образец решения системы. 7 класс образец решения системы. Все ссылки работают при клике с зажатой клавишей Ctrl
 Скачать 0.61 Mb.
|
|
Все ссылки работают при клике с зажатой клавишей Ctrl © Кос В.В. и Кос КВ. cos-cos.ru Системы линейных уравнений Если несколько линейных уравнений с одними теми же неизвестными рассматривают совместно, то говорят, что это система линейных уравнений с несколькими неизвестными. Примера г) { 3(5 − 𝑥) − 4𝑦 = 0 𝑦 − 2𝑥 + 4 = 0 б) { 3𝑏 = 13 − 2𝑎 5𝑎 = 5 − 2𝑏 д) { 𝑝 3 + 𝑚−6 2 = 1 − 9𝑚 11𝑝 + 3(𝑚 − 𝑝 − 1) = −2(𝑚 + 1) в) { 3𝑥 − 8 = 2𝑦 𝑥 + 𝑦 = 6 е) { 0,02𝑦 = 1,25 − 3,21𝑥 1,5𝑥 − 3 4 = 4 − 0,1𝑦 Решить систему с двумя неизвестными – это значит найти все пары значений переменных, которые удовлетворяют каждому из заданных уравнений. Каждая такая пара называется решением системы. Пример Пара значений 𝑥 = 3; 𝑦 = −1 является решением первой системы, потому что при подстановке этих тройки и минус единицы в систему вместо 𝑥 и 𝑦, оба уравнения превратятся в верные равенства { 3 − 2 ∙ (−1) = 5 3 ∙ 3 + 2 ∙ (−1) = 7 А вот 𝑥 = 1; 𝑦 = −2 - не является решением первой системы, потому что после подстановки второе уравнение не сходится { 1 − 2 ∙ (−2) = 5 3 ∙ 1 + 2 ∙ (−2) ≠ 7 Отметим, что такие пары часто записывают короче вместо "𝑥 = 3; 𝑦 = −1" пишут так (3; −1). Как решить систему линейных уравнений Есть три основных способа решения систем линейных уравнений 1. Способ подстановки. 1) Возьмите любое из уравнений системы и выразите из него любую переменную 𝑥 − 2𝑦 = 5 3𝑥 + 2𝑦 = 7 ⇔ { 𝑥 = 5 + 2𝑦 3𝑥 + 2𝑦 = 7 ⇔ 2) Полученное выражение подставьте вместо этой переменной в другое уравнение системы. ⇔ { 𝑥 = 5 + 2𝑦 3( 5 + 2𝑦 ) + 2𝑦 = 7 ⇔ 3) Равносильными преобразованиями уравнений найдите по очереди каждое неизвестное. ⇔ { 𝑥 = 5 + 2𝑦 15 + 6𝑦 + 2𝑦 = 7 ⇔ { 𝑥 = 5 + 2𝑦 8𝑦 = −8 ⇔ { 𝑥 = 5 + 2𝑦 𝑦 = −1 ⇔ { 𝑥 = 5 − 2 𝑦 = −1 ⇔ { 𝑥 = 3 𝑦 = −1 4) Ответ запишите парой чисел (𝑥 0 ; 𝑦 0 ) Ответ Замечание к шагу 1: нет никакой разницы какую переменную и из какого уравнения выражать. Обычно более удобно выражать ту переменную, перед которой нет коэффициента или, говоря точнее, коэффициент которой равен единице (в примере выше это был икс в первом уравнении. Все ссылки работают при клике с зажатой клавишей Ctrl © Кос В.В. и Кос КВ. cos-cos.ru Почему так Потому что во всех остальных случаях у нас при выражении переменной получилась бы дробное выражение. Попробуем, например, выразить икс из второго уравнения системы { 𝑥 − 2𝑦 = 5 3𝑥 + 2𝑦 = 7 ⇔ { 𝑥 − 2𝑦 = 5 3𝑥 = 7 − 2𝑦 ⇔ { 𝑥 − 2𝑦 = 5 𝑥 = 7 − И сейчас нам нужно будет эту дробь подставлять в первое уравнение и решать то, что получиться. До верного ответа мы бы всё равно дошли, но идти было бы неудобнее. 2. Способ алгебраического сложения. 1) Равносильно преобразовывая каждое уравнение в отдельности, запишите систему в виде { 𝑎 1 𝑥 + 𝑏 1 𝑦 = 𝑐 1 𝑎 2 𝑥 + 𝑏 2 𝑦 = 𝑐 2 { 3𝑦 = 13 − 2𝑥 5𝑥 = 5 − 2𝑦 ⇔ { 2𝑥 + 3𝑦 = 13 5𝑥 + 2𝑦 = 5 ⇔ 2) Теперь нужно сделать так, чтоб коэффициенты при одном из неизвестных стали одинаковы (например, 3 и 3) или противоположны по значению (например, 5 и −5). В нашем примере уравняем коэффициенты при игреках. Для этого первое уравнение домножим на 2, а второе - на 3. ⇔ { 2𝑥 + 3𝑦 = 13 | ∙ 2 5𝑥 + 2𝑦 = 5 | ∙ 3 ⇔ { 4𝑥 + 6𝑦 = 26 15𝑥 + 6𝑦 = 15 3) Сложите (или вычтите) почленно обе части уравнения так, чтобы получилось уравнение с одним неизвестным. 