравнению (2.18): 2 0. H H (2.21) Это означает, что решения для векторов E и H будут аналогичны. Векторные волновые уравнения равносильны трём скалярным. Так, в декартовой системе координат уравнение (2.18) в скалярной форме равносильно трём уравнениям: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0, 0, 0, x x x x y y y y z z z z E E E k E x y z E E E k E x y z E E E k E x y z где 2 2 , k , , x y z E E E — составляющие вектора E по координатным осям. Так как все уравнения одинаковы, то для определения составляющих векторов поля достаточно решить одно скалярное уравнение 2 2 2 2 2 2 2 0. L L L k L x y z (2.22) Будем решать уравнение (2.22) для регулярного волновода методом разделения переменных. Форма и размеры поперечного сечения регулярного волновода произвольны, но не меняются вдоль всей длины волновода. Представим искомое решение в виде произведения функций независимых переменных: ( ) ( ) ( ) 0. L X x Y y Z z (2.23) Подставим (2.23) в уравнение (2.22) и разделим его на L В результате из уравнения (2.22) получим 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 0. d X d Y d Z k X Y Z dx dy dz (2.24) Функции , X Y и Z взаимно независимы, и, следовательно, уравнение (2.24) распадается на три уравнения: 2 2 2 1 ; d X X dx (2.25) 2 2 2 1 ; d Y Y dy (2.26) 2 2 2 1 d Z Z dz (2.27) Постоянные , и связаны соотношением 2 2 2 2 , k (2.28) где знаки перед постоянными выбраны разными из соображений удобства. Принципиального значения это не имеет, но вид решения при выбранных знаках получается более удобным. Уравнения (2.25) — (2.27) являются однородными линейными дифференциальными уравнениями второго порядка. Решения этих уравнений известны: 1 1 cos( ), X C x (2.29) 2 2 cos( ), Y C y (2.30) 3 4 , z z Z C e C e (2.31) где 1 2 3 4 , , , , C C C C 1 и 2 — произвольные постоянные, которые можно определить из граничных условий. Таким образом, искомая функция 1 1 2 2 3 4 ( ) ( ) ( ) cos( ) cos( )( ). z z L X x Y y Z z C x C y C e C e (2.32) Полученное решение представляет любую из шести составляющих векторов поля , , , , , x y z x y z E E E H H H Решение (2.32) состоит из двух волн различной амплитуды и распространяющихся вдоль координаты z в разные стороны. Вдоль координат x и y распространения волн нет. Если источники поля удалены в сторону отрицательных z на бесконечно большое расстояние, то возникновение обратной (отражённой) волны невозможно, физический смысл имеет решение только для прямой волны: 1 1 2 2 4 1 2 cos( ) cos( ) cos( )cos( ) , z z L C x C y C e D x y e (2.33) где 1 2 4 D C C C Постоянные и определяют изменение электромагнитного поля в плоскости поперечного сечения рассматриваемой линии и называются поперечными волновыми числами передающей линии. Исходя из равенства (2.33), имеем решение волновых уравнений (2.18) и (2.21) для регулярного волновода ( , ) , j t z m E e x y E e (2.34) ( , ) , j t z m H h x y H e (2.35) где ( , ) e x y и ( , ) h x y — некоторые векторные функции поперечных координат; — постоянная распространения волнового процесса вдоль регулярного волновода. ЛИТЕРАТУРА 1. Французов, А.Д. Электродинамические основы расчёта и проекти- рования экранов и СВЧ устройств / А.Д. Французов. — Челябинск: ЧПИ, 1979. — 99 с. 2. Саламатин, В.В. Основы электродинамики (традиционной и геометрической): учеб. пособие / В.В. Саламатин, И.Л. Афонин; Под ред. В.В. Саламатина. — Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2005. — 270 с.; ил. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Приведите систему уравнений Максвелла в комплексной форме. 2. Обоснуйте уравнение плоской волны, распространяющейся в однородном диэлектрике. 3. Поясните физический смысл фазовой постоянной волны β 4. Поясните принципы классификации сред по их электрической проводимости. 5. Приведите выражение для комплексной диэлектрической проницаемости среды. 6. Как определяется мгновенное значение напряжённости электрического поля в свободном пространстве и в полупроводящей среде? Запишите выражения в символической и тригонометрической формах. 7. Получите волновые уравнения для индукций электромагнитного поля. |