Вопросы по теории линейных пространств. Вопросы по теории линейных операторов к Домашней работе 3

• Название: Вопросы по теории линейных операторов к Домашней работе 3
• Анкор: Вопросы по теории линейных пространств
• Дата: 08.05.2021
• Размер: 128.32 Kb.
• Имя файла: Voprosy_po_teorii_lineynykh_operatorov_k_Domashney_rabote_3.doc
• Тип: Документы; #202731

Вопросы по теории линейных операторов к Домашней работе 3.

1. 
   Дать определение инвариантного подпространства линейного оператора. Описать инвариантные подпространства оператора проектирования на координатную плоскость в пространстве R³.
   

• 
  Линейное подпространство L  V называется инвариантнымподпространством оператора , если из x  L следует , что (x)  L.
  

• 
  V = R³,  – оператор ортогонального проектирование на плоскость OXY. Опишем инвариантные подпространства этого оператора. Это- всё пространство R³ ,нулевое подпространство {0} , плоскость OXY, прямые, лежащие в плоскости OXY и проходящие через начало координат, ось OZ, плоскости, проходящие через осьOZ.
  

2. 
   Дать определения собственного вектора и собственного значения линейного опера­тора. Привести пример оператора, у которого нет собственных векторов и оператора, у которого любой ненулевой вектор – собственный.
   

• 
  Ненулевой вектор x называется собственным вектором оператора , если (x) = λx. Число λ из рассматриваемого поля называется собственным значением оператора , соответствующим собственному вектору x.
  

• 
  Пример оператора, у которого нет собственных векторов и оператора, у которого любой ненулевой вектор – собственный.
  

3. 
   Дать определение собственных подпространств линейного оператора. Описать собственные подпространства оператора симметрии относительно координатной плоскости в R³.
   

• 
  Множество всех собственных векторов оператора , соответствующих одному собственному значению λ, если присоединить к нему нулевой вектор 0, является линейным подпространством, которое называется собственным подпространством оператора  и обозначается V_λ.
  

• 
  Описать собственные подпространства оператора симметрии относительно координатной плоскости в R³.
  

4. 
   Доказать, что собственные векторы линейного оператора, соответствующие различ­ным собственным значениям, линейно независимы.
   

Доказательство. ( Методом математической индукции).
Пусть k − число собственных векторов в системе. При k = 1 собственный вектор один x₁  0. Следовательно, x₁ − линейно независимая система из одного вектора. Пусть для системы из k векторов утверждение теоремы верно. Выведем из этого предположения, что теорема верна для системы из k + 1 собственного вектора. Пусть даны собственные векторы x₁, x₂, …, x_k, x_k+1 с различными собственными значениями λ₁, λ₂, …, λ_k, λ_k+1 и пусть выполняется соотношение

₁x₁ + ₂x₂ + … + _kx_k + _k+1x_k+1 = 0. (1)

Для проверки линейной независимости системы требуется доказать, что все _i = 0. Из (1) следует, что (₁x₁ + ₂x₂ + … + _kx_k + _k+1x_k+1) =( 0)=0. Из линейности оператора  получаем ₁(x₁) + ₂(x₂) + … + _k(x_k) + _k+1(x_k+1) = 0;

₁λ₁x₁ + ₂λ₂x₂ + … + _kλ_kx_k + _k+1λ_k+1x_k+1 = 0. (2)

Умножим обе части равенства (1) на λ_k+1:

₁λ_k+1x₁ + ₂λ_k+1x₂ + … + _kλ_k+1x_k + _k+1λ_k+1x_k+1 = 0. (3)

Вычитаем из равенства (3) равенство (2):

₁(λ_k+1 − λ₁)x₁ + ₂(λ_k+1 − λ₂)x₂ + … + _k(λ_k+1 − λ_k)x_k = 0.

Так как x₁, x₂, …, x_k − система kсобственных векторов с различными собственными значениями λ₁, λ₂, …, λ_k, то по предположению индукции все коэффициенты в последнем равенстве равны нулю, т.е. при i = 1, 2, …, k выполняются соотношения _i(λ_k+1 − λ_i) = 0, но тогда _i= 0, ибо λ_k+1  λ_i.

Подставив эти _i= 0 в равенство (1), получаем _k+1x_k+1 = 0. Так как x_k+1 − собственный вектор и, следовательно, ненулевой, то _k+1 = 0. Теорема доказана.

