Термех. Теорит. механика. Введение. Теоретическая механика представляет собой один из разделов общей механики. Механикой называется естественная наука, которая изучает простейшие формы движения вещества
 Скачать 1.71 Mb.
|
|
IV Траектории скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Рассмотрим траекторию точек тела, вращающихся вокруг неподвижной оси. Рассмотрим траекторию точки М тела. Опустим из точки М перпендикулярна ось вращения и отметим на ней точку О. Длина ОМ и прямой угол не меняется при вращении тела как это следует из свойств твердого тела. Значит точка М движется в плоскости, перпендикулярно оси вращения, описывая окружность радиуса ρ. Точка М была выбрана произвольно, поэтому можно утверждать, что все точки тела описывают окружности, перпендикулярные оси вращения. Найдем скорости точек тела, вращающихся вокруг неподвижной оси. Форма траектории в любой точке тела известна. Задается направление вращения. Можно применить естественный способ задания координат. На рисунке слева изображена траектория произвольной точки МИ эта окружность радиуса ρ. Точка О ‗– начальная точка траектории. Составим уравнение движения точки. S=ρφ(t), где φ – угол поворота. ν= =ρφ(t) (2.8) и, учитывая формулу 2.6, окончательно запишем ν=ρ*ω (2.9) ω=φ(t) – угловая скорость. Линейная скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси пропорциональна радиусу вращения. Чтобы определить ускорение точки М, найдем проекции полного ускорения ω на касательную ω τ и на главную нормаль ω υ ω τ = ρ( )=ρε (2.10) ω υ = =(ρ 2 ω 2 )/ρ=ρω 2 (2.11) Модуль полного ускорения |Ŵ|= =ρ (2.11) Касательное ускорение направлено, как и вектор скорости по касательной к траектории. Нормальное ускорение Ŵ τ направлено по радиусу коси вращения. Ø=( угол Ŵ;Ŵ τ ) Из предыдущего рисунка следует, что = или (2.13) Таким образом, ускорение Ŵ определено полностью согласно 2.12 ив числителе 2.13 стоит модуль касательного ускорения. Так как в случае замедленного вращения вокруг неподвижной оси вектор скорости и касательное ускорение разнонаправлены, при этом знак угла совпадает со знаком , если считать его отвращения ускорения ω до прямой ОМ. Из этого видно, что ускорение, полное ускорение, касательное, нормальное пропорциональны ρ радиусу вращения. Формулы Эйлера. Векторы угловой скорости и углового ускорения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Расширим понятие угловой скорости и покажем, что угловая скорость это вектор, направленный по оси вращения. Рассмотрим произвольную точку М тела. Свяжем жестко с телом систему прямоугольных декартовых координат осей, начало которых находится в произвольной точке О оси вращения. Ось О направлена по оси вращения тела. Пусть I, g, k – орты базиса. Обозначим через r радиус-вектор точки Мс координатами (x, y, z), тогда r (ix+gy+kz) (а) Координаты x, y, z – не меняются, так как система координат О жестко связана с телом и движется вместе с ним. Найдем скорость точки М, взяв производную повремени от радиус-вектора r. Так как оси О и О вращаются вместе с телом, то орты I и g, сохраняя свою длину, меняют свое направление со временем, при этом r – не зависит от времени. ν= x+ y+ z Рассмотрим производные =ν N скорость точки N конца вектора I и =V N конца вектора g. Точка N описывает окружность плоскости О. Скорость точки N V N имеет начало точки N и направленно параллельно оси О. V N ↑↑g Найдем скорости ν N как скорости вращательного движения. V N =1*W Все это можно объединить водной формуле, которая определит величину V и ее направление. Направление вектора V N не зависит от направления вращения тела. Аналогично с предыдущим находим, что =-W τ (g) Скорость точки М равна V=ω(gx-iy) Из векторной алгебры известно i=q×k, g=k×I, 0=k×k, -i=k×g Получаем ν=ω(k×i*x+k×g*y+k×k*z) Выносим орт k за скобку ν=ω*kx(ix+jy+kz) ωk=Ŵ (2.15) Из 2.15 видим, что ω направлен вдоль оси вращения в ту сторону, откуда надо смотреть, чтоб тело вращалось против часовой стрелки. На предыдущем рисунке показано вращение тела в направлении, противоположном движению стрелки часов и вектор ω направлен вверх по оси вращения. Отсюда видно, что Ŵ не первообразная величина. Второй множитель в формуле есть радиус – вектор точки Ми тогда можно заменить ν= Ŵ×r (2.16) Эйлер получил эту формулу в виде проекций вектора ν на оси координат, при этом Ŵ имеет проекции Ŵ ή , Ŵ ζ , Ŵ ξ . I=Iή+gζ+kξ Распишем векторное произведение в координатах V ή =Ŵ ζ *ξ-Ŵ ξ *ζ V ζ =Ŵ ξ *ή-Ŵ ή *ξ (2.17) формулы Эйлера V ξ =Ŵ ή *ξ-Ŵ ζ *ή Из формулы 2.16 можно найти вектор линейного ускорения точки М. W= = ×r+W× (e) ε= (2.18) Вектор углового ускорения, а кадографом является ось вращения, те. прямая, значит ε направлено по оси вращения. W=ε×r+W×V W=W вращ. +W ц , где W вращ. =ε×r – вращат. уг. ц – центростремительное ускорение. Движение свободного твѐрдого тела. Рассмотрим более сложный случай движения свободного твѐрдого тела, движение которого неограниченны каким – либо условиями, при этом основой является свойство абсолютно твѐрдого тела, принимаемое во внимание в теоретической механике расстояние между точками тела и углы между прямыми, связанными с телом остаются неизменными при его движении. ξ М ММ ɳ О (рис) ζ Для определения скорости точки М свободного твѐрдого тела, выберем систему координат O ξɳζ связанную с телом и движущуюся вместе с ним рис) координатных осей обозначим i j k. Проведѐм из произвольной точки О радиус-векторы rₒ в О, r m в Ми из О в М. Как видно из риса, рассмотрим распределение скоростей в твѐрдом теле. Чтобы найти скорость в точке М продифференцируем повремени обе части радиуса R = + (вили М = О + с) скорость в точке М=скорости полюсов) В случае поступательного движения эта производная равна нулю. те. =0, в случае падения твердого тела =0. В абсолютно твердом теле расстояние между точками О и М –const, → квадрат расстояния тоже постоянный. = r om * r om =const (d) Продифференцируем обе части (d) повремени Из равенства скалярного произведения → dr om , отсюда заключаем, что можно записать = Ѡ OM е, Где Ѡ OM - неизвестный пока произвольный вектор. Докажем, что он не зависит от точки О и точки М, те. не зависит от положения выбираемой точкой тела, т.