философия. Вопросы для экзамена по Части Специфика предметной области философии математики
 Скачать 65.06 Kb.
|
|
Примерные вопросы для экзамена по Части 2. Специфика предметной области философии математики. Обычно выделяют два функциональных назначения философии - мировоззренческое и методологическое. Мировоззренческое направление философии и связь с математикой. Под мировоззрением понимается взгляд на мир и определение места человека в мире. Задача мировоззрения - дать не картину мира в целом, а подход к нему. Потому мировоззрение представляет систему убеждений и идеалов, выполняя функцию регуляторного механизма отношения человека к миру. Мировоззренческие установки и описания реальности неизбежно выводят на уровень общих характеристик, сравнимых с теми, которые констатируют конкретные науки. Но это и делает философию избыточной. Представляется, что философский подход отличается от естественнонаучного, тем, что выявляет не просто общее в природном или социальном мире, или в самом мышлении (когда каждое из них взято отдельно), но такое общее, которое присуще одновременно и бытию (природе или обществу) и мышлению. Ни одна наука специально этим не занимается. Если говорить о предметной области философии математики, то это описание отношения науки математики, ее понятий и операций к внешнему миру, это проблема философских обоснований математики, размышления о специфике математической реальности и особенностях ее представления в категориях математической мысли. Встает вопрос, являются ли математические объекты произвольными творениями разума или же мы преднаходим их, либо их аналоги в окружающей природе? По своему характеру это тоже философский вопрос, а не собственно математическая проблема, решаемая специальными средствами этой науки. И нельзя сказать, чтобы она не занимала самих математиков, полностью отдавая ее в руки философов. Мировоззренческими являются также рассуждения о предельных аспектах бытия и мышления. Это попытка заглянуть за горизонт, поставить вопрос о том, возможны ли (и как именно) другие миры и другие законы мышления. Философия является особым типом миропостижения, отличающаяся порывом выйти за грань наличного бытия, за пределы знаемого, совершить переход в иное. Здесь обнаруживается близкая связь философии с математикой. Последняя по своей природе как раз и характеризуется тем, что способна описать реальность с точки зрения предельных состояний. В то время, когда все другие науки принимают мир, каким он есть, математика способна раскрывать его, каким он может быть, то есть его границы. Методологическое направление философии и связь с математикой. По определению, метод есть определенным образом упорядоченная деятельность, совокупность приемов по достижению познавательной цели - истины. Соответственно методология - учение о методе, теория метода. Метод - это тоже знание, но по особому организованное и примененное. Если теория есть движение мысли по структуре объекта, то метод представляет собой движение по структуре теории. То есть это знание, используемое не просто для объяснения мира, а в качестве средства, инструментария приращения знаний, для получения новых истин. Если говорить о предметной области философии математики, то это описание отношения науки математики, ее понятий и операций к внешнему миру, это проблема философских обоснований математики, размышления о специфике математической реальности и особенностях ее представления в категориях математической мысли. Возвращаясь к математике, укажем на яркий пример вовлечения философией в методологический оборот метода исчисления бесконечно малых, который превратился благодаря этому из частного в общенаучный. По определению, бесконечно малые суть величины, стремящиеся к пределу, равному нулю (но никогда его не достигающие). То есть это величины, существующие, как их определил О. Коши, в их исчезновении, взятые ни до их превращения в нуль, ибо тогда они были бы конечными, но и не после превращения в нуль, поскольку в этом случае о них нечего и говорить. Для Гегеля бесконечно малые стали своего рода аналогом диалектического метода, который берет вещь не до ее исчезновения, тогда мы останавливали бы процесс движения, что невозможно, но и не после исчезновения, тогда это будет уже другая вещь. Как и бесконечно малую, вещь надо брать в процессе ее превращения в другое, брать в становлении. Основные философские проблемы математического познания. Особенности математического знания, которые отличают ее от прочих наук, в следующем: повышенная степень абстрактности понятий (не имеющая размерности точка, линия, не имеющая толщины, множество любых объектов, множество вообще), повышенная мера общности (буквенное обозначение любого числа), символизация объектов до стадии идеализирования (т.е. доведения признаков до крайности, напр., количественных параметров объектов до нуля или до бесконечности), что в целом и делает возможным задействование аппарата математики в различных науках, в первую очередь, в физике. Связь математики с другими науками. сам Проблема онтологического статуса математического объекта. (Онтология раздел философии, в котором рассматриваются всеобщие основы, принципы бытия, его структура и закономерности.) Вопрос об онтологическом статусе математики, т.