5.Дать определения характеристического многочлена матрицы, спектра матрицы. Найти характеристический многочлен и спектр матрицы оператора поворота на угол α в пространстве R².

• 
  Многочлен P (λ)= det (A_ − λE) называется характеристическим многочленом матрицы A_.
  

Доп инфа

Так как собственные векторы существуют только для тех λ, для которых det (A_ − λE) = 0, то собственные значения линейного оператора являются теми корнями уравнения P (λ) = 0, называемого характеристическим уравнением матрицы A_, которые принадлежат полю P (R или C). Пусть λ₁, λ₂, …, λ_s − все корни характеристического уравнения (в случае поля R мы рассматриваем и комплексные корни!), k₁, k₂, …, k_s − их кратности.

• 
  Множество S = { , , …, } называется спектром матрицы A_.
  

Доп инфа

Спектр матрицы A_ − спектр ее характеристического многочлена, то есть множество корней характеристического уравнения с указанием их кратностей. Заметим, что k₁ + k₂ + … + k_s = n.

• 
  − оператор поворота на угол  в R²,   kπ;
  

A_ = − матрица  в базисе i, j;

Характеристический многочлен матрицы P (λ) = det = (cos − λ)² + sin² = cos² − 2λcos + λ² + sin² = λ² − 2λcos + 1. Характеристическое уравнение λ² − 2λcos + 1=0 – квадратное его дискриминант D = 4cos² − 4 = 4(cos² − 1) < 0. Следовательно у характеристического уравнения вещественных корней нет, а, следовательно, нет и собственных векторов. Найдем спектр матрицы поворота A_ .Корни характеристического уравнения- комплексно сопряженные числа λ₁ = cos+isinα , λ₂ = cos-isinα .S = {e^iα[1], e^-iα[1]} − спектр матрицы A_.
Доп инфа

Отсутствие собственных векторов у оператора поворота вытекает также и из геометрического смысла собственного вектора. Вектор x собственный, если его образ (x) ему коллинеарен. При повороте на угол   kπ (x) не коллинеарен x, если x  0.

6. Дока­зать, что вещественные корни характеристического многочлена матрицы линейного оператора, действующего в линейном пространстве над полем R ( и только они) являются собственными значениями этого оператора.

7. Дока­зать, что все корни характеристического многочлена матрицы линейного оператора, действующего в линейном пространстве над полем С ( и только они) являются собственными значениями этого оператора.

8.Изложить метод (алгоритм) нахождения собственных векторов линейного оператора.

1. Составляем матрицу A– λE

2. Вычисляем ее определитель

Пример:

= (2 − λ)(λ² − 3λ + 2) = −(λ − 2)²(λ − 1). (Мы разложили определитель по третьему столбцу.)

У нас два собственных значения, одно из которых двукратно, и спектр таков: S = {1^[1], 2^[2]}.

3. Для каждого собственного значения ищем соответствующие собственные векторы

Пример (не относится к предыдущему):

Для λ₁ = −1 вычисляем матрицу A ─ λ₁E = A + E = .Для нахождения собственных векторов мы должны решить однородную систему линейных уравнений с найденной матрицей. Для этого приводим матрицу к главному ступенчатому виду:

 . Такой матрице соответствует система из одного уравнения: x₁ + 2x₂ ─ 2x₃ = 0. Неизвестные x₂ и x₃ являются свободными, следовательно, подпространство решений двумерно.

Окончательно множество всех собственных векторов х= с собственным значением −1 можно описать в виде следующей формулы:

х= =α + β , α² + β² ≠ 0, а собственное подпространство V_-1- линейная оболочка векторов ,

9.Доказать, что матрица оператора в базисе из собственных векторов диагональная.

10. Дать определение матрицы перехода из одного базиса в другой. Привести пример. Записать формулы преобразования координат вектора при переходе от одного базиса к другому

• 
  Матрица P = , в столбцах которой стоят координаты векторов второго базиса в первом базисе называется матрицей перехода от базиса e₁, …,e_n к базису f₁, …,f_n.
  

Доп инфа

Столбцы матрицы P − векторы f₁, …,f_n, которые являются линейно независимыми, т.к. образуют базис. Следовательно, rk P= n, det P 0 и существует обратная матрица P⁻¹.

• 
  Пример:
  

Пусть собственные векторы это , , .

Матрица перехода к такому базису:

T= .