к. система координат O ξɳζ движется вместе с телом, то ортогонали базиса i j k – сохраняют взаимную . Поэтому можем написать i * j=0 (f) дифференцируя обе части (f) повремени получим i* + j* = 0 или *j = - * i= Ѡ ζ пользуясь правилом циклической перестановки индексов можно записать еще два соотношения *k=- *j= Ѡ ζ *i=- *k= Ѡɳ (д) т.к. r om= i ξ +j ɳ * k ζ (h) в данной системе координат O ξɳζ , то дифференциал его повремени получим (h). = ζ+ ɳ+ ζ (i) Спроектируем проекцию на оси координат для этого обе части (i) поочередно умножим на i на j на k. Получим ξ = * i = - ɳ Ѡ ζ + ζ Ѡɳ ɳ = *j=- ζ Ѡ ξ +ξѠ ζ ζ= *k = - ξѠɳ + ɳѠ ξ (j) Из формул (j) видно, что Ѡ не зависит от положения точки М, т.к. он является функцией ортогоналей i,j,k, а ортогонали системы координат не зависят от положения точки в теле. Правые части (j) не зависят также от положения точки О начала координат. ξ ξ k I ɳ ζ ζ Перенесѐм начало координат в точке О так что ортогонали базисов . При этом правые части (j) не изменяются можно написать = Ѡ x r om (k) При этом (с) принимает вид М = о Ѡ x r om (3.1) Формула (3.1) определяет скорость произвольной точки свободного твѐрдого тела. При поступательном движении твердого тела Ѡ=0 и М о (2.3) При вращении тела вокруг неподвижной оси выбрав точку Она оси вращена см.рис 25 увидим, что о и М Ѡ x r om (2.16) формула Эйлер Ѡ М ооООоо рис) О вектор угловой скорости. Ѡ в (3.1) полученный геометрически всегда является вектором угловой скорости тела (иногда это вектор мгновенной скорости) Теорема о скорости концов неизменяемого отрезка Проекции скоростей концов неизменяемого отрезка на направление этого отрезка равны между собой. Доказательство Обе части формулы (с) умножаем скалярно на r om получим М о om + r om (l) r om =0 Из свойств скалярного произведения → r om пр М r om * про) разделив обе части на r om получим пр М про) Эта теорема позволяет решать ряд задач кинематики твердого тела иона широко применяется при изучении плоскопараллельного движения твердого тела. Используя формулу (3.1) найдѐм закон распределения ускорений в теле. Обе части (3.1) продифференцируем повремени) Обозначим W o = – ускорение полюса = – вектор углового ускорения тела о М = - скорость движения точки М вокруг полюса. W M = – ускорение точки М. Подставляем всѐ в (n) получим W M = W o + * r om + Ѡ* о М (3.3) Формула (3.1) и (3.3) наиболее общие при этом направлен по касательной к Ѡ. Сложное движение точки. Абсолютное относительное и переносное движение точки. При решении ряда задач механики можно принять идею Ньютона, что существуют условно-неподвижные системы координат и наряду сними подвижные системы координат. (рис) Z M(ξɳζ) ξ O r m r o ɳ Y X Рис) Рассмотрим твердое тело, движущееся относительно неподвижно систему координат O‚zxy (рис) Свяжем с телом подвижную систему координата точка М произвольная точка тела, движущаяся по нему. Определим три вида движения точки абсолютное относительное переносное. Определение Абсолютным движением точки называется еѐ движение, относительно условно неподвижной системы координат O‚zxy. Соответственно траектории скорости ускоряющейся точки, определяемое относительно той системы координат называются абсолютными. Относительным движением точки называется еѐ движение относительно подвижной системы координат O ξɳζ связанной с телом по которому движется точка. Переносным движением точки называется движение той точки тела фиксированной) , через которую в данный момент времени проходит движущаяся точка. Переносное движение определяется относительно условно неподвижной системы координат. В некоторых случаях вместо тела рассматривают среду с которой связаня подвижная система координат. Если точка М движется по телу как на прис.26, то еѐ координаты ξɳζ изменяются со временем и можно составить уравнение относительного движения точки М , ɳ=ɳ(t), ζ=ζ(t) (4.1) Теория о сложении скоростей. Метод остановки. Теория о сложении скоростей. Скорость абсолютного движения точки равна сумме скоростей переносного и относительного движения. Z M E y - проведем из центра неподвижной системы координат О , в центр подвижной системы О , проведем B из центра неподвижной системы координат в точку М. - проведем из О в движущуюся точку М. Сложные движения определяются Переносными относительным движением. Для удобства введем любые обозначения для времени, которыми определяется переносное движение. t 1 – время, определяющее относительное движение точки t Согласно классической механике, время всюду протекает одинаково t1=t t2=t те ; Выделим скорость относительного движения точки ѵ 2 и скорость его переносного движения е. Радиус- векторы r и ом изменяются вследствие наличия переносного и относительного движения, а r o зависит лишь от переносного движения поэтому можно записать r ( t1 t2 )= омом) Чтобы найти абсолютную скорость точки М, продифференцируем обе части а) повремени Учитывая связь t1 и атак же t2 и получим абсолютную скорость точки Ѵa= (Первые 2 слагаемых правой части формулы (в) определяют скорость переносного движения точки Ѵa= + (Третье слагаемое справа в формуле (в) зависит от времени, и, следовательно, определяет скорость относительного движения точки. Ѵ2= (4.2b) Ѵa= Ѵe+Ѵr (4.3) Из формулы (4.3) следует, что заданная скорость переносного движения и относительного движения то скорость абсолютного движения можно найти, построив параллелограмм