Вопросы. Вопросы и задачи по теме "Теория погрешностей и машинная арифметика"
![]()
|
ВОПРОСЫ К ЗАЩИТАМ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТВопросы и задачи по теме: “Теория погрешностей и машинная арифметика”Источники и классификация погрешностей. Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешности. Верные и значащие цифры. Способы округления. Представление чисел в ЭВМ. Машинный нуль, машинная бесконечность, машинное эпсилон. Алгоритмы вычисления. Погрешности арифметических операций над приближенными числами. Погрешность вычисления функций одной и нескольких переменных. Погрешность вычисления неявной функции. Числа ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Записать эти числа со всеми верными знаками. Приближенное число a содержит 5 верных цифр. Что можно сказать об относительной погрешности числа a? С какой относительной погрешностью нужно найти приближенное значение числа a, чтобы верными оказались 5 значащих цифр? Для приближенных чисел a и b (a>b>0) известно, что ![]() ![]() ![]() а) ![]() ![]() ![]() ![]() Числа ![]() ![]() ![]() ![]() a) разности ![]() ![]() Записать ответ с учетом верных цифр. Указать правила оценки абсолютных и относительных погрешностей функций a) ![]() ![]() ![]() Функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Коэффициенты ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() a) ![]() ![]() Функция ![]() ![]() ![]() Корни уравнения ![]() Вопросы и задачи по теме: “Решение нелинейных уравнений”Постановка задачи нахождения приближенного решения уравнения. Итерационное уточнение корней: порядок сходимости метода, априорные и апостериорные оценки погрешности. Метод бисекции: описание метода, скорость сходимости, критерий окончания. Метод простой итерации решения нелинейного уравнения: описание метода, условие и скорость сходимости, критерий окончания, геометрическая иллюстрация, приведение к виду, удобному для итераций. Метод Ньютона решения нелинейного уравнения: описание метода, теорема о сходимости, критерий окончания, геометрическая иллюстрация. Недостатки метода Ньютона. Модификации метода Ньютона. Модификация метода Ньютона для поиска кратных корней. Интервал неопределенности корня. Определить количество корней уравнения и для каждого корня найти отрезки локализации: a) ![]() ![]() Найти вещественный корень уравнения ![]() ![]() Определить порядок p и знаменатель q скорости сходимости метода бисекции. Выписать итерационную формулу и указать начальное приближение для решения уравнения ![]() Уравнение ![]() ![]() ![]() ![]() Решается уравнение ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пусть уравнение f(x)=0 имеет на отрезке [a,b] единственный корень x и для его вычисления используется метод простой итерации ![]() ![]() ![]() Построить итерационный процесс Ньютона для вычисления числа ![]() Построить итерационный процесс Ньютона для вычисления числа ![]() Вопросы и задачи по теме: “Решение систем линейных алгебраическихуравнений прямыми методами”Нормы векторов и матриц. Абсолютная и относительная погрешности вектора. Обусловленность задачи решения системы линейных алгебраических уравнений. Оценка погрешности решения по погрешностям входных данных: ![]() 3. Метод Гаусса (схема единственного деления):описание метода, трудоемкость метода. 4. Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу (схема частичного выбора): описание метода, его вычислительная устойчивость. 5. Применение метода Гаусса для решения других задач вычислительной алгебры. 6. Метод прогонки с трехдиагональной матрицей: описание метода, условия его применимости и его достоинства. Трудоемкость метода прогонки. 8. Матричная форма записи метода метода Гаусса. LU-разложение матрицы. Теорема о возможности применения LU- разложения (без доказательства). Применение метода LU- разложения для решения задач вычислительной алгебры. Стратегии выбора ведущего элемента в методе Гаусса. Метод Гаусса с частичным выбором в матричной форме. Метод Холецкого. Условия применимости метода Холецкого. 14. Вычислить нормы векторов a) ![]() ![]() ![]() 15. Вычислить нормы матриц a) ![]() ![]() ![]() ![]() c) ![]() ![]() Проверить справедливость свойств числа обусловленности: a) ![]() ![]() ![]() ![]() Оценить количество верных значащих цифр в решении системы линейных алгебраических уравнений, если матрица системы ![]() ![]() Вопросы и задачи по теме: “Решение систем линейных алгебраическихуравнений итерационными методами”Метод простой итерации (Якоби) для решения систем линейных алгебраических уравнений. Сходимость, оценки погрешности, критерий окончания итераций. Метод Зейделя для решения систем линейных алгебраических уравнений. Сходимость, оценки погрешности, критерий окончания итераций. Геометрическая иллюстрация. Метод релаксации. Выбор параметра релаксации. 4. Привести систему к виду, удобному для итераций по методу простой итерации и определить число итераций, требуемых для достижения точности ![]() a) ![]() ![]() 5. Дана система уравнений ![]() Привести систему уравнений к виду, удобному для итераций по методу Зейделя. Проверить условие сходимости. 6. Решается система уравнений ![]() по методу Зейделя с начальным приближением ![]() погрешность решения после двух шагов метода Зейделя? Каноническая форма записи расчетных формул итерационных методов. Запись методов Якоби, Зейделя, релаксации в каноническом виде. Достаточное условие сходимости стационарных итерационных методов для систем с положительно определенными матрицами. Рассмотреть систему уравнений ![]() Рассмотреть систему уравнений ![]() Рассмотреть систему уравнений ![]() При каких значениях ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Вопросы и задачи по теме: “Приближение функций”Постановка задач приближения функций. Метод наименьших квадратов. Вывод нормальной системы метода наименьших квадратов. Обусловленность нормальной системы. Выбор оптимальной степени аппроксимирующего многочлена. Полиномиальная интерполяция. Многочлен в форме Лагранжа. Многочлен в форме Ньютона. Погрешность интерполяции. Глобальная интерполяция. Кусочно-полиномиальная интерполяция. Выбор узлов интерполяции. Интерполяция с кратными узлами. Минимизация оценки погрешности интерполяции.. Интерполяция сплайнами. Определение сплайна. Линейный сплайн. Построение кубического сплайна. Виды граничных условий при построении сплайнов. Построение параболического сплайна. Интерполяция функции двух переменных. Вывести нормальную систему метода наименьших квадратов для определения коэффициентов ![]() a) ![]() ![]() Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать на отрезке ![]() ![]() Построить интерполяционный многочлен в форме Лагранжа и в форме Ньютона для функции ![]()
Вычислить ![]() ![]() ![]() Построить кусочно-линейную интерполяцию функции ![]() Функция ![]() ![]() ![]() С каким постоянным шагом h нужно составлять таблицу функции ![]() ![]() ![]() Для таблично заданных функций
построить линейный и параболический сплайны. Литература Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. “Вычислительные методы для инженеров”. М.: Высшая школа, 1994. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. “Численные методы в задачах и упражнениях”. М.: Высшая школа, 2000. Казёнкин К.О. Указания к решению задач по вычислительной математике. Теория погрешностей. Нелинейные уравнения. Системы линейных алгебраических уравнений. М:Издательский дом МЭИ, 2009. Казёнкин К.О. Указания к решению задач по вычислительной математике .Приближение функций. Численное интегрирование. Численное дифференцирование. М:Издательский дом МЭИ, 2012. Амосова О.А., Вестфальский А.Е., Крупин Г.В. Упражнения по основам численных методов. М:Издательство МЭИ, 2016. |