• 
  Рассмотрим произвольный вектор x пространства V и разложим его по базисам e₁, …,e_n и f₁, …,f_n:
  

x = x_ie_i =

Если P = ( ) − матрица перехода от первого базиса ко второму, то

f_i = e_k;

x = x_ke_k = e_k = e_k =

= e_k = ( )e_k.

Так как координаты вектора в данном базисе определены однозначно, то

x₁ = + + … + ;

x₂ = + + … + ;

…

x_n = + + … + .

В матричном виде эти соотношения записываются как

= P ; (4)

= P⁻¹ . (5)

Формулы (4) и (5) называются формулами преобразования координат векторапри переходе от одного базиса к другому.

11.Дать определение подобных матриц. Доказать, что матрицы одного оператора в разных базисах подобны.

• 
  Две матрицы A и B называются подобными (A

B), если существует невырожденная матрица P такая, что B = P⁻¹AP.

Это определение задает отношение на множестве квадратных матриц порядка n.

• 
  Матрица A_ этого оператора в стандартном базисе совпадает с матрицей A. (См. §2.) Рассмотрим столбцы матрицы P. Это n векторов, записанных в координатном виде в стандартном базисе, причем эти n векторов линейно независимы, так как существует P⁻¹. Рассмотрим новый базис p₁, p₂, …, p_n, составленный из столбцов матрицы P. Матрица перехода от стандартного базиса к базису p₁, p₂, …, p_n совпадает с матрицей P, и, следовательно, по формуле (6) = = P⁻¹A_P = P⁻¹AP = B, то есть подобные матрицы суть матрицы одного оператора в различных базисах. Итак, имеется взаимно однозначное соответствие между линейными операторами, действующими в пространстве V (dim V = n), и классами подобных матриц порядка n. Можно сказать, что множество всех линейных операторов является фактор множеством множества матриц порядка n по отношению подобия.
  

Определим некоторые инварианты подобных матриц.

12. Доказать, что характеристические многочлены и ранги подобных матриц равны.

Характеристические многочлены подобных матриц равны.

Доказательство. Обозначим характеристические многочлены: P_A(λ) = det (A − λE), P_B(λ) = det (B − λE); нам дано, что A B, т.е. B = C⁻¹AC. Имеем: P_B(λ) = det (B − λE) = det (C⁻¹AC − C⁻¹(λE)C) = det (C⁻¹(A − λE)C) = det C⁻¹det (A − λE)det C = det (A − λE) = P_A(λ).

Таким образом коэффициенты характеристического многочлена являются инвариантами .

Следствие. Спектры подобных матриц совпадают.

Из этой теоремы следует, что можно ввести понятия характеристического многочлена P_φ (λ) оператора  , спектра S_φ оператора , вычисляя их по матрице A_, взятой в произвольном базисе пространства V.

Важной геометрической характеристикой линейного оператора является размерность пространства Im . Если A_ - матрица оператора в некотором базисе, то dim Im  =rk A_ и , следовательно, ранги подобных матриц совпадают.

13. Дать определение диагонализируемого оператора. Доказать, что оператор диагонализируем, если его характеристический многочлен P (λ) имеет n различных корней в поле P.

Определение. Оператор  называется диагонализируемым, если существует базис, в котором его матрица диагональна.

Если A_ − матрица такого оператора в произвольном базисе, то она подобна матрице D = , A_  D.

Как же по матрице A_ узнать, диагонализируем ли оператор ? Мы уже знаем, что в некоторых случаях, а именно, если спектр оператора S_φ = { , , …, },и все корни характеристического уравнения лежат в рассматриваемом поле, то оператор диагонализируем.

Если оператор диагонализируем, а характеристические многочлены подобных матриц равны ( теорема 4), то

P_φ (λ) = P_D(λ) = det = (−1)ⁿ(λ − λ₁)…( λ − λ_n). (7)

Мы видим, что характеристический многочлен диагонализируемого оператора разлагается на линейные множители в рассматриваемом поле,

причем в последнем выражении возможно повторение сомножителей. Для поля C это условие, как известно, выполняется всегда. Для поля R оно означает, что все корни характеристического многочлена являются действительными числами, причем равными тем самым λ_i, которые стоят на диагонали матрицы D. Заметим, однако, что условие принадлежности всех корней характеристического уравнения рассматриваемому полю еще не является достаточным для диагонализируемости оператора. Рассмотрим, например, матрицу порядка n:

J_n () = , (8)

называемую жордановой клеткой, и оператор  умножения на эту матрицу в пространстве Rⁿ. Характеристический многочлен

P_ () = = (  )ⁿ,

имеет один корень  кратности n, и, следовательно, спектр оператора  имеет вид S_ = {^[n]}. Если бы матрица J_n () была подобна диагональной матрице D, то ее вид должен был бы быть:

D = ,

так как спектры подобных матриц совпадают, и, следовательно, оператор  был бы гомотетией с коэффициентом , что неверно, так как умножение на матрицу J_n () переводит вектор x = в вектор

y = J_n () =   .