на векторах Ѵe Ѵr как его диагональ. Метод остановки. При рассмотрении задач кинематики, чтобы найти скорость движения точки относительно подвижной системы координат, надо сообщить подвижной системе координат и точке такое общее динамическое и переносное движение, чтобы подвижная система координат остановилась, тогда новая скорость абсолютного движения точки будет равна начальной относительной скорости. Это значит, что от общих частей (4.3) нужно отнять Получим Ѵc L Метод остановки позволяет нам говорить, что солнце восходит на востоке, а заходит на западе, при этом мы исходим из предположения, что земля остановилась. Ускорение Кориолиса. Найдем ускорение точки М, совершающей сложное движение. Для определения продифференцируем повремени абсолютную скорость Ѵa Wa = (a) Ѵa= Ѵe+Ѵr (b) Ѵe= + (c) Ѵe= (Учитывая си, каждое слагаемое в формуле (в) приходится дифференцировать отдельно, при этом формула (а) принимает вид Wa= * + * + = * + * (e) Учитывая, что ; , перепишем слагаемые в правые части формулы (е) в другом порядке Wa= + + + (Обозначим We= We - быстрота изменения относительной скорости , зависящая от относительного движения, и называется ускорением относительного движения. Последние два слагаемых в формуле (f) нельзя отнести ник переносному ник относительному движению. Это дополнительное ускорение или ускорение Кориолиса. Wc= (Подставим в (g) (4.4), (4.5), (4.6) и получим формулу, Wa= We + We + Wc (4.7) , которая выражает теорему Кориолиса. Абсолютное ускорение точки, совершающее сложное движение равно геометрической сумме переносного, относительного и нормального ускорений. Сам Кориолис называл е слагаемое дополнительное. Рассмотрим подробнее формулу (4.6): быстрота измерения переносной скорости, вызванная наличием относительного движения. измеряет быстроту изменения относительной скорости, обусловленную наличием переносного движения. Кинематика Кинематика – это часть теории механики, изучающая наиболее общее свойства механического движения. И одновременно геометрические свойства движений, и свойство факторов изменяющие эти движения. Из кинематики иногда выделяют статику, ту часть кинематики, в котором выделяются свойства причин изменяющих движения точек и систем материальных точек, те свойства механической силы. В основе кинематики лежат пространственно временные представления механики, законы Ньютона и системы аксиом механики. В земных условиях в основой расчетов являются законы Ньютона в качестве неподвижной системы координат, принимают систему связанную с Землей. Дадим формулу законов Ньютона 1 Закон Ньютона (закон инерции) ― изолированная материальная точка сохраняет состояние равномерного и прямолинейного движения или находиться в состоянии координат которая движется поступательно, равномерно и прямолинейно В первом Законе Ньютона рассматривается прямолинейное движение точки по инерции, что возможно только в лабораториях, либо представленной частицы точки, движущихся между галактиками. Большинство материальных точек и тел на Земле не движутся равномерно и прямолинейно. Это происходит потому, что на них действуют механические силы. Механическая сила – это мера воздействия на материальную точку со стороны окружающих еѐ точек или сил. Механическая сила характеризуется своей величиной и направлением в пространстве. F M рис. 27 Механическая сила – причина отклонения движения точки от равномерного и прямолинейного. Для измерения силы Декарт в в. ввел понятие о количестве движения. Количество движения точки – вектор К равный произведению материальной точки m на еѐ скорость V mV V М Рис 28 2 Закон Ньютона Быстрота изменения количества движения точки равна вектору силы, приложенной к точке. d/dt (m V) = F (5.1) Ниже рассматривается задача механики, в которой плоскость точки постоянна. m = dV/ dt = F или mw =F ( 5.2) Поэтому й Закон Ньютона сформулируем проще : ― Произведение массы точки на еѐ ускорение равно вектору силы действующей на материальную точку. или Vm = Vo + dRom/dt ( C ) В случае поступательного движения эта производная = 0 dRo/dt = 0 В абсолютно твердом состоянии расстояние между M и O неизменно, значит и квадрат этого расстояния равен Const мм м = Const Продифференцируем обе части повременим м = 0 Из равенства 0 скалярного произведениям м Отсюда заключаем, что можно записать dRom/dt = м * Rom ( e ) где м – неизвестный произвольный вектор. В специальном примечании кому Закону Ньютон сформировал аксиому о параллелограмме сил : Если на точку действуют 2 силы, то точка будет двигаться так, как двигалась бы под действием одной силы, равной для параллелограмма построенного на этих точках. F 1 M F F 2 Рис 20 Сила F называется равнодействующей и равна F = F 1 + F 2 ( 5.3 ) Аксиома о параллелограмме сил подтверждают векторную природу сил. Правило о параллелограмме можно заменить правилом многоугольника сил. Если к точке приложено несколько сил, тов конце предыдущего вектора строиться начало последующего. F 1 F 2 M F Рис 30 F 1 F 2 F F 3 F R Рис 31 F = R Рассмотрим важную задачу о равновесии материальной точки. Точка, находящаяся под действием системы сил, ускорения равное нулю,находиться в равновесии. Равнодействующая система сил, может быть представлена согласному закону Ньютона в виде R = mw Если при равновесии точки еѐ ускорение равно нулю, то условием равновесия R = 0 ( 5.4 ) Механическое условие равновесия систем сил, приложенных к точке. Материальная точка находиться в равновесии если равновесие сил точки = 0 Графическое условие равновесия сил приложенных к точке. Материальная точка, на которую действует система сил, находящиеся в равновесии. 