Непрерывность функции Непрерывность функции в точке
 Скачать 0.52 Mb.
|
Непрерывность функцииНепрерывность функции в точкеФункция f (x), определенная в некоторой окрестности точки a, называется непрерывной в этой точке, если предел функции в точке а равен значению функции в точке а у х О а А Точка разрыва функцииПусть функция определена в некоторой окрестности точки a, быть может, за исключением самой точки a. Точка a называется точкой разрыва, если эта функция либо не определена в точке a, либо определена, но не является непрерывной в точке a. у х О а А х О а у А у х О а Таким образом, можно сказать, что функция непрерывна в точке а, если выполнены 3 условия:Функция определена в точке а и в некоторой её окрестности; Функция имеет предел при x → а; Этот предел равен значению функции в точке а. Объясните почему функции изображённые на рисунке не являются непрерывными y x o 1 y x o 1 y x o 1 Непрерывность функции на отрезкеФункцию f (x) называют непрерывной на отрезке [a; b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a; b) и, кроме того, непрерывна справа в точке a и слева в точке b. Теорема Вейерштрасса.Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b], то она ограничена на этом отрезке и достигает своего наибольшего и наименьшего значения. у х О А а в В Теорема Коши.Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на его концах значения разных знаков, то на отрезке [a; b] имеется хотя бы один нуль функции f. При этом, если функция строго монотонна на этом отрезке, то она принимает значение 0 лишь один раз. у х О А а в В Теорема о промежуточных значениях.Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и f (a) ≠ f (b), то для каждого значения y, заключенного между f (a) и f (b), найдется точка (и возможно, не одна) такая, что f (x) = y. у х О А а в В у у х О 1 -1 Функция непрерывна на (-∞;+∞). у х О 1 -1 Функция не является непрерывной на (-∞;+∞). Разрыв в точке х=1 у х О 1 -2 2 Функция непрерывна в точке х=-2 Функция не является непрерывной на (-∞;+∞). Разрыв в точке х=2 у х О 1 -2 2 Функция непрерывна в точке х=-2 Функция не является непрерывной на (-∞;+∞). Разрыв в точке х=2, так как функция в точке х=2 не определена. |