14.Сформулировать ( доказать) теорему о диагонализируемом операторе. Привести пример .

Теорема 5. Оператор  диагонализируем тогда и только тогда, когда выполняются два условия.

1. Характеристический многочлен разлагается на линейные множители в рассматриваемом поле.

2. Размерность каждого собственного подпространства равна кратности соответствующего корня характеристического многочлена.

Доказательство.

Необходимость. Пусть оператор - диагонализируем, и пусть e₁, …,e_n – базис, в котором A_ = D, тогда этот базис состоит из собственных векторов оператора . Действительно, пусть e₁, …,e_n – базис, в котором A_ = D; тогда векторы можно записать в координатном виде : e_i = (1 на i-м месте) и найти их образы φ(e_i) = = = λ_i e_i.

Таким образом, числа, стоящие на диагонали матрицы D- собственные значения оператора . Формулу (7) можно записать в виде: , P_φ (λ)=

(−1)ⁿ(λ − λ₁)^к1…( λ – λ_s)^ks, где λ₁...λ_s- различные числа, стоящие на диагонали матрицы D. Они являются корнями характеристического многочлена, а k₁,…k_s-кратности соответствующих корней. Найдем размерности собственных подпространств V_λi . Собственное подпространство V_λi -подпространство решений однородной системы с матрицей A_-λ_iE, следовательно размерность подпространства dim V_λi = n-rk( A_-λ_iE). В случае A_ = D, матрица D- λ_iE – диагональная, причем на месте λ_i на диагонале стоят 0, а остальные диагональные элементы имеют вид λ_j - λ_i и отличны от нуля. Ранг такой матрицы равен числу отличных от нуля элементов на диагонали( проверьте) и равен n-k_i.Следовательно dim V_λi = k_i.

Достаточность. Пусть характеристический многочлен оператора разлагается на линейные множители в рассматриваемом поле, P_φ (λ)=

(−1)ⁿ(λ − λ₁)^к1…( λ – λ_s)^ks, где λ₁...λ_s- различные корни характеристического многочлена, а k₁,…k_s-кратности соответствующих корней, причем k₁+…+k_s =n. Если размерности собственных подпространств V_λi = k_i, то внутри каждого собственного подпространства можно найти k_i линейно независимых собственных векторов e₁ⁱ, …,e_kiⁱ соответствующих собственному значению λ_i . Соберем эти векторы в систему e₁¹, …,e_k1¹ ,…, e₁^s, …,e_ks^s . В системе k₁+…+k_s =n векторов. Докажем линейную независимость этой системы, для чего рассмотрим линейную комбинацию этих векторов и приравняем ее к 0.

α₁¹ e₁¹+ …+ α_к1¹e_k1¹ +…+ α₁^s e₁^s+ …+ α_ks^se_ks^s =0. Сгруппируем векторы следующим образом: (α₁¹ e₁¹+ …+ α_к1¹e_k1¹ ) +…+( α₁^s e₁^s+ …+ α_ks^se_ks^s )=0. В каждой скобке находиться вектор из собственного подпространства, следовательно ,это либо собственный вектор оператора , либо вектор 0, добавленный к собственным векторам. Но вектор в скобке не может быть ненулевым, ибо в противном случае мы получим нетривиальную линейную комбинацию собственных векторов оператора , отвечающих различным собственным значениям равную 0. Но это невозможно, так как согласно теореме 2, такие векторы линейно независимы. Итак, в каждой скобке должен быть нулевой вектор. Но линейная комбинация базисных векторов равно 0 только, если все коэффициенты α_i^j равны нулю. Из этого следует, что система e₁¹, …,e_k1¹ ,…, e₁^s, …,e_ks^s линейно независима и образует базис линейного пространства. Этот базис состоит из собственных векторов, матрица оператора в котором – диагональная.