3 закон Ньютона Действие всегда равно противодействию, здесь действие называется сила, действующая на точку. Противодействие – это сила, с которой точка действует на источник первой силы. Действие и противодействие всегда приложено к разным точкам или телам. Для решения задач статики нужно изучить некоторые аксиомы и простейшие теоремы механики. Рассмотрим абсолютно твердое телок которому приложены 2 силы и направлены по одной прямой, в противоположные стороны. А В F -F Рис. 32 Линия, вдоль которой направлена сила, называется линией его действия. Аксиома об абсолютно твердом теле Если на твердое тело действуете силы равные по величине и направлению в противоположные стороны вдоль общей линии действия, то эти силы уравновешиваются. Из аксиомы об абсолютно твердом теле вытекает следствие. Уравновешенную систему сил можно приложить или отбросить, движение тела при этом не изменится. Теорема об абсолютно твердом теле Неизменное действие силы на тело, вектор силы можно переносить в теле вдоль линии действия. Доказательство Предположим задан вектор силы F приложенный в точке тела А. -F В А F Рис. 33 Предположим, что силу F можно перенести в силу действия в точку В. Приложим в точке В уравновешенную систему сил F ив точке В. После этого останется сила F перенесенная из точки А в В вдоль линии действия. Вектор силы приложенной к абсолютному твердому телу называется скользящим вектором. Вектор силы приложенный к материальной точке переносить нельзя, поэтому он называется определенный, приложенный или связанный вектор. Теорема ох силах Если тело находится в равновесии под действием непараллельных сил из которых хотя бы е силы расположены водной плоскости, то линии действия всех сил пересекается водной точке. F 1 F 3 R F 2 Рис. 34 С А В Доказательство На тело находящиеся в равновесии действуют 3 силы (F 1 , F 2 , F 3 ) Векторы F 1 и F 2 лежат водной плоскости. Продолжим линию действия F 1 и F 2 до пересечения точки О. Перенесем силы в точку О и сложим по правилу параллелограмма, получив равнодействующую R. Теперь на тело действуют е силы R и На основании аксиомы об абсолютном твердом теле, что силы R и F 3 равны по величине противоположной по направлению и имеют одну общую линию действия. Из этой теоремы вытекает возможность решать простейшие задачи. Если к телу находящемуся в равновесии приложено 3 силы из которых одна задана полностью известные линия действия второй силы и точка приложения й то можно определить направление всех сил. F 1 Риса) Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки. Рассмотрим основной закон механики и 3 способа задания движения точки. СВ (а) 1 дифференциальные уравнения движения точки в векторном виде. W= dt r d 2 (в) V М F 0 Подставлен В в левую часть Ас) Вектор силы F может быть постоянным, может зависеть от времени, от положения точки в пространстве, может зависеть от скорости, в принципе может зависеть от ускорения. 2 Силы зависящие от скорости и ускорения это например силы сопротивления тела двигающиеся с большой скоростью или когда среда имеет малую вязкость. 2 Зависимость силы от скорости встречается в случае движения твердого тела в вязкой жидкости, нос небольшими скоростями. Она же встречается в случае учета конструкционного демпфирования при действии пружины. От позиции r зависит силы вращения притяжения, электростатики, силы притяжения и отталкивания и сила упругости. Окончательно уравнение С можно записать так- m 2 2 dt r d =F(t, r, dt r d ) (5.5) 2 Дифференциальное уравнение движения материальной точки в координатном виде. z F M V y x рис. 36 Пусть на точку М действует система сил взаимодействующая с F. F= iX+jY+kZ M (x(t), y(t), z(t)) Спроектируем правую и левую части формулы оси и координаты О, y, z. ) , , , , , , ( ) , , , , , , ( ) , , , , , , ( z y x z y x t Z z m z y x z y x t Y y m z y x z y x t X x m Z=ix+jy+kz - неизвестные функции x(t), y(t), z(t) 3 Дифференциальное уравнение движения материальной точки τ M F V Рис. 37 Равнодействующая сил лежит в соприкасательной плоскости. Проектируя равенства (а) mw=F на оси естественного трехгранника получим mw τ=F cos a. mw ν= F sin a. согласно (1.25) и (1.26) W τ = dt dv W ν = Найдем sin cos 2 F P mv F dt dv m (5.7) 1. Теория о трех силах. Если тело находится в равновесии под действием нескольких сил, из которых хотя бы две силы расположены водной плоскости, то линия действия всех трех сил пересекается водной точке. 1 3 2 рис. 7 Доказательство. На тело, находящееся в равновесии, действуют три силы 1, 2, 3. Тело находится в равновесии, а силы 1 и 2 лежат водной плоскости. Линии действия 1 и 2 продолжены до их пересечения в точке О. Сложим силы 1 и 2 перенеся их в точку О по правилу сложения сил, получим силу . = 1 + 2, являющейся равнодействующей 1 и 2. Теперь на тело действует три силы и 3, на основании аксиомы об абсолютно АО твердом теле можно утверждать, что силы и 3 равны по величине, противоположны по направлению и имеют общую линию действия, те. они уравновешиваются. С помощью этой теоремы можно решать простейшие задачи. Если к телу приложено три силы, одна из которых задана полностью. Известна линия действия второй силы и известна точка приложения третьей силы, то можно определить величины и направления всех трех сил. 2. Дифференциальное уравнение движения свободной материальной точки. Из равенства выражающий второй закон Ньютона m = (а, можно получить три вида дифференциальных уравнений свободной материальной точки в зависимости от способа задания движения точки. Дифференциальное уравнение движения точки в векторном виде. При векторном способе задания точки =r(t) имеем W = (b) 0 M (рис. 8 Из уравнений аи) получим m = (c) В частном случае вектор силы может быть постоянным по модулю и по направлению, если вектор силы меняется, то он может зависеть явно от t, положения сила всемирного тяготения, от (силы сопротивления среды, в которой происходит движение) и от ускорения точки (силы