Вопросы к экзамену по математическому анализу
 Скачать 33.5 Kb.
|
|
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Поток Ф7-11, 1 семестр I. Предел числовой последовательности. 1.Понятие числовой последовательности.Определение предела числовой последовательности. Теорема о единственности предела. Определение ограниченной и неограниченной числовой последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. 2.Определение бесконечно малой и бесконечно большой числовой последовательности. Свойства бесконечно малых. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями. 3. Арифметические операции над сходящимися ЧП. 4. Предельный переход в неравенствах. 5. Теорема о пределе монотонной ограниченной ЧП (свойство Вейерштрасса). Число е как предел последовательности. 6. Подпоследовательности числовой последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. II.Предел функции одной переменной, непрерывность. 1.Определение предела функции в точке по Коши и по Гейне. Односторонние пределы и пределы при стремлении аргумента к бесконечности. 2. Свойства пределов функции. 3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства. 4. Асимптоты графика функции. 5. Формула для первого замечательного предела и следствия из нее. 6. Формула для второго замечательного предела и следствия из нее. 7. Сравнение функций. Эквивалентные функции. Замена функций на эквивалентные при вычислении предела. Символы о-малое и О-большое 8. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва. Свойства функций, непрерывных в точке. 9. Свойства функций, непрерывных на отрезке. 10. Непрерывность элементарных функций III.Производная функции одной переменной и ее приложение к исследованию функций. 1.Производная и дифференциал функции. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке. Геометрический и физический смысл производной и дифференциала. Уравнение касательной и нормали к графику функции. 2.Правила дифференцирования. Таблица производных элементарных функций. 3.Производные и дифференциалы высших порядков. n-ая производная суммы и произведения двух функций. Формула Лейбница. 4. Дифференцирование функций, заданных параметрически. 5.Основные теоремы для дифференцируемых функций (теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши). 6. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. 7. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Пеано. Единственность разложения Тейлора. 8. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора в окрестности точки хо = 0 (по формуле Маклорена). Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора. 9. Критерии постоянства и монотонности функции на интервале. 10. Локальные экстремумы функции. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия экстремума. 11. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции. Их признаки. 12.Общая схема исследования функции и построения графика. IV. Дифференциальное исчисление функций многих переменных1.Понятие функции многих переменных. Предел и непрерывность функции многих переменных. Свойства функций, непрерывных на ограниченном замкнутом множестве. 2.Частные производные. Дифференцируемость функции многих переменных. Дифференциал. Необходимое условие дифференцируемости функции в точке; связь между дифференцируемостью функции в точке и непрерывностью; достаточные условия дифференцируемости функции в точке. 3.Дифференцирование сложных функций. 4.Касательная плоскость и нормаль к графику функции двух переменных. Геометрический смысл дифференциала. 5.Производная по направлению и градиент. 6.Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о смешанных производных. Формула Тейлора для функции многих переменных. 7. Неявные функции и их дифференцирование. 8.Экстремумы функции многих переменных. Необходимое условие локального экстремума; достаточные условия локального экстремума. 9.Условный экстремум. Общая постановка задачи отыскания условного экстремума функции двух и трех переменных. Решение задачи методом исключения части переменных и методом множителей Лагранжа. 10.Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции многих переменных в ограниченной замкнутой области. V. Неопределенный интеграл. 1.Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. 2.Таблица основных неопределенных интегралов. 3.Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле. 4.Интегрирование дробно-рациональных функций. 5.Интегрирование некоторых функций, сводящихся к рациональным (некоторые иррациональности, тригонометрические и гиперболические функции). ЛИТЕРАТУРА
|