е. какие типы объектов (какой тип реальности) изучает математика. Этот вопрос закономерен в силу специфики математики, не являющейся описанием вещей. Врач изучает болезни, астроном - звезды и т.п. Существовали ли бы болезни, не будь врачей или звезды, не имейся астрономов? Очевидно, существовали бы. А существовали бы числа, если бы не было математиков? Проблемный вопрос, как существует математический объект, представляемый знаком, вернее, где он существует? Если в бытии, то где именно? Если же в сознании, то в чьем конкретно: коллективном или индивидуальном? По этой проблеме традиционно враждуют две основные линии - реализм и номинализм. Реализм, концептуализм, номинализм в математике. Номинализм (от лат. nomen - имя) видел в общих понятиях лишь «манеру речи», имена, которые применяются не к классу вещей «как целому», а порознь к каждой отдельной вещи из какой-либо совокупности, в этом смысле тот или иной класс вещей - не более чем мысленный образ, абстракция. Номиналисты учили, что в действительности существуют лишь индивидуальные вещи, а роды и виды - не более чем субъективные обобщения сходного, делаемые при посредстве равных понятий и одинаковых слов. В этом смысле лошадь - не более чем общее наименование, применяемое и к арабскому скакуну, и к ахалтекинцу. Реализм, напротив, полагал, что универсалии существуют реально и независимо от сознания. Крайний реализм приписывал реальное бытие общим понятиям, самостоятельное, обособленное и предшествующее вещам. Умеренный реализм придерживался аристотелевского взгляда и утверждал, что общее, хотя имеет реальное бытие, но заключаются в единичных вещах. (Реалистическая точка зрения более подходила к христианской догматике, а потому нередко приветствовалась католической церковью). Концептуализм (от лат. conceptus - мысль, понятие) истолковывал универсалии как обобщения, основанные на сходстве предметов. В этом смысле он представлял собой нечто среднее между реализмом и номинализмом. Так, согласно Фоме Аквинскому, универсалии существуют до сотворённой природы в божественном разуме в качестве «мыслей» Бога и прообразов единичных вещей, они существуют также в единичных вещах как их реальное сходство или их тождественность прообразу, наконец, универсалии существуют после единичных вещей в уме познающего как результат абстрагирования сходных свойств в форме понятий. В математике: Реализм: вера в то, что математические формулы отражают реальные отношения в мире. Номинализм: математические формулы — условные вещи, произвольно выдуманные человеком для удобства, например, в микромире и на просторах Вселенной наши математические аксиомы могут не работать. Проблема обоснования математики. Программа логицизма. Философское обоснование математического знания постоянно обсуждалось не только философами, но и математиками. Однако пик озабоченности ведущих математиков философскими проблемами пришелся на начало 20 в. и был связан с разразившимся в это время кризисом оснований. Возникшие тогда направления в математике (их обычно выделяют четыре: логицизм, интуиционизм, формализм и теоретико-множественное направление) различаются прежде всего философскими установками, повлиявшими в свою очередь на структуру развиваемого ими математического дискурса. Впрочем, позиция каждого направления была тесно связана с философской классикой. Рассел, сформулировавший философскую базу логицизма, во многом солидаризировался с английским эмпиризмом. Он исходил из того, что основание математики лежит вне ее и все математическое знание должно быть фундировано нематематическими посылками. Истинность математических суждений обнаруживается их сведением к наиболее простым и непосредственно устанавливаемым суждениям о реальности, т.е. эмпирическим фактам. Рассел был убежден в том, что математика будет иметь смысл (и избавится от противоречий), когда будет показано, что она отражает какое-то реальное положение дел. Наибольшую сложность в его концепции представляло объяснение того, что собственно означает это реальное положение дел, т.е. что следует называть фактами и как их устанавливать. Проблема обоснования математики. Программа интуиционизма. Прямо противоположная позиция была занята основателем интуиционистской школы Брауэром. Он считал математику вполне самодостаточной дисциплиной, основания которой лежат внутри ее самой. Более того, по мнению Брауэра, математика является наиболее чистым выражением фундаментальных интуиций, лежащих в основе всякой когнитивной деятельности. Говоря об интуиции, он прежде всего имел в виду интуицию числового ряда, которая, будучи непосредственно ясна сама, задает априорный принцип любого математического (да и не только математического) рассуждения. Последнее он представлял как последовательность конструктивных действий, осуществляемых одно за другим согласно некоторому закону. Обоснованность математических понятий поэтому оказывалась тождественна их конструктивности. По Брауэру, все неконструктивные абстракции (прежде всего абстракция актуальной бесконечности) должны быть устранены из математики. Проблема обоснования математики. Программа формализма. Идея конструктивности была использована и Гильбертом, предложившим формалистическую программу обоснования математики. Его проект включал два основных пункта: 1) аксиоматизация основных математических дисциплин и 2) доказательство непротиворечивости аксиоматически заданных теорий в рамках метаматематики. Первый пункт означал особую трактовку онтологического статуса математических объектов. Они рассматривались всего лишь как символы или их комбинации, не имеющие никакой сущности и определения. Их определенность возникает только благодаря месту в формулах теории, т.