4) Найдите неизвестное из полученного уравнения = 11 | ∶ (−11) 𝑥 = −1 5) Подставьте найденное значение неизвестного в любое из исходных уравнений и найдите второе неизвестное. 3𝑦 = 13 − 2𝑥 3𝑦 = 13 − 2 · (−1) 3𝑦 = 15 𝑦 = 5 6) Ответ запишите парой чисел (𝑥 0 ; 𝑦 0 ). Ответ Замечание к шагу 3: В каком случае уравнения складывают, а в каком вычитают Ответ прост – делайте так, чтоб пропала переменная если уравненные коэффициенты имеют один и тот же знак – вычитайте, а если разные – складывайте. Пример. Решите систему уравнений { 12𝑥 − 7𝑦 = 2 5𝑦 = 4𝑥 − 6 Решение { 12𝑥 − 7𝑦 = 2 5𝑦 = 4𝑥 − 6 Приводим систему к виду { 𝑎 1 𝑥 + 𝑏 1 𝑦 = 𝑐 1 𝑎 2 𝑥 + 𝑏 2 𝑦 = 𝑐 2 преобразовывая второе уравнение. Все ссылки работают при клике с зажатой клавишей Ctrl © Кос В.В. и Кос КВ. cos-cos.ru { 12𝑥 − 7𝑦 = 2 −4𝑥 + 5𝑦 = −6 Уравняем коэффициенты при иксах. Для этого домножим второе уравнение на 3. { 12𝑥 − 7𝑦 = 2 −12𝑥 + 15𝑦 = Знаки при иксах разные, поэтому чтоб иксы пропали, уравнения надо сложить. 0 · 𝑥 + 8𝑦 = Делим уравнение на 8, чтобы найти y. 𝑦 = Игрек нашли. Теперь найдем 𝑥, подставив вместо игрека −2 в любое из уравнений системы. 12𝑥 − 7 · (−2) = 2 12𝑥 + 14 = 2 12𝑥 = −12 𝑥 = −1 Икс тоже найден. Пишем ответ. Ответ (−1; −2) 3. Графический способ. 1) Приведите каждое уравнение к виду линейной функции 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏. { 3𝑥 − 8 = 2𝑦 𝑥 + 𝑦 = 6 ⇔ { 2𝑦 = 3𝑥 − 8 |: 2 𝑦 = 6 − 𝑥 ⇔ { 𝑦 = 3 2 𝑥 − 4 𝑦 = −𝑥 + 6 2) Постройте графики этих функций. Как Можете прочитать здесь) Найдите координаты (𝑥; 𝑦) точки пересечения графиков и запишите их в ответ в виде (𝑥 0 ; Ответ (4; 2) Матхак. Если сомневаетесь в правильности ответа (неважно каким способом вы решали, проверьте подстановкой значений 𝑥 0 ив каждое уравнение. Если оба уравнения превратятся в верные равенства, то ответ правильный. Пример решая систему { 3𝑥 − 8 = 2𝑦 𝑥 + 𝑦 = 6 , мы получили ответ 2). Проверим его, подставив вместо икса 4, а вместо игрека 2. { 3 ∙ 4 − 8 = 2 ∙ 2 4 + 2 = 6 ⇔ { 12 − 8 = 4 6 = 6 ⇔ { 4 = 4 6 = Оба уравнения сошлись, решение системы найдено верно. Все ссылки работают при клике с зажатой клавишей Ctrl © Кос В.В. и Кос КВ. cos-cos.ru Пример. Решите систему уравнений { 3(5𝑥 + 3𝑦) − 6 = 2𝑥 + 11 4𝑥 − 15 = 11 − 2(4𝑥 − Решение { 3(5𝑥 + 3𝑦) − 6 = 2𝑥 + 11 4𝑥 − 15 = 11 − 2(4𝑥 − Раскроем скобки в уравнениях. { 15𝑥 + 9𝑦 − 6 = 2𝑥 + 11 4𝑥 − 15 = 11 − 8𝑥 + 2𝑦 Перенесем все выражения с буквами в одну сторону, а числа в другую. { 15𝑥 − 2𝑥 + 9𝑦 = 11 + 6 4𝑥 + 8𝑥 − 2𝑦 = 11 + Приведем подобные слагаемые + 9𝑦 = 17 12𝑥 − 2𝑦 = 26 Во втором уравнении каждое слагаемое - четное, поэтому упрощаем уравнение, деля его на 2. { 13𝑥 + 9𝑦 = 17 6𝑥 − 𝑦 = 13 Эту систему можно решить любым из способов, но мне кажется, что способ подстановки здесь удобнее всего. Выразим 𝑦 из второго уравнения. { 13𝑥 + 9𝑦 = 17 𝑦 = 6𝑥 − 13 Подставим 6𝑥 − 13 вместо 𝑦 в первое уравнение. { 13𝑥 + 9(6𝑥 − 13) = 17 𝑦 = 6𝑥 − Первое уравнение превратилась в обычное линейное. Решаем его. Сначала раскроем скобки. { 13𝑥 + 54𝑥 − 117 = 17 𝑦 = 6𝑥 − Перенесем 117 вправо и приведем подобные слагаемые. { 67𝑥 = 134 𝑦 = 6𝑥 − 13 Поделим обе части первого уравнения на 67. { 𝑥 = 2 𝑦 = 6𝑥 − 13 Ура, мы нашли 𝑥! Подставим его значение во второе уравнение и найдем 𝑦. { 𝑥 = 2 𝑦 = 12 − 13 ⇔ { 𝑥 = 2 𝑦 = −1 Запишем ответ. Ответ (2; −1) |