соприкосновения жидкой среды в гидромеханике применяются очень редко и мы не рассматриваем эти случаи. Тогда уравнение (с) можно окончательно записать m = (t, r, ) (5.5) Дифференциальное уравнение движения в координатной форме. - равнодействующая сила, действующая на материальную точку, те. геометрическая сумма сил. Если линия действия этих сил пересекается в точке. Обозначим проекции силы на О, Oy, Oz через x,y,z. В прямоугольной системе координат положение точки М определяется координатами x(t), y(t), z(t). Спроектируем, левые и правые части (5,5) на оси координат. Получим m = x (t,x,y,z, , , ) m = y (t,x,y,z, , , ) (5.6) m = z (t,x,y,z, , , ) Неизвестными являются x(t), y(t),z(t). Дифференциальное уравнение движения материальной точки в естественной форме. Равнодействующая сил приложенных к точке также лежат в соприкосательной плоскости. Проектируя равенство (а) на оси естественного трехгранника получим m = F = F Выразив ускорение через скорости точки согласно (1,25) и (1,26) получим = F x y z М x y Рис. 9 М рис. 10 (5.7) m = F VI Две основные задачи динамики свободной материальной точки. 1. Если кинематически заданы две точки и известна масса точки, то находится равнодействующая сил приложенных к точке. Допустим, известен закон движения точки в координатах точки x (t), y (t), z (t) (а. Продифференцируем дважды повремени каждую точку из функций. В (а) умножим на массу точки и подставим в уравнение движения (5,6). Отсюда найдем проекции равнодействующей силы на оси координат x,y,z. При этом модуль равнодействующей равен R = (6.1) и направляющие косинусы. cos ) = cos ) = (6.2) cos ) = Вторая или обратная задача динамики материальной точки. Если задана m точки и сила, действующая на точку , то находится закон ее движения или заданы правые части и m уравнений (5.5), (5.6), (5.7), то требуется найти закон движения материальной точки. Дважды интегрируя рассмотренное дифференциальное уравнение. Например, в случае координатной формы задания (5.6) в результате интегрирования получим координаты x,y,z, как функции времени из 6 произвольных постоянных. x = x (t, , , , , , ) y = y (t, , , , , , ) (6.3) z = z (t, , , , , , ) Эта задача не решена до конца, произвольные постоянные определяются изначальных условий, которые представляют собой задание положения точкам, ее скорости в некоторый момент . t = : (6.4) Эти шесть начальных условий позволяют найти шесть производных постоянных предварительно, обе части равенства (6.3) нужно продифференцировать повремени, , , , , ) После этого в систему шести уравнений (6.3) и (6.5) подставляются начальные условия (6.4). В результате получаем шесть алгебраических уравнений, из которых находим конкретные значения шести неизвестных. , , , , , . Подставим эти значения в систему (6.3) и найдем окончательный закон движения материальной точки. И тем самым окончательно решим задачу. 3. Примеры решения первой задачи динамики. В качестве примера рассмотрим равновесие точки, при этом ускорение точки равно нулю. Она может двигаться равномерно и прямолинейно по отношению к поступательно движущейся системе координат = (t) = 0, = (t) = 0, = (t) = 0 (a) Тогда будут равны нулю проекции равнодействующей на оси координат X = 0, y = 0, z = 0 (b) Поскольку равнодействующей представляет собой векторную сумму сил приложенных к точке, тов результате получим равенство равное 0, алгебраических сумм проекции составляющих сил = 0 = 0 = 0 (6.6) (6.6) – это и есть уравнение равновесия точки. Задача считается определенной, если количество неизвестных проекций составляющих сил не больше х, если больше – задача статически неопределенная и методами теоретической механики решена быть не может (нужен сопромат. Классификация сил, действующих на точки системы. Существует два способа классификации сил, действующих на точки системы. Согласно перврму способу различают силы активные и реакции связей. Активными называются силы, вызывающие ускорение точек системы и реакции связей. Ноне следует считать, что активные силы есть единственная причина возникновения ускорения и реакции связей. Наличие начальной скорости какой-либо точки системы, заставляет двигаться систему точек даже без активных сил. Согласно второму способу классификации сил, действующих на точки системы , их разделяют на внешние и внутренние. Внешними силами называют силы взаимодействия между точками системы и телами не принадлежащими системе, а внутренними силами называют силы взаимодействия между телами системы. Рассмотрим систему из х точек, с массой m 1 , m 2 , m 3 ,. Между точками действуют силы притяжения и это внутренние силы . Внутренние силы - это всегда силы действия и противодействия. Каждой внутренней силе соответствует другая равная сила равная ей по величине и противоположной по направлению. Однако в общем случае нельзя утверждать, что силы уравновешиваются. рис) Внутренние силы уравновешиваются лишь в том случае если они действуют на абсолютно твѐрдое тело. (рис) Внутренние силы не могут изменить движения системы. Рис Пример Балка АВ расположена на двух опорах и на неѐ действует сила Р (рис) Определим реакцию опор, если балка находится в равновесии. Кроме силы Р на балку действует реакция опор. Так как опора В это каток, поэтому реакция катка направлена вертикально, так как каток не препятствует вертикальному перемещению балки. Реакция А неизвестна. Применим теорему О трѐх силах. Линия действия трѐх сил неизвестна, проведем перпендикуляр к опоре и получим А в Продолжим линию действия силы Р до пересечения с А в – получим точку С. Через С проходят реакции шарнира А – А а . Проведѐм прямую АС R a Построим замкнутый треугольник сил. Отложим в масштабе силу Р. Через еѐ начало проведем прямую параллельную линию действия реакции А в , а через конец проведѐм линию