е. благодаря полной совокупности отношений, в которых они участвуют. Второй пункт гильбертовской программы предлагал трактовать математическое рассуждение так же, как объект теории. Доказательство математической теоремы, точно так же как и математические объекты, есть определенная комбинация символов, т.е. объект, сконструированный по заданным правилам. Завершенность и регулярность таких объектов и должна стать гарантией их непротиворечивости. Гильберт считал особенно важным то, что всякое математическое рассуждение конечно и доступно прямому чувственному созерцанию. Здесь Гильберт прямо солидаризируется с Кантом. Более того, программа Гильберта может быть рассмотрена как своего рода апология кантианства именно там, где позиции последнего наиболее уязвимы – в тех областях, которые не имеют дела с созерцаемыми объектами. Дело в том, что в рассуждении (т.е. аксиоматической теории) любой бесконечный объект все равно есть лишь непосредственно созерцаемая символическая конструкция. Понятия актуальной и потенциальной бесконечности в математике. Со времён Аристотеля различают 2 вида бесконечности: актуальную и потенциальную. Считается, что актуальная бесконечность якобы существует в настоящем времени, потенциальная бесконечность – в будущем, как (потенциальная) возможность наращивания какого-либо количества, величины, числа; возможность продолжения какого-либо процесса в будущем. Кризисы в истории математики. Кризис геометрии Евклида и философская система И. Канта. Одним из величайших философов всех эпох считается Иммануил Кант. В своих работах (главные из которых – «Критика чистого разума», «Критика практического разума» и «Критика способности суждения») он осуществил коренной переворот в постановке и решении гносеологических проблем, объявив, что основной помехой в процессе познания являются недостатки человеческого разума. И.Кант считал, что решению основных проблем философии должно предшествовать исследование возможностей человеческого познания. Он сравнивал сделанное им с переворотом, вызванным учением Коперника: центр рассмотрения процесса познания был смещен с того, что познается, на того, кто познает. И.Кант подверг критическому рассмотрению возможности человеческого разума и определил его границы. Поэтому он и назвал свои труды «Критиками». Всякое познание, не основанное на исследовании его возможностей и предпосылок, есть догматизм. Теория познания как изучение закономерностей познания должна быть строгой наукой. Поэтому И.Кант строил свою философию по образцу естественных наук, считая ее целью получение всеобщего объективного знания. Сначала И.Кант поставил перед собой задачу: разделить эмпирические знания (пришедшие из опыта) и априорные(сформировавшиеся до опыта). Априорные положения относятся к целым классам вещей и явлений. Говоря, что все объекты данного класса подчинены одному закону, мы неминуемо совершаем скачок за пределы опыта и, формулируя априорные суждения, отвлекаемся от реальной конечности опыта. Всеобщее и необходимое знание не может быть выведено из опыта из-за неполноты индукции; итак, всеобщее познание в принципе внеопытно. Также И.Кант выделил два вида суждений:синтетические, дающие новое знание, и аналитические, разъясняющие уже известное. Философские суждения, претендующие на увеличение знания, должны быть априорными и синтетическими. Но возможны ли они? Почему философы не приходят к единому мнению? Возможна ли философия как наука? Для ответа на эти вопросы И.Кант исследовал возможности познания. Процесс восприятия И.Кант представляет следующим образом. Имеется «вещь в себе» – вещь, существующая сама по себе как возбудитель наших ощущений, основа чувственно ощущаемого и рационально мыслимого предмета. Но человек не имеет с ней контакта; он может познавать с помощью органов чувств только явления, а они – отношение предмета к субъекту, а не то внутреннее, что присуще объекту самому по себе. Сама вещь вне нашего восприятия – «вещь в себе» – непознаваема. Все, что мы можем узнать о ней через явления – то, что она есть и действует на органы чувств. И.Кант считал, что получаемый от внешнего мира хаос ощущений затем упорядочивается через априорные формы чувственности (среди них – пространство и время). Это не объективные формы бытия вещей, а субъективные формы, в которые мышление человека складывает опытные данные. Пространство и время объективны (то есть не зависят от индивидуального сознания), и все же созданы нами. Они для всех одинаковы, а поэтому люди согласны в восприятии внешнего мира. Затем вступает в действие другая познавательная способность – рассудок. Ему также присущи априорные формы – категории или основные понятия. Именно они создают достоверность математики и логики, общих для всех людей. Мир «вещей в себе» находится вне пространства и времени, вне математических конструкций. То, что мы называем законами природы, есть связи, вносимые разумом в мир явлений. Итак, «вещь в себе» воздействует на наши органы чувств, а получаемые ощущения преобразуются в понятия. Априорные формы чувственности и рассудка организуют хаос ощущений и придают содержанию опыта характер всеобщего и необходимого знания. Подведение ощущений под априорные формы чувственности дает восприятия, их синтез с помощью априорных форм рассудка –суждения. Но эмпирические знания, как бы они не уточнялись, не могут дать достоверного представления о «вещах в себе» и о мире в целом. Все предметы нашего опыта – явления, не имеющие существования вне нашей мысли. Важное место в философии И.