Контрольная по высшей математике. Контрольная работа_2_вариант5.docx. Решение Для вычисления данной частной производной, необходимо сначала продифференцировать функцию по y, затем 2 раза по z, а затем по x

• Название: Решение Для вычисления данной частной производной, необходимо сначала продифференцировать функцию по y, затем 2 раза по z, а затем по x
• Анкор: Контрольная по высшей математике
• Дата: 22.05.2023
• Размер: 281.22 Kb.
• Имя файла: Контрольная работа_2_вариант5.docx.doc
• Тип: Решение; #1151005

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ


Кафедра высшей математики


Контрольная работа по курсу

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Вариант 5
Проверил: Выполнил:

Ф.И.О. преподавателя Ст. гр. № __________

Ф.И.О.________________


Минск 2023

Задание1. Вычислить предел функции по правилу Лопиталя.



Решение

Пусть функции f и g определены и непрерывны в некоторой окрестности точки за исключением, быть может, самой точки . Если существует предел , то в целях устранения неопределенности или можно взять две производные – от числителя и знаменателя. При этом значение предела не изменится. Предел тоже должен существовать, в противном случае правило не применимо.

Подставим и получим неопределенность вида .

Найдем обе производные, от числителя и знаменателя.

;

_.

Применим правило Лопиталя и получим:



_Ответ:
Задание2. Вычислить все частные производные второго порядка указанных функций.

_.

Решение

Найдем частные производные первого порядка функции z:

При нахождении считаем аргумент y постоянным:

.

При нахождении считаем аргумент x постоянным:



.

Найдем вторые и смешанную частную производную функции z:

Для того, чтобы найти дифференцируем по x:

.

Для того, чтобы найти дифференцируем по y:



.

Для того, чтобы найти дифференцируем по у:



.

Ответ: ;

;

.
Задание3. Вычислить.

, если

Решение

Для вычисления данной частной производной, необходимо сначала продифференцировать функцию по y, затем 2 раза по z, а затем по x.

При нахождении считаем аргументы z и x постоянными:



.

При нахождении считаем аргументы y и x постоянными:



.

При нахождении считаем аргументы y и x постоянными:



.

При нахождении считаем аргументы y и z постоянными:



.

Ответ: .

Задание4. Вычислить неопределенные интегралы:

_а) ; б) .

Решение

а)

Выражение подведем под знак дифференциала, т.е.:

_.

.

_б)

К данному интегралу применим метод интегрирования по частям:





К полученному интегралу применим метод интегрирования по частям:





.

Получим:

.

Ответ: а) ;

б) .
Задание5. Вычислить определенные интегралы:

а) ; б) .

Решение

а) Применяем универсальную тригонометрическую подстановку:

_{; ; ; ; .}





Используем метод разложения на простейшие. Разложим функцию на простейшие слагаемые:



Приравняем числители и учтем, что коэффициенты при одинаковых степенях x, стоящие слева и справа должны совпадать:







.





.

б)

Введем замену: , тогда , .



.

Ответ: а) ;

б) .
Задание6. Найти общее решение дифференциального уравнения:



Решение



Сделаем замену: , , .

Получим:





Первое решение x=0.

Делим обе части на .









Проинтегрируем:











Учитывая, что , получим: ,

,

,

.

Ответ: ; x=0.
Задание7. Решить задачу Коши при начальном условии :

, .

Решение

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно y, и оно имеет вид: .

Решение будем искать в виде произведения двух функций , где и - неизвестные функции от переменной x. Тогда . Подставив y и в исходное уравнение, получим:

,



Функцию v найдем так, чтобы выражение в скобках равнялась нулю:

,

,

,



Получили уравнение с разделяющимися переменными. Проинтегрируем обе части и получим:

,

,

.

Подставим найденную функцию v в уравнение:

<sub>,

,

.</sub>

Проинтегрируем обе части и получим:

_,

.

Тогда общее решение исходного дифференциального уравнения будет иметь вид:

.

Найдем частное решение при условии:  .

.

Таким образом, частное решение имеет вид:

.

Ответ: .
Задание8. Найти общее решение дифференциального уравнения.



Решение

Это линейное однородное дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами.

Составим характеристическое уравнение и решим его.





; ; <sub>.

Получили 3 действительных корня.</sub>

Общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

,

.

Ответ: .
Задание9. Записать первые четыре члена ряда. Исследовать сходимость числовых рядов.



Решение

Запишем первые четыре члена ряда:

При n=1: .

При n=2: .

При n=3: .

При n=4: .

Вычислим интервал сходимости ряда с помощью признака Даламбера:



, значит, ряд сходится.

Ответ: сходится.
Задание10. Найти радиус и область сходимости степенного ряда.



Решение

Вычислим интервал сходимости ряда с помощью признака Даламбера:

.

.

Радиус сходимости: .

Исследуем сходимость на концах интервала.

1. 
   При x=2:
   

.

Рассмотрим два положительных числовых ряда   и  . Если предел отношения общих членов этих рядов равен конечному, отличному от нуля числу:  , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Возьмем расходящийся ряд .

, значит, ряд тоже расходится.

2. 
   При x=4:
   

.

Рассмотрим первые три члена ряда: .

Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.

а) По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется:

.

б) По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.

.

Второе условие Лейбница выполняется.

Таким образом, рассматриваемый ряд сходится.

Но, т.к. расходящийся ряд, то в данной точке ряд сходится условно.

Область сходимости степенного ряда .

Ответ: , область сходимости степенного ряда .