А а , чтобы замкнуть треугольник. Измерив длину А а и А в , и пересчитав масштабную натуру, найдѐм величины реакции А а А в 2. Метод сечений. В задачах часто приходится искать внутренние силы. Для этого часто используют метод сечений . Рассмотрим нагруженное тело. (рис) Требуется найти внутренние силы. Проводя сечения разделим тело на две части 1 и 2. Реакция А по отношению к части 1 будут внешними силами и их можем найти рассмотрев равновесие части 1. (рис) А по отношению ко всему телу, силы внутренние. Следовательно , метод сечений позволяет свести задачу по определению внутренних сил к задаче по определению внешних сил. Это пример того, что нельзя смешивать классификацию сил. Рис VIII Теорема об изменении кинетической энергии. Движение несвободных материальных точек и систем характеризуется рядом теорем динамики , которые позволяют решать частные задачи. Все теоремы вытекают из второго закона Ньютона, поэтому его называют основным законом механики. Второй закон механики записывается так mW=F (a) где W= (в) Умножим обе части (а) на V = , и получим mV* = * F (c) Отсюда легко получить, что mV*dV= F*dr (d) Левая часть равенства (d) преобразовывается к виду mV*dV=d (mV* V/2)=d (mV 2 /2) (e) После чего уравнение (d) принимает вид d(mV 2 /2)=F*dr (f) Величина mV 2 /2 называется кинетической энергией материальной точки или живая сила вывел Лейбниц) Величина стоящая в правой части (f) называется элементарной силой F на элементарнои отрезке пути. d‘A = F*dr (8.1) Штрих в А означет, что в общем случае скалярное произведение F*dr не является полным дифференциалом некоторой функцией координат точкию Подставляя (8.1) в (f) получим d(mV 2 /2)=d‘A (8.2) Формула (8.2) и выражает теорему об изменении кинематической энергии материальной точки в дифференциальной форме. Сформулируем теорему в интегральной форме. Рассмотрим движение т. М под действием сил, имеющую равнодействующую F (рис) Проинтегрируем левую часть (f) от V 1 до V 2 , а правую часть от М до М (mV 2 /2)= (g) Производя интегрирование получим : mV 2 2 /2 – mV 1 2 /2= (h) Интеграл, стоящий во второй части называется полной работой совершаемой самой F при переходе из М 1 в в МА (8.3) Интеграл, стоящий в правой части (8.3) есть криволинейный интеграл к уравнению (h) принимает вид mV 2 2 /2 – mV 1 2 /2 А (8.4) Это равенство выражает теорему об изменении кинетической энергии материальной точки в интегральной форме. Теорема об изменении кинетической энергии материальных точек. Изменение кинетической энергии материальной точки на некотором отрезке дуги еѐ траектории равно работе, произведѐнной равнодействующих сил на такие же отрезки дуги траектории. Совершаемая силой работа, и еѐ свойства. По одному из общих законов природы – закону сохранения энергии имеем, что если кинетическая энергия умножается, то она переходит в работу. Работа-это физическая величина , являющаяся мерой приложенной кинетической силы. Работа, приложенных всех равнодействующих сил к точке, равна алгебраической сумме работ этих сил на том же перемещении. Если на точку действует система сила) Умножим обе части равенства (а) скалярно на dr , получим F*dr=(F 1 +F 2 + F 3 +…+ F n ) dr (b) Используя свойство дистрибутивности скалярного произведения относительно сложения векторов, перепишем это равенство с учетом (8.1) d‘A=d‘A 1 + d‘A 2 +…+d‘A n (8.5) Это доказательство теоремы в дифференциальной форме, а проинтегрируя (8.5) от М до М , получим искомое равенство. А А 1 +А 2 +…А n (8.6) Рассмотрим три способа вычисления работы, соответствующие трѐм способам задания точки 1) Векторный способ Работа вычисляется по формуле (8.3) 2) Естественный способ Положение точки М на траектории определяется в каждый момент времени еѐ дуговой координатой S. Пусть к точке приложена сила F (рис. Единичный вектор касательной определяется формулой : τ = и следовательно dr= τ dS (f) d‘A=F*dr=F* τ dS (g) заменим F* τ : F* τ =F*cos(F^ i)=Fcos (h) Подставляя (h) в (g) получим d‘A=Fcos αdS (8.9) Обознаив через S 1 и S 2 дуговые координаты точек Ми М рис) Найдѐм полную работу А (8.10) В частном случае, если точка движется по прямой, а сила F постоянна по величине и направлению, то работа силы определится по формуле A= F (S 2 – S 1 )cos α (8.1) Рассмотрим частный случай а) А-работа произведѐнная силой тяжести Рис Пусть действует силана материальную М, перемещающая М в М F=P*mg Выбираем координатный способ задания. При этом Z будет вертикально вниз, тогда Х, Y=0? Z=mg (i) Подставляя в формулы (i) в (8.7) будем иметь d‘A=mgdZ Поэтому в формуле (8.8) криволинейный интеграл превращается в определѐнный, так как нет зависимости между Хи. Тогда А mg (z 2 – z 1 ) (g) Z 1 , Z 2 -аппликаты точек M 1 и М. Разность аппликат Z 2 -Z 1 =± h определяет перемещение точки по вертикали. И формула (g) принимает вид A=±mgh (8.12) Знак «+» выбирается когда точка перемещается в направлении силы тяжести. Из формулы (8.12) видно, что работа не зависит от траектории точки. б) работа, производимая центральной силой. Сила называется центральной, если еѐ линия действует постоянно и проходит через некоторую центральную фиксированную точку (центр притяжения или отталкивания ). Величина центральной силы зависит от расстояния точки до центра притяжения или отталкивания. Например, силы тяготении, силы Куллона и др. Пусть материальная точка М под действием силы F=F(r) , где r расстояние до точки отталкивания. Обозначим единичный векторе) Здесь проекция силы F на е Fr=nþ r F При этом Fr<0 для силы отталкивания. Тогда , если (к) подставить в (8.1) получим d‘A=F*dr=Fr 1/r*r*dr то есть r*dr=d(r 2 /2)=rdr тогда d‘A=Frdr (8.13) согласно (8.3) полная работа имеет вид A= (8.14) r 1 r 2 начальные и конечные расстояния т.