Канта занимает понятие «трансцендентальный»: так называется все, что предшествует опыту, но делает его возможным. И.Кант так разрешил спор между рационализмом и эмпиризмом: наше знание – рациональное по форме и опытное по содержанию. Оно – не копия вещей, а конструкция, возведенная рассудком из чувственных восприятий по плану, созданному априорными логическими категориями. Что касается философии, то необходимой для достижения ее единства третьей априорной формы у человека нет: поэтому единой философии быть не может. Познание человека ограничено горизонтами опыта. Но человеку присуще неискоренимое желание получить однозначные ответы на все вопросы, обретя полноту знания. Рассудок стремится выйти за пределы опыта, хотя его средства (понятия и категории) действительны только в этих пределах; пытаясь делать заключения вне мира опыта, он запутывается в противоречиях. Так возникают антиномии – вопросы, имеющие возможны противоположные ответы, одинаково доказуемые, между которыми нельзя сделать выбор. Эти антиномии таковы. 1. Мир имеет начало во времени и границы в пространстве. – Мир бесконечен в пространстве и времени. 2. Всякая вещь состоит из простейших частиц. – Всякая вещь делима до бесконечности, нет ничего простого. 3. Причинность недостаточна для объяснения всех событий, существует свобода. – Все во Вселенной совершается лишь по законам природы, свободы не существует. 4. Существует безусловно необходимая сущность (Бог) как причина мира. – Нет этой сущности ни в мире, ни вне мира. Итак, разум не может построить законченную картину мира: эта цель в принципе превышает возможности рационального моделирования. Но философия – стремление решать вопросы, которые не могут быть решены, – присуща человеку. Философия помогает человеку определить стратегию своей жизни – но не более того. Она основана на трех недоказуемых идеях, в которых разум выходит за пределы опыта: безусловного единства субъекта (идея души), абсолютного единства условий данного явления (идея внешнего мира), абсолютного единства всех предметов мышления (идея Бога). Эти идеи не имеют обоснования в опыте, но синтезируют его многообразие. И.Кант выделил две области: «мир природы» как материальный мир и «мир свободы» как мир нравственных процессов. Явления принадлежат к миру природы и подчиняются законам причинности; «вещи в себе» относятся к миру свободы. Человек – житель обоих миров. И.Кант различал в человеке «Я» эмпирическое и «Я» трансцендентальное. Эмпирический субъект – центр индивидуального сознания, возникающий благодаря трансцендентальному единству самосознания. Это значит, что восприятие мира сопровождается осознанием «Я мыслю»: воспринимая что-либо, мы одновременно сознаем и себя как воспринимающих. Эмпирический субъект – одно из явлений: поэтому единство человеческого опыта (и личность как его причина) не может быть найдено в его границах. Трансцендентальный субъект – одна из непознаваемых «вещей в себе», источник единства сознания, гарантия человеческой свободы. Но объектом теоретического познания он быть не может. Свобода – это независимость от законов внешнего мира. Она возможна потому, что воля человека автономна (определяется не внешними причинами, а своими же законами). Эти законы, говорящие не о сущем, а о должном, – законы морали. Именно подчинение моральному закону возвышает человека над чувственным миром – механизмом природы – и превращает его в личность. Вера в реальность свободы (как полной независимости воли от естественного хода вещей) необходима для того, чтобы человек мог воспринимать себя как личность, независимую от природной детерминации и способную на свободный выбор. Поскольку человек не только явление, но и «вещь в себе», он и свободен, как трансцендентальный субъект, и подчинен законам природы, как субъект эмпирический. Его единственная всеобщая цель – сохранить человечность. И.Кант выделяет и два вида человеческого разума. ^ Теоретический разум стремится к достижению единства опыта, дав целостную картину внешнего мира, но это невозможно: он не способен познавать «вещь в себе». Бытие закрыто от теоретического разума, который постигает лишь то, что сам творит. Практический разум – это способность человека к свободному действию на основе высших безусловных принципов. Он переводит нас из мира явлений в мир «вещей в себе», дает человеку «законы свободы» – моральные принципы, возвышающие его над миром природы. Мир свободы не то, что есть, а то, что должно быть. Благодаря практическому разуму человек не является частью механизма природы: воля дает способность не постигать недоступную разуму реальность, а преобразовывать ее, создавая вещи, соответствующие представлениям. ^ Постулаты практического разума (аксиомы, которые мы должны считать верными, если хотим доказать собственную человечность) таковы: свобода человеческой воли (т.