Пример. Рассмотрим снова оператор  умножения на жорданову клетку (8) и найдем собственные векторы этого оператора . Единственное собственное значение оператора  − число . Собственное подпространство находим из решения системы (3) §8. В рассматриваемом случае система принимает вид: , в которой x₁ − свободное неизвестное. Пространство V_ = , dim V_ = 1, и собственных векторов не хватает, чтобы составить из них базис пространства Rⁿ. Второе условие теоремы о диагонализируемости оператора не выполняется, т. к. кратность корня  равна n, а dim V_ = 1 (мы предполагаем, что n > 1).

Рассмотрим конкретные примеры на применение изложенных методов.

1. 
   Дана матрица A = , и известно, что она в стандартном
   

базисе является матрицею некоторого линейного оператора , действующего в пространстве R³: A = A_. Найдем собственные числа и собственные векторы оператора .

Составляем матрицу A– λE= и вычисляем ее определитель, то есть характеристический многочлен оператора , разложением по третьему столбцу ( можно вычислять любым удобным способом)

= 2 − 2 + (1 − λ) = 2(2 − 3 − λ) − 2(4 + 2λ − 2) + (1 − λ)(6 + 5λ + λ² − 2) = 2(−1 − λ) − 2(2λ + 2) + (1 − λ)(λ² + 5λ + 4) = −2 − − 2λ − 4λ − 4 + λ² + 5λ + 4 − λ³ − 5λ² − 4λ = −λ³ − 4λ² − 5λ − 2.

Собственные числа нашего оператора суть вещественные корни этого многочлена. Решим характеристическое уравнение −λ³ − 4λ² − 5λ − 2 = 0.

В надежде отыскать целый корень этого уравнения испытаем делители свободного члена. Немедленно обнаруживаем, что, например, число −1 является корнем. Для нахождения остальных корней воспользуемся теоремой Безу и разделим наш многочлен на λ + 1, получаем в частном многочлен − λ² − 3λ − 2, а это уже квадратный трехчлен, корни которого: −1 и −2. Имеем разложение: − λ² − 3λ − 2 = −(λ + 1)(λ + 2), а характеристический многочлен разлагается на линейные множители P_A(λ) = −λ³ − 4λ² − 5λ − 2 = −(λ + 1)²(λ + 2).

Таким образом, у нас два собственных значения, одно из которых двукратно, и спектр таков: S = {(−1)^[2], (−2)^[1]}. Теперь для каждого собственного значения надо найти соответствующие собственные векторы. Для λ₁ = −1 вычисляем матрицу A ─ λ₁E = A + E = .Для нахождения собственных векторов мы должны решить однородную систему линейных уравнений с найденной матрицей. Для этого приводим матрицу к главному ступенчатому виду:

 . Такой матрице соответствует система из одного уравнения: x₁ + 2x₂ ─ 2x₃ = 0. Неизвестные x₂ и x₃ являются свободными, следовательно, подпространство решений двумерно.

Окончательно множество всех собственных векторов х= с собственным значением −1 можно описать в виде следующей формулы:

х= =α + β , α² + β² ≠ 0, а собственное подпространство V_-1- линейная оболочка векторов , .

А теперь тем же методом найдем собственные векторы, соответствующие собственному значению −2.

Вычисляем матрицу A ─ λ₂E = A + 2E = и приводим ее к главному ступенчатому виду:  .

Соответствующая система состоит из двух уравнений:

Теперь свободное неизвестное - x₃, и подпространство решений одномерно.

Множество всех собственных векторов с собственным значением −2 можно описать в виде формулы:

х= =α , α ≠ 0, собственное подпространство V_-2 порождается вектором .

Мы видим, что у нас выполняются все условия теоремы, так что должен существовать базис из собственных векторов. Для нахождения такого базиса достаточно объединить найденные нами базисы в подпространствах решений двух однородных систем. Матрица перехода к такому базису есть матрица, столбцы которой суть найденные базисные векторы: Р= .

Матрица нашего линейного оператора в этом новом базисе будет диагональной: A^’ = .

Осталось проверить выполнение формулы (6): P⁻¹A_P = . Вместо этой формулы удобнее, однако, проверять эквивалентную ей формулу:

AР = РA^’.

Вычисляя обе части этой формулы, имеем: AР =РA^’ = .

15.Рассмотреть пример не диагонализируемого оператора ( оператора умножения на жорданову клетку).