М от центра притяжения или отталкивания. Теорема об изменении кинетической энергии материальных точек. Кинетическая энергия материальных точек – сумма кинетических энергий точек образующих систему. Т = ∑ ½ mi ∙ v² ( 8.12 ) i = 1 Если система представляет собой непрерывную среду, то разбиваем ее на n- элементов массой Δmi и принимаем за vi скорость внутренней точки элемента. Найдем приближенную кинетическую энергию. Та Стягиваем каждый элемент в точку, после предельного перехода получим : ⁿ Т = lim ∑ ½Δ mi ∙ v = ½ ∫ v ² dm ( 8.13) n→ ∞ i =1 (m) Распространяем теорему на систему материальных точек. Теорема. Изменение кинетической энергии за некоторый промежуток времени равно работе производимой силами действующими на точки системы за тот же промежуток времени. Доказательство. Рассмотрим систему n, m 1 , m 2 …m n к каждой точке системы можно применить теорему об изменении кинетической энергии точки. Для ой точки ½ mi ∙ vi ² - ½ mi vi ² =Ai ( b ) 2 1 Просуммируем равенство ( b ) по числу точек в системе ⁿ ⁿ ∑ ( ½mi vi² - ½ mi vi² ) = ∑ Ai ( c ) i=1 2 1 i=1 На основании ( 8,12 ) формуле ( с ) придаем вид ⁿ Т - Т = ∑ Ai ( 8.14 ) i=1 Т и Т – значения кинетической энергии в начальный и конечный моменты времени. IX Кинетическая энергия в системе материальных точек §1 Кинетическая энергия. Центр масс. Количество движения системы материальных точек. Придадим формулами) вид более удобный для практического применения при решении задач. Рассмотрим движение точек системы координат как сложное, состоящее из поступательных движений О ξ η ζ ζ Тогда на основании теоремы о сложении скоростей, абсолютная скорость равна vi¯= v 0 ¯ + ui¯ ( a ) Тогда кинетическую энергию системы точек, приняв во внимание ( а ), можно выразить ⁿ ⁿ Т = ∑ ½ mi vi¯ ∙vi¯ = ∑ ½ mi ( v 0 ¯ + u 1 ¯ ) ∙ (v 0 ¯ + ui¯ ) ( b ) i=1 i=1 Расписывая скалярное произведение, получим ⁿ ⁿ Т = ½ v 0 ² ∑ ½ mi vi² + v 0 ∙ ∑ mi ui ( c ) i=1 i=1 при целесообразном выборе начала подвижной системы координат точки О, выражение ( с ) можно упростить, исключив из него третье слагаемое ui¯ = vi¯ - v 0 ¯ = dri¯/ dt –dr 0 ¯ / dt = d / dt ( ri¯ - r 0 ¯) ( d ) ⁿ ⁿ ∑ mi ui = d / dt ∑ mi ( ri¯ - r 0 ¯) ( e ) i=1 i=1 Определим начало подвижной системы координат, приняв за 0 сумму, стоящую в правой части равенства ( е ) ⁿ ∑ mi ( ri¯ - r 0 ¯) = 0 i=1 ⁿ ⁿ ∑ mi ri¯ - r 0 ¯ ∑ mi =0 ( f ) i=1 i=1 Разрешим это уравнение относительно r 0 ¯ ⁿ ⁿ r 0 ¯ = ∑ mi ri¯ / ∑ mi = rc¯ ( 9.1 ) i=1 i=1 Точка, положение которой определяется радиус вектором rc¯ , называется центром масс или центром инерции материальной системы ⁿ m = ∑ mi = rc¯ ( 9.2 ) i=1 Равенство ( с ), при выборе начала подвижной системы координат, масс можно записать так ⁿ Т = ½ mv c ² + ∑ ½ mi ui² ( 9.3 ) i=1 Теорема Кенига Кинетическая энергия системы материальной точки равна энергии поступательного движения системы вместе с ее центром масс сложенной с кинетической энергией системы относительно центра масс С понятием центра масс связано понятие о количестве движения системы Из равенства ( 9.1 ) и ( 9.2 ) ⁿ mri¯ = ∑ mi ri¯ ( g ) i=1 Дифференцируя обе части равенства повремени получим выражение для количества движения системы ⁿ К = mv c ¯ - ∑ mi ui¯ ( 9.4 ) i=1 Количество движения системы материальных точек равно векторной сумме количества движения всех точек системы. Количество движения системы можно вычислять как произведение массы системы на скорость ее центра масс. П. Вычисление кинетической энергии твердого тела для частных случаев его движения. Найдем формулу определяющую кинетическую энергию тела , движущуюся поступательно. При таком движении, скорости всех точек тел одинаково (пи можно принять, что скорости всех точек тела равны скорости его центра масса) Тогда кинетическая энергия тела при поступательном движении согласно (8.13) равна T= V c 2 = m V c 2 (9.5) , где m = – масса тела. Из (9.5) видно, что кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении вычисляется также , как кинетическая энергия точки, масса которой равна массе тела , а скорость равна скорости центра масс тела. 2 0 Вычисление кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Линейные скорости точек тела вращающегося вокруг неподвижной оси определяется по формуле V = wr (b) w - угловая V тела r- расстояние элемента массы dm от оси вращения . Подставим (в) в (8.13), найдем T= w 2 2 dm (c) или T= Izw 2 (9.6) I z = 2 dm (9.7) , где I z - называется моментом инерции тела относительно оси вращения. Итак, кинетическая энергия тела , вращающегося вокруг неподвижной оси равна половине произведения момента сил относительно оси вращения на квадрат угловой скорости. Формула (9.6) аналогична (9.5), только для вращающегося тела вокруг оси. Обе они характеризуют инертные свойства тела. Плоскопараллельные движения тела. Движение, при котором все точки тела движутся параллельно некоторой плоскости, полностью определяется движением проекции тела на эту плоскость, те. на параллельную плоскость движения тела. Рис. 51. M m Поэтому изучение плоскопараллельного движения тела можно заменить изучением движения плоской фигуры и это движение можно разложить на два движения поступательное движение, вместе с выбранным полюсом вращательное движение вокруг полюса. Кинетическая энергия тела, движущегося параллельно, выражается формулой Т = (Она равна кинетической энергии в поступательном движении вместе с центром масс, сложенной с кинетической энергией во вращательном движении вокруг оси, проходящее через центр масс перпендикулярно плоскости движения фигуры. Аналитическая статика. X. Основные свойства произвольной системы сил, действующих на абсолютно твердое тело. Для того чтобы практически применить теорему об изменении кинетической энергии нужно уметь вычислять работу сил, приложенных к абсолютно твердому телу (8.14). Рассмотрим твердое тело, на