е. воля не зависит от природного закона причин и следствий); существование Бога (поскольку миром правят не моральные, а механические законы, ее исток должен быть надмирным); бессмертие души (что делает возможным бесконечный прогресс). Итак, свобода человека заключается в способности действовать на основании собственных представлений, независимо от природной причинности. Свобода воли – не произвол: она сама определяет себе закон. И.Кант ставил целью создать универсальную и общечеловеческую этику на манер точной науки. По его мнению, этические истины могут быть обоснованы независимо от веры в авторитет; они всеобщи, как и научные концепции. Законы практического разума – императивы (говорящие не о том, что происходит, а о том, что должно происходить) выводятся из категорического императива. Это общеобязательный принцип, которым должны руководствоваться все люди. Он имеет две формулировки. Одни вариант: «Поступай только согласно такой максиме, руководствуясь которой ты можешь пожелать, чтобы она стала всеобщим законом» (то есть нужно спросить себя, готов ли человек жить в обществе, где его поступок станет всеобщим законом). Другой вариант: «Поступай так, чтобы ты всегда относился к человечеству… как к цели и никогда не относился бы к нему только как к средству». Таким образом, И.Кант показал, что природа познания не может быть раскрыта без анализа познавательных возможностей субъекта; показал существование границ человеческого разума; ограничил познавательные возможности субъекта миром явлений и доказал, что чисто логическим путем невозможно установить соответствие между объективным миром и познанием; сформулировал моральные законы как свободно принятые людьми и независимые от всяких внешних условий. Истина в математическом познании: корреспондентная и когерентная теории. Корреспондентная теория истины (от англ. correspondence — соответствие) — теория, истолковывающая истинность некоторой мысли как соответствие ее своему предмету или реальности. Истолкование истины как соответствия мысли действительности восходит к античности, поэтому К. т. и. называют также «классической концепцией истины». Основную идею классической концепции выразил еще Платон: «Тот, кто говорит о вещах в соответствии с тем, каковы они есть, говорит истину; тот же, кто говорит о них иначе, — лжет». Важной особенностью К. т. и. является то, что в ней истина объективна — в том смысле, что она не зависит от воли и желания людей, от ее признания или непризнания. Соответствие мысли объекту определяется объектом, его особенностями, а не нашими желаниями. Корреспондентное понимание истины вырастает из нашего здравого смысла и повседневной практики, потому до настоящего времени оно является наиболее распространенным. Следует обратить внимание на то, что реальность, относительно которой наши мысли или высказывания оцениваются как истинные или ложные, не обязательно должна быть только физической реальностью; это может быть реальность идеальных, допустим математических, объектов или художественного вымысла. Несмотря на свою широкую распространенность, К. т. и. порождает ряд серьезных проблем, которые все еще не получили общепризнанного решения. Во-первых, совсем неясно, что означает «соответствие» мысли действительности, или реальному положению дел. Когда речь идет о чувственном образе, то это соответствие еще можно истолковать как «сходство» образа и вещи: можно допустить, что чувственный образ дерева как-то похож на само реальное дерево (хотя и это вызывает известные сомнения). Но о каком сходстве можно говорить, когда речь идет о высказывании и предмете? В каком смысле утверждение «Треугольник имеет три угла» похоже на треугольник? Ясно, что ни о каком «сходстве» здесь говорить нельзя. Но тогда что такое «соответствие» мысли предмету? Во-вторых, как узнать, что перед нами истина, а не ложь? Как отличить истину от заблуждения? Это — вопрос о критериях истины. Р. Декарт, напр., полагал, что критериями истины являются ясность и отчетливость мысли: если некоторая мысль мне совершенно ясна, то она и истинна. По-видимому, этот критерий мало что дает. Иногда в качестве критерия истины предлагается непротиворечивость: если некоторая мысль, теория непротиворечивы, то они истинны. Этот критерий позволяет отсечь заведомо ложные идеи и концепции: если мысль внутренне противоречива, то она безусловно ложная. Однако далеко не все непротиворечивые построения истинны. Марксистская философия в качестве критерия истины предложила рассматривать практическую деятельность: если, руководствуясь какой-то мыслью, мы добиваемся успеха в деятельности, то это свидетельствует о том, что данная мысль истинна. По-видимому, во многих случаях повседневной жизни этот критерий помогает нам отличить истину от заблуждения. Однако уже здесь выясняется, что и ложные идеи способны приводить к успеху в практической деятельности. Сейчас считается общепризнанным, что ни непротиворечивость, ни подтверждаемость опытом, ни успех в практической деятельности не позволяют нам провести четкую границу между истиной и ложью. Когерентная теория истины (от лат. cohaerentia — сцепление, связь) — концепция, сводящая проблему истинности к критерию самосогласованности, непротиворечивости: напр., предложение истинно, если оно является элементом логически взаимосвязанной и когерентной системы. В основании К. т. и. лежит, восходящая к античности (Парменид, элеаты, Аристотель) идея о том, что знанием о реальности может быть только непротиворечивое и согласованное знание; противоречивое же знание ничего не описывает и не объясняет. Поэтому истинность каждого отдельного фрагмента знания (предложения, теории, гипотезы и т.