Термех. Теорит. механика. Введение. Теоретическая механика представляет собой один из разделов общей механики. Механикой называется естественная наука, которая изучает простейшие формы движения вещества
 Скачать 1.71 Mb.
|
|
§.4 Условия равновесия свободного твердого тела Будем говорить, что система сил, действующих на абсолютно твердое тело, уравновешивается, если элементарная работа, производимая этой системой сил на произвольных перемещениях твердого тела, равна нулю. Из теоремы об изменении кинетической энергии следует, что такие силы не изменяют кинетическую энергию системы. Итак, мы можем записать d’A = = 0 (10.8) Это равенство справедливо, если главный вектор в главный момент системы сил равна нулю. = 0; = 0 (10.9) Условие (10.9) называют механическими условиями равновесиями свободного твердого тела. Если главный вектор и главный момент при еѐ равновесии равны нулю, то должны быть равны нулю и их проекции на оси координат. Это аналитические условия равновесия свободного твердого тела. (10.10) и (10.11) называют уравнениями равновесия свободного твердого тела. Из них в статике определяют неизвестные силы. Всего этих уравнений шесть. Значит, и неизвестных компонент вектора силы должно быть не больше шести, если этих неизвестных больше шести, то задачу называют статически неопределенной (или неопределимой) и методом теоретической механики она не решается. Для еѐ решения необходимо привлекать дополнительные зависимости, вытекающие из физических свойств тела. Такие задачи рассматриваются в курсе сопротивления материалов. Как частный случай можно записать условия равновесия для системы сходящихся сил. В этом случае линии действия всех сил пересекаются водной точке. Тогда уравнения (10.11) обращаются в тождества и остаются только уравнения (10.10). П Момент силы, относительно оси Пусть задана прямоугольная декартовая система координат по Сила имеет проекции на оси системы координат в виде x, y, z, а координаты точки приложения этой силы есть (x, у, z). Рассмотрим проекцию момента силы на ось Из этой формулы видно, что величина M z не зависит от координаты z, точки приложения силы и от выбора начала координат на оси O z . M z зависит лишь от взаимного расположения вектора силы и всей оси O z . Аналогично можно записать Эти величины называют моментом силы относительно оси x и относительно оси y соответственно. Найдем момент силы относительно осине обращаясь к аналитической формуле (10.12a). z α A(x, y, z) y h A 1 (x, y, z) x Рис. 55 Спроектируем вектор силы на координатную плоскость Оху (рис. 55). Найдем моменты, создаваемые силой относительно М х М х ( ) = 0, т.к. z =0 и Z=0 Также и М ( ) = 0 (a) Следовательно, полный момент силы относительно точки О направлен вдоль оси О и по своей величине равен моменту силы относительно оси O z , определяемому, как произведение модуля силы на плечо h. М ( = M z = (10.13) Формула (10.13) позволяет найти величину момента силы относительно оси. Рассмотрим, как найти знак относительно момента оси. Момент силы относительно оси положительный, если наблюдателю, смотрящему с положительного конца оси, кажется, что вектор стремится сообщить телу вращения против часовой стрелки, в противном случае знак отрицательный. Отметим, что момент силы относительно оси равен нулю, если проекция силы на плоскость перпендикулярную оси равна нулю, те. в формуле (10.13) . Это означает, что вектор силы коллинеарен оси. С другой стороны момент силы, относительно оси, равен нулю, если линия действия силы пересекает ось. В (10.13) h=0. Все вместе означает, что вектор силы и ось расположены водной плоскости. Все сказанное позволяет утверждать, что момент силы относительно оси равен проекции на эту ось момента силы относительно точки. П. 6 Пара сил и еѐ свойства Рассмотрим особую систему сил, называемую парой сил. Определение Парой сил называется система двух, равных по величине и противоположно направленных параллельных сил, действующих на абсолютно твердое тело. A α B O Рис. 56 Как видно из рисунка 56 главный вектор сил, образующих пару, равен нулю. = + (- ) = 0 (a) Рассмотрим главный момент пары сил, относительно точки О, расположенной произвольно, используя рисунок 56. Главный момент пары сил равен геометрической сумме моментов сил, образующих пару, взятых относительно точки О. (b) Проведя вектора (c) и подставив формулу (св формулу (b) получим значение главного момента пары сил. Главный момент сил, образующих пару, называется моментом пары сил. Из формулы видно, что он не зависит от выбора центра моментов в точке О. Значит, он является свободным вектором и его можно прикладывать в любой точке пространства, не указывая его обозначение индекса. Этот вектор направлен по перпендикуляру к плоскости, в которой лежит пара сил, в ту сторону откуда кажущееся вращение сообщаемое телу парой сил видно происходящим против часовой стрелки. Найдем модуль момента пары сил. См. рис. 56 Как видно из рисунка 56 Следовательно Где h – кратчайшее расстояние между линиями действия сил, образующих пару и называется плечом пары сил. Легко доказать, что пара сил не имеет равнодействующей, те. еѐ нельзя заменить одной парой силы. Правило сложения пар сил Пара сил полностью характеризуется своим моментом и только им. Поэтому любую систему пар сил, расположенных как угодно в пространстве можно заменить равнодействующей парой сил. вектор – момент равнодействующей пары равен векторной сумме моментов, слагаемых пар. Отсюда вытекают условия равновесия пар сил, действующих на абсолютно твердое тело система пар сил, действующих на абсолютно твердое тело, уравновешивается, если момент равнодействующей пары сил равен нулю. Те. если многоугольник моментов пар сил замкнут. П. 7 равновесие системы сил, расположенных в плоскости Пусть система сил расположена в плоскости Для них z i = 0 и Z i =0. Поэтому из системы (10.10) и (10.11) получим три аналитических уравнения равновесия. Остается три уравнения и значит, могут быть найдены только три неизвестных. Глава 11. Основы аналитической механики §1. Принцип Даламбера. Рассмотрим систему, состоящих из материальных точек с массой m 1 , m 2 … m Рис. 57 Если эта система несвободна отбросим связи и заменим их действия силами, равными реакциям связей. На рисунке 57 в каждой точке приