вопросы. Вопросы к экзамену Векторная алгебра и аналитическая геометрия
![]()
|
Вопросы к экзамену «Векторная алгебра и аналитическая геометрия» ВопросыВекторная алгебра. Вектор, равенство векторов. Сумма векторов, произведение вектора на скаляр. Проекция вектора на ось, свойства проекции. Линейная зависимость векторов. Базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, их свойства, применение и вычисление. Аналитическая геометрия. Уравнение прямой на плоскости и в пространстве. Плоскость в пространстве. Расстояние от точки до прямой на плоскости и расстояние от точки до плоскости в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Угловые соотношения между ними. Кривые второго порядка в декартовой и полярной системах координат . Поверхности 2-го порядка. Метод сечений. Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Формула Муавра, извлечение корня n-ой степени. Многочлены. Неприводимость многочленов над различными числовыми полями. «Основная теорема алгебры», теорема Безу. Матрицы. Определение и частные виды матриц. Операции над матрицами. Свойства умножения матриц. Понятие определителя матрицы n-го порядка. Теоремы аннулирования и разложения по любой строке. Минор, алгебраическое дополнение. Формулы Крамера для систем линейных уравнений. Обратная матрица. Критерий существования обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы с помощью присоединенной. Применение обратной матрицы к решению матричных уравнений. Метод Гаусса. Определение линейного пространства, примеры. Подпространства, критерий подпространства. Базис и размерность. Линейная зависимость арифметических векторов. Ранг матрицы. Инвариантность ранга матрицы относительно элементарных преобразований. Определение СЛУ, совместность, однородность. Общее решение СЛУ. Теорема Кронекера-Капелли. Однородные СЛУ. Теоремы о линейных комбинациях решений ОСЛУ, о пространстве решений ОСЛУ. Фундаментальная система решений ОСЛУ. Теорема об общем решении неоднородной СЛУ. Типовые задачи1. Даны две смежные вершины квадрата A(1, -2) и B(2, 3). Вычислить его площадь. 2. Даны три вершины A(4, 6), В(10, -10), С(-2, –2) параллелограмма АВСD, четвертая вершина D противоположна В. Определить длину диагоналей этого параллелограмма. 3. Найти координаты точки М1, симметричной точке М2(-2, 5) относительно прямой, проходящей через точки A(6, 6), В(3, 4). 4. Даны вершины треугольника A(1, 4), В(-2, 2), С(2, 5). Составить уравнение его высот. 5. Отрезок, ограниченный точками A(-1, 5) и B(5, 8), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления. 6. Даны две вершины A(–8, 5) и B(0, 1) треугольника АВС и точка N(-1, 5) пересечения его высот. Составить уравнения сторон этого треугольника. 7. Точка A(–2, 2) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой ![]() 8. Составить уравнения сторон треугольника АВС, если даны одна из вершин А(2, 0) и уравнения двух медиан ![]() ![]() 9. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями и построить эти линии. а) ![]() ![]() ![]() ![]() д) ![]() ![]() 10. Установить, какая линия определяется уравнением ![]() 11. Составить уравнение гиперболы и найти координаты ее центра и полуоси, если левая вершина гиперболы находится в правом фокусе эллипса: ![]() ![]() ![]() 12. Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние от точки А(-1, 2) вдвое меньше расстояния от прямой ![]() 13. Линия задана уравнением ![]() Требуется: а) построить линию по точкам, начиная от ![]() ![]() ![]() ![]() б) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; в) по полученному уравнению определить, какая это линия. 14. Вычислить определители: а) по правилу треугольника; б) разложением по элементам первой строки; в) разложением по элементам второго столбца; г) сведением к треугольному виду: а) ![]() ![]() ![]() ![]() 15. Даны векторы: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 16. Найти координаты единичного вектора (орта) ![]() ![]() 17. Два вектора ![]() ![]() а) ортов ![]() ![]() ![]() ![]() б) вектора ![]() в) вектора ![]() ![]() ![]() ![]() 18. Найти проекцию вектора ![]() ![]() 19. Найти проекцию вектора ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 21. Векторы ![]() ![]() ![]() 22. Вычислить координаты векторного произведения ![]() ![]() ![]() ![]() 23. Даны вершины треугольника АВС: А(1, 6, -1), В(4, 4, 5) и С(-2, 1, 7). Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершины А. 24. Вектор ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 25. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 26. Вычислить смешанное произведение векторов ![]() ![]() ![]() 27. Заданы векторы: ![]() ![]() ![]() ![]() 28. Вычислить объем пирамиды, вершины которой А(1, 3, 0), В(-1, 6, -6), С(-1, 3, 0), D(1, 6, 2). 39. Вектор ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 30. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0(2, -1, 7), параллельную плоскости ![]() 31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0(5, -3, 0) и прямую ![]() 32. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую ![]() ![]() 33. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0(-1, 2, -4) перпендикулярно плоскостям ![]() ![]() 34. Найти расстояние от точки М0(-4, 5, 4) до плоскости ![]() 35. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М0(3, 4, -5), параллельно прямой ![]() ![]() ![]() 36. Найти координаты точки пересечения прямой ![]() ![]() 37. Найти проекцию точки ![]() ![]() ![]() ![]() 38. Найти координаты точки Q, симметричной точке ![]() ![]() 39. Найти координаты точки Q, симметричной точке ![]() ![]() 40. Вычислить растояние от точки ![]() ![]() 41. Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями: а) ![]() ![]() ![]() б) ![]() ![]() ![]() 42. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса ![]() 43. Найти матрицу ![]() ![]() ![]() ![]() 44. Найти ранг матрицы: а) ![]() ![]() 45. Дана система линейных уравнений ![]() Доказать ее совместность и решить тремя способами: а) методом Гаусса; б) средствами матричного исчисления; в) по формулам Крамера. 46. Является ли вещественным линейным пространством множество всех вещественных матриц второго порядка вида ![]() ![]() 47. Выяснить, является ли данная система векторов из ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |