Вопросы по курсу «Дифференциальные уравнения». 3-й семестр. (2017-2018)
Понятия обыкновенного дифференциального уравнения, его порядка, его частного и общего решения, его частного и общего интеграла. Задача Коши для ОДУ 1-го порядка. ТСЕ (теорема существования и единственности) её решения*.
Уравнение с разделяющимися переменными. ТСЕ решения задачи Коши для него. Пример.
Однородное уравнение. ТСЕ решения задачи Коши для него. Пример.
Линейное уравнение. ТСЕ решения задачи Коши для него. Пример. Уравнение Бернулли.
Уравнение в полных дифференциалах. Критерий уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
ОДУ 1-ого порядка, неразрешённые относительно производной. Метод введения параметра.
Уравнения Лагранжа и Клеро. Понятие особого решения, методы его нахождения. Пример.
ОДУ порядка выше первого. Понятия частного и общего решения. Задача Коши для уравнения n-ого порядка, разрешённого относительно старшей производной.
Методы понижения порядка для уравнений порядка выше первого. 3 случая.
Линейные ОДУ п-ого порядка с переменными коэффициентами. Линейный дифференциальный оператор п-ого порядка. ТСЕ задачи Коши.
Однородные линейные ОДУ п-ого порядка. Теоремы о тривиальном решении и линейной комбинации решений.
Определение линейной зависимости (независимости) системы функций на интервале. Лемма о линейно зависимых функциях. Вронскиан системы произвольных функций. Необходимое условие равенства вронскиана нулю.
Вронскиан системы решений однородного линейного ОДУ п-ого порядка, его свойства.
Теорема о нахождении линейного уравнения с переменными коэффициентами по его заданным решениям.
Формула Остороградского-Лиувилля. Нахождение решение линейного уравнения 2 порядка с помощью формулы Остороградского-Лиувилля при одном известном решении.
ФСР однородного линейного ОДУ п-ого порядка. Терема о существовании ФСР и виде общего решения (существование – с доказательством).
Теорема о структуре общего решения неоднородного линейного ОДУ п-ого порядка. Метод вариации постоянных.
Однородные ОДУ п-ого порядка с постоянными коэффициентами. Построение фундаментальной системы решений однородного линейного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Примеры.
Неоднородные ОДУ п-ого порядка с постоянными коэффициентами. Метод вариации постоянных. Примеры.
Неоднородные ОДУ п-ого порядка с постоянными коэффициентами. Случай квазиполинома в правой части коэффициентами (без обоснования). Уравнение Эйлера.
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Понятия нормальной системы, порядка системы, частного и общего решения. Задача Коши. ТСЕ решения задачи Коши.
Нормальная система линейных дифференциальных уравнений, операторная форма записи ТСЕ решения задачи Коши нормальной линейной системы ОДУ.
Однородные системы линейных ОДУ. Свойства решений однородной линейной системы. Теорема о линейной комбинации решений.
Линейная зависимость (независимость) системы вектор-функций на интервале. Вронскиан системы функций, его свойства.
Существование ФСР однородной системы линейных уравнений. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных уравнений.
Структура общего решения неоднородной системы линейных ОДУ. Метод вариации произвольных постоянных.
ФСР однородной линейной системы с постоянными коэффициентами в случае, когда корни характеристического уравнения действительны и различны.
Часть ФСР однородной линейной системы с постоянными коэффициентами, соответствующая комплексно-сопряжённой паре корней кратности 1 характеристического уравнения.
Неоднородные линейные системы ОДУ п-ого порядка с постоянными коэффициентами. Случай квазиполинома в правой части.
Локальная теорема существования и единственности (ТСЕ) решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка. Определение нормы С0 для пространства функций. Эквивалентность задачи Коши и интегрального уравнения.
Локальная теорема существования и единственности (ТСЕ) решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка. Основные этапы доказательства. Доказательство существования решения.
Локальная теорема существования и единственности (ТСЕ) решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка. Основные этапы доказательства. Доказательство единственности решения.
Понятие функционала. Определение нормы для произвольного линейного пространства. Нормы С0 и С1 пространства функций. Непрерывность функционала. Понятие линейного функционала. Вариация функционала. Примеры функционалов. Необходимое условие экстремума функционала. Основная лемма вариационного исчисления.
Задача нахождения экстремума для простейшего функционала с закрепленными концами. Основная лемма вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.
Уравнение Эйлера. Задача о брахистохроне.
Уравнение Эйлера. Задача о наименьшей поверхности вращения.
Задача нахождения экстремума для функционала с высшими производными. Уравнение Эйлера-Пуассона
Задача нахождения экстремума для функционала, зависящего от нескольких функций и их первых производных (с закрепленными концами).
Задача нахождения экстремума для функционала функции нескольких независимых переменных. Уравнение Остроградского. Пример получения уравнения для задачи наименьшей площади поверхности.
Задача нахождения экстремума для простейшего функционала с подвижными границами. Условие трансверсальности.
Достаточные условия экстремума простейшего функционала с закрепленными концами.
|
Скачать 42 Kb.