п.) может быть удостоверена его принадлежностью к непротиворечивой и согласованной системе. К. т. и. является попыткой переформулировать условия применения классической теории истины таким образом, чтобы, с одной стороны, избежать трудностей этой теории (неясности относительно того, как можно установить соответствие между некоторым фрагментом знания и фрагментом реальности, описываемой или объясняемой этим знанием), а с другой — придать ей такую форму, которая допускает методологический анализ с применением точных логических методов. Когерентный подход к пониманию истины широко используется в математике, логике, в теоретическом естествознании — там, где важнейшим признаком приемлемой теоретической системы является непротиворечивость. Если присоединение некоторого высказывания к системе высказываний не делает всю систему противоречивой, то это высказывание считается приемлемым. Проверка истинности осуществляется для системы в целом, и если система подтверждается опытом, экспериментом, практическим приложением, то она считается; истинной, следовательно, и присоединенное к ней без противоречия высказывание должно считаться истинным. Современные ученые не рассматривают утверждения и теории, вступающие в противоречие с фундаментальными принципами признанных теорий, рассматривая такие утверждения и теории как заведомо ложные. Системность, присущая знанию, является не просто внешней связью элементов, но выражает его внутреннее содержание, в котором целое богаче (истиннее) суммы его частей (последние по отдельности могут обладать лишь частичной истинностью). Эта теория, будучи исторически производна от идеи всеобщей логико-метафизической связи (Лейбниц, Гегель), опиралась на идеал чистой математики, но затем была распространена на различные концептуальные системы. Если целостность и системность рассматриваются как смыслообразующие факторы знания, то и истина становится производной от них связью, в которой элементы знания достигают своего совершенства. Вытекающая из данной установки теория истины фактически обессмысливает истинностную оценку отдельного суждения. Совершенство знания признается постоянной величиной (коль скоро построена система, то и заданы истинностные критерии), что и исключает понимание познания как стремления к истине. Кроме того, представление о том, что всякой системе знания соответствует своя истина, исключает логические способы их сопоставления и приводит к выводам в духе крайнего релятивизма. + если истина зависит не от отношений между нашей мыслью и потенциально непостижимой действительностью, но конституируется в пределах нашего мышления, то не остается оснований для скептицизма + с помощью когерентной теории мы можем оценивать истинность тех утверждений, для которых мы не можем – в данный момент или вообще, принципиально – установить их соответствие фактам - нет никаких свидетельств в пользу того, что система ложных пропозиций не могла бы быть столь же последовательной, как и полностью истинная система Философии математики сегодня: проблемы, подходы, решения. Ключевые понятия и термины: число, формализация, аксиоматика, логицизм, формалистское, интуитивистское направления, метод выдвижения гипотез, математическое моделирование. Математика – дисциплина, изучающая реальность в аспекте его количественных и пространственных соотношений, наличии абстрактных идеализированных объектов, для чего задействуется язык формализации, вычленяющий данные параметры. Важнейшим концептом математики (от греч. mathemata – наука) всегда было число, содержание которого в истории менялось. Вначале, в связи со счетом, возникло представление о целых положительных (натуральных) числах, позже Евклид и Архимед дополнили математику понятием бесконечности натурального ряда чисел (III в. до н.э.), индийцы изобрели цифры для записи натурального ряда чисел (при помощи десяти знаков цифр), у них же возникло понятие отрицательного числа (VI-XI вв). В античной Греции оформились представления о рациональных (дробных) и нерациональных числах (выраженных бесконечными непериодическими десятичными дробями). В XVI в., ввиду необходимости решать квадратные и кубические уравнения, начинают использоваться комплексные числа типа x+iy, где x и y – действительные числа, а i мнимая единица. Особенности математического знания, которые отличают ее от прочих наук, в следующем: повышенная степень абстрактности понятий (не имеющая размерности точка, линия, не имеющая толщины, множество любых объектов, множество вообще), повышенная мера общности (буквенное обозначение любого числа), символизация объектов до стадии идеализирования (т.