которое действует n сил. F 2 F n F 1 F i Рис. 52 Найдем сумму элементарных работ, которые производят силы на элементарных перемещениях. Элементарная работа ой силы равна А А n А А d’A i = * d (a) Выберем в теле полюс точку О. из неподвижной точки О, расположенной вне тела, проведем радиусы векторы в произвольную точку тела Аи в полюс О ( ). Из рисунка 52 видно, что = 0 + i ’ следовательно d i = d 0 + d i ’ (в) подставим формулу (в) в формулу (а) найдем d’A i = * d 0 + * d i ’ (с) Из кинематики известно, что скорость любой точки тела равна V i = V 0 + * ’ i (d); Где V 0 – скорость полюса, а - мгновенная угловая скорость вращения тела вокруг полюса. Выражение (d) можно представить иначе = + * i ’ И умножив обе части последнего выражения на dt, получим d I = d 0 + dt * i ’ (e) Отметим, что dt = d - это элементарный угол поворота вокруг оси. Проходящий через точку О и меняющий свое положение в пространстве стечением времени. С учетом этого обозначения выражение (е) принимает вид d i = d 0 +d * ’ i (f) сравнивая формулы (b) и (f) найдем, что d i ’ = d * i ’ (g) Подставив (g) в формулу (c) d’Ai = i * d 0 + I * ( d * i ’ ) (h) В смешанном произведении можно сделать циклическую перестановку сомножителей, на этом основании второе слагаемое в (h) можно переписать так I * ( d * i ’ ) = d * ( i ’ + I ) После чего формула (h) примет вид d’Ai = i * d 0 + d * ( i ’ + I ) (i) Чтобы найти полную работу, производимую всеми силами, действующих на абсолютно твердое тело, надо просуммировать работы, производимые каждой силой d’Ai = = d 0 + ( i ’ * I ) d (j) Векторная сумма сил, действующих на абсолютно твердое тело, называется главным вектором системы. = Векторные произведения, стоящие под знаком второй суммы обозначаем 0 ( i) = i ’ * I (10.2) и назовем моментом силы i относительно точки О. Векторная сумма моментов сил, относительно точки О обозначаемое М = 0 ( i) = i ’ * I (10.3) Называется главным моментом системы сил, относительно точки О. А точка О называется центром моментов. Подставляя формулу (j) в выражения (10.1) и (10.3) получаем d’A= * d 0 + 0 * d (10.4) Равенство (10.4) выражает теорему о работе сил, действующих на абсолютно твердое тело. Теорема. Элементарная работа, произвольной системы сил, приложенных к абсолютно твердому телу, равна сумме двух слагаемых – элементарной работе, производимой главным вектором системы сил, на поступательном перемещении тела, вместе с полюсом, сложенной с элементарной работой, производимой главным моментом системы сил, на вращательном перемещении тела вокруг полюса. 2. Эквивалентные системы сил. Элементы статики. Из формулы (10.4) видно, что элементарная работа сил зависит от главного вектора и главного момента системы сил. Значит, одну и туже элементарную работу на одинаковых произвольных перемещениях могут производить разные системы сил. При этом они будут вызывать одинаковое механическое действие, сообщая кинетической энергии тела одинаковое приращение. Определение. Две системы сил называются эквивалентными, если они производят одинаковую элементарную работу на одинаковых произвольных перемещениях абсолютно твердого тела. Покажем, что эквивалентные системы сил имеют одинаковые главные векторы и главные моменты. Предположим, что даны две системы сил с главными векторами и главными моментами R 1 , M 01 и R 2 , M 02 . Докажем, что главные векторы и главные моменты одинаковы, если эти системы эквивалентны. Рассмотрим элементарные работы, производимые системами 1 и 2, атак как по условию системы сил эквивалентны, то они производят одну и туже работу. d’A= * d 0 + 01 * d (a) d’A = 2 * d 0 + 02 * d (b) Вычтем почленно из равенства (b) равенство (a): ( 2 – 1 ) * d 0 + ( 02 - 01 )* d =0 (c) dro, dφ – произвольны и независимы. Положим d =0 , тогда уравнение (с) примет вид ( 2 – 1 ) * d 0 =0 Вектор dr 0 – произвольна, ее можно выбрать коллинеарной параллельной) разностью – 1 . Тогда для соблюдения равенства (d) необходимо, чтобы первый множитель скалярного произведения был равен нулю ( i – 1 =0 и след. i = 1 ). Аналогично можно показать, что в эквивалентных системах сил равны главные моменты 02 = 01 , что и требовалось доказать. Дадим определение статики, отличного от изложенного введении. Статикой называется раздел теоретической механики, в котором изучаются способы преобразования систем сил, действующих на абсолютно твердое тело, позволяющие заменить заданную систему сил другой системой, ей эквивалентной. Аналитическое определение главного вектора и главного момента. Воспользуемся формулой (10.2) и предположим, что в точке N приложена сила F. 0 ( ) Рис. О 0 N Найдем момент относительно центров моментов точки О в виде 0 ( )= 0 а) 0 ( )- как вектор произведения направленный перпендикуляр к плоскости векторов 0 ив ту сторону откуда вращение тела производимой силой происходит против движения степени часов 0 ( ) / = / 0 / / / 0 * ), те. S параллельно построена на стороны 0 и Перпендикуляр, опущенный из центра моментов Она линию действия силы F называется плечом силы и обозначается h. Момент силы по величине равен произведению силы на плечо. 0 ( )= +/- Fh (10.5) Знак плюс выбирается, если кажущиеся вращения твердого тела под действием силы F происходит против движения стрелки часов. Если линия действия силы пересекает центр моментов, то плечо h = 0 и момент силы также равен нулю. Запишем аналитические формулы, определяющие главный вектор и главный момент. Рассмотрим абсолютно твердое телок которому приложена система F сил. z F 2 F n y F 1 F i (xi,yi,zi) x Рис. Свяжем с телом декартовую систему координат, с центром в точке О,пусть известны координаты точек приложения силы и проекции сил на оси координат Fi (Xi,Yi,Zi). Проектируя левые и правые части равенства (10.1) на оси координат, получим А 2 А n А А) |