Вопросы к экзамену по вта. 1
 Скачать 110.65 Kb.
|
|
Вопросы к экзамену по ВТА. 1 Лектор А. Б. Костин, 2022 год. 1. Измеримые по Жордану множества. Критерий измеримости ограниченного множества в R n . Теорема о квадрируемости криволинейной трапеции. 2. Кратный интеграл Римана. Необходимое условие интегрируемости функции. 3. Суммы Дарбу и их простейшие свойства (б/д). Критерий Дарбу интегрируемости функ- ции (б/д). Интегрируемость непрерывной функции. 4. Интегрируемость ограниченной на множестве D ? R n функции, если она непрерывна всюду на D \ E, где µ(E) = 0. 5. Сведение двойного интеграла к повторному в случае прямоугольника. 6. Сведение двойного интеграла к повторному в случае стандартного множества. Пример. 7. Криволинейные координаты в пространстве. Коэффициенты Ламэ, якобиан, ортогональ- ные криволинейные системы координат. Примеры (полярные, сферические и цилиндри- ческие координаты). 8. Теорема о замене переменных в кратном интеграле (б/д). Формулы замены для поляр- ных, сферических и цилиндрических координат. 9. Несобственные кратные интегралы. 10. Криволинейные интегралы первого рода. Сведение к определјнному интегралу, свой- ства. 11. Криволинейные интегралы второго рода. Сведение к определјнному интегралу, свой- ства. 12. Формула Грина. 13. Критерий независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования на плоско- сти. 14. Площадь поверхности и еј вычисление. 15. Поверхностные интегралы первого рода, их вычисление. 16. Поверхностные интегралы второго рода, их вычисление. 17. Формула Остроградского Гаусса. 18. Теорема Стокса. 19. Производная по направлению и градиент скалярного поля. Свойства градиента. 20. Потенциальное векторное поле. Критерии потенциальности векторного поля в односвяз- ной области ? ? R 3 21. Поток векторного поля через поверхность, инвариантное определение дивергенции век- торного поля. 22. Циркуляция векторного поля, инвариантное определение ротора векторного поля. 23. Оператор Гамильтона, его применение для вычисления основных дифференциальных операций векторного анализа. 24. Собственный интеграл, зависящий от параметра, его непрерывность и интегрируемость по параметру. 25. Собственный интеграл, зависящий от параметра, его дифференцируемость по парамет- ру. 26. Несобственные интегралы первого и второго рода, зависящие от параметра. Критерий Коши равномерной сходимости несобственного интеграла. 1 В билете устного экзамена будет два вопроса. На экзамене студент берјт билет и готовит письменный ответ. На подготовку отводится один астрономический час. После этого следует устная беседа с экзаменатором по вопросам билета и другим вопросам курса. В ходе этой беседы студенту могут быть предложены также и задачи. По итогам ставятся баллы за экзамен, которые в сумме с баллами за разделы определяют оценку. 1 27. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственного интеграла. 28. Непрерывность по параметру несобственного интеграла. 29. Интегрируемость по отрезку несобственного интеграла. 30. Дифференцируемость по параметру несобственного интеграла. 31. Признак Абеля Дирихле (б/д). Интеграл Дирихле. Формула Фруллани. 32. Эйлеровы интегралы первого и второго рода. Их область определения, непрерывность, дифференцируемость и простейшие свойства. 33. Линейные нормированные и евклидовы пространства (ЕП), их полнота. Непрерывность и счјтная аддитивность скалярного произведения. Неравенство Коши Буняковского. 34. Ряды Фурье по ортонормированной системе (ОНС) элементов в ЕП. Минимальное свой- ство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя. 35. Критерий полноты и базисности ОНС в ЕП. 36. Основная тригонометрическая система, еј ортогональность. Ряд Фурье интегрируемой функции по основной тригонометрической системе в QL 2 [?`, `] . Лемма Римана. 37. Кусочно-гладкие функции. Теорема о поточечной сходимости ряда Фурье. 38. Достаточные условия равномерной сходимости ряда Фурье. 39. Суммы Фейера и ядро Фейера, свойства ядра Фейера. 40. Теорема Фейера о равномерной сходимости. Теорема Вейерштрасса о полноте основной тригонометрической системы в C 0 [??, ?] 41. Полнота и базисность основной тригонометрической системы в QL 2 [??, ?] . Равенство Парсеваля Стеклова. 42. Чјтное и нечјтное продолжение функции. Доказательство того, что тригонометрические системы {cos kx | k = 0, 1, 2, . . . } и {sin kx | k = 1, 2, . . . } являются ортогональными базисами в QL 2 [0, ?] 2 |