е. доведения признаков до крайности, напр., количественных параметров объектов до нуля или до бесконечности), что в целом и делает возможным задействование аппарата математики в различных науках, в первую очередь, в физике. Итак, в математике используются формализованные языки. Для формализации существенную роль играет аксиоматический метод, сущность которого заключается в сведении отношений специфических объектов к количественному описанию, термины разделяются на исходные и производные, а высказывания - на доказуемые (теоремы) и не нуждающиеся в доказательстве (аксиомы). Само доказательство основывается на логической дедукции, т.е. выводе с помощью правил логики. Доказательство и является главной характеристикой собственно математического знания. Философия математики существует в двух измерениях: как раздел философии науки и как методология математики. Ключевые проблемы данного раздела: прояснение сущности математики, предмета, задач, методов и места в общей структуре знания. Сугубо философской проблемой является вопрос о специфике объектов, возможных к освоению в рамках математического анализа, терминов и логики. Данная стратегия имеет длительную историю. Еще в античности греки обнаружили способность математических высказываний к самостоятельной очевидности (Пифагор, полагая математику знанием, возводящим конкретное мышление к усмотрению сущности, относил ее к высшей области интеллектуальной деятельности, подготавливающей практику освоения частного, конкретного и возведения его к общему и универсальному (даже боги не могут сделать так, чтобы дважды два не равнялось четырем, а сумма квадратов катетов не равнялась квадрату гипотенузы). Занятия математикой и геометрией, согласно Пифагору, доставляют двоякую пользу: во-первых, они способствуют постижению гармонии мира, устройство которого выражается в числовых пропорциях, во-вторых, подготавливают человеческое мышление к созерцанию высших истин в их чистоте и непосредственности, что и является атрибутом философской мудрости. У Платона и Декарта основоположения математического знания просто врожденны субъекту. По Аристотелю же, объекты математики и геометрии имеют не врожденный характер, а результирующий – как продукт абстрагирования и обобщения от конкретно созерцаемых вещей. Отметим, что Платон полагал считать собственно науками только науки точные, каковыми оказываются лишь математика и астрономия, и подобное позиция сохранялась вплоть до времен Галилея. Позднейшие дополнения в теорию интерпретации математического знания производятся в эпоху Нового Времени (XVII-XVIII вв). Лейбниц формулирует проблему тождества математической и эмпирической реальности, по поводу чего делает вывод о сугубо формализованном (абстрагированном, автономном от реальности) языке данной дисциплины, что постепенно признается и кругом представителей точных наук. Лейбниц (и независимо от него, Ньютон) также разработал теорию исчисления бесконечно малых. Для О. Коши (XIX в.) уже вполне очевидно (с привлечением «теорем существования») отсутствие эффективности сопоставлений математического объекта с элементами реальности, объект математики представляется сугубо логической единицей, и к концу XIX столетия факт независимости математики от реальности становится уже общепризнанным, ее главное требование – лишь логическая непротиворечивость. В первой пол. ХХ в. споры велись относительно обоснования математики, т.е. сведения ее к некоторому единому основанию. В качестве такового Г.Ф. Кантор полагал разработанную им теорию множеств, Б. Рассел – «теорию типов» (классифицирующую предметы и множества по их типологии), что, как направление, получило название «логицизм», впрочем, последнее не получило широкого распространения в математическом мире по причине противоречивости. Формалистское направление (предложено Д. Гильбертом (XIX-XX вв)) обоснование математической теории должно осуществляться формально, т.е. синтаксически, без учета ее содержания (семантики), которое, в принципе способно выражаться через структуру формы. Тем не менее, и данное направление обнаружило свою неполноту по причине невозможности формализовать некоторое содержание, например, арифметики натуральных чисел. Еще одно направление математики ХХ столетия – интуитивизм (представители Г. Вейль и А. Гейтинг) сформулировали критерий интуитивной ясности в оценке истинностных значений. Основания математики ими усматривается в элиминировании объектов, которые предполагают крайнюю степень идеализации, к примеру, актуально бесконечные множества (но потенциально бесконечные остаются). Проблема, возникающая в данном подходе – существенное сужение объема приложения математического анализа. В целом, перечисленные направления, так или иначе, исходили из возможностей идеализации математических объектов. Их достоинство заключается в выяснении содержательного компонента математики, в результате чего была признана, как особенность, неполнота формализации любых математических теорий. Сложившиеся теории обоснования различаются различным толкованием математического объекта. Однако с начала 1960-х гг., стратегия решения проблем смещается от обоснования математики к построению математики «машинной». В данной связи меняется гносеологическая ситуация, которая обусловливается иным параметром – необходимости координации действий человека и «думающей» машины, что подводит к поиску новых критериев математической доказательности. Еще одно проблемное поле современной математики – существенное повышение ее роли и места в естественных науках (математизация науки). Кроме того, востребованность получают методы выдвижения математических гипотез и метод математического моделирования, поскольку наука наших дней главным образом имеет дело со специфическими идеальными (в том числе либо не существующими, либо не наблюдаемыми) объектами. Метод гипотез обеспечивает возможности прогнозирования в различных науках, метод матмоделирования – целостное представление исследуемого объекта, что актуально при изучении сложных самоорганизующихся систем (в синергетике). В силу прогностических способностей, данные методы допустимы к применению как в точных науках, естествознании, так и в гуманитарных – социологии, экономике и пр. Логика и интуиция в математическом познании. Существует давняя традиция противопоставлять интуицию логике. Нередко интуиция ставится выше логики даже в математике, где роль строгих доказательств особенно велика. Чтобы усовершенствовать метод в математике, говорил Шопенгауэр, необходимо прежде всего решительно отказаться от предрассудка — веры в то, будто доказанная истина превыше интуитивного знания. Паскаль проводил различие между «духом геометрии» и «духом проницательности». Первый выражает силу и прямоту ума, проявляющиеся в железной логике рассуждений, второй — широту ума, способность видеть глубже и прозревать истину как бы в озарении. Для Паскаля даже в науке «дух проницательности» независим от логики и стоит неизмеримо выше ее. Еще раньше некоторые математики утверждали, что интуитивное убеждение превосходит логику, подобно тому, как ослепительный блеск Солнца затмевает бледное сияние Луны. Вряд ли такое неумеренное возвеличивание интуиции в ущерб строгому логическому доказательству оправдано. Ближе к истине был, пожалуй А. Пуанкаре, считавший, что логика и интуиция играют каждая свою необходимую роль. Обе они неизбежны. Логика, способная дать достоверность, есть орудие доказательства; интуиция есть орудие изобретательства. Логика и интуиция не исключают и не подменяют друг друга. В реальном процессе познания они, как правило, тесно переплетаются, поддерживая и дополняя друг друга. Доказательство санкционирует и узаконивает завоевания интуиции, оно сводит к минимуму риск противоречия и субъективности, которыми всегда чревато интуитивное озарение. Логика, по выражению математика Г. Вейля, — это своего рода гигиена, позволяющая сохранять идеи здоровыми и сильными. «Если интуиция — господин, а логика — всего лишь слуга, — пишет другой математик, М. Клайн, — то это тот случай, когда слуга обладает определенной властью над своим господином. Логика сдерживает необузданную интуицию. Хотя... интуиция играет в математике главную роль, все же сама по себе она может приводить к чрезмерно общим утверждениям. Надлежащие ограничения устанавливает логика. Интуиция отбрасывает всякую осторожность — логика учит сдержанности. Правда, приверженность логике приводит к длинным утверждениям с множеством оговорок и допущений и обычно требует множества теорем и доказательств, мелкими шажками преодолевая то расстояние, которое мощная интуиция перемахивает одним прыжком. Но на помощь интуиции, отважно захватившей расположенное перед мостом укрепление, необходимо выслать боевое охранение, иначе неприятель может окружить захваченную территорию, заставив нас отступить на исходные позиции»[1]. Уточняя и закрепляя завоевания интуиции, логика вместе с тем сама обращается к ней в поисках поддержки и помощи. Логические принципы не являются чем-то заданным раз и навсегда. Они формируются в многовековой практике познания и преобразования мира и представляют собой очищение и систематизацию стихийно складывающихся «мыслительных привычек». Вырастая из аморфной и изменчивой пралогической интуиции, из непосредственного, хотя и неясного «видения логического», эти принципы всегда остаются интимно связанными с изначальным, интуитивным «чувством логического». Не случайно строгое доказательство ничего не значит даже для математика, если результат остается непонятным ему интуитивно. Как заметил математик Л. Лебег, логика может заставить нас отвергнуть некоторые доказательства, но она не в силах заставить нас поверить нив одно доказательство. Логику и интуицию не следует, таким образом, направлять друг против друга. Каждая из них необходима на своем месте и в свое время. Внезапное интуитивное озарение способно открыть истины, вряд ли доступные строгому логическому рассуждению. Однако ссылка на интуицию не может служить твердым и тем более окончательным основанием для принятия каких-то утверждений. Интуиция дает интересные новые идеи, но нередко порождает также ошибки, вводит в заблуждение. Интуитивные догадки субъективны и неустойчивы, они нуждаются в логическом обосновании. Чтобы убедить в интуитивно схваченной истине не только других, но и самого себя, требуется развернутое рассуждение, доказательство. Соотношение математического и физического знания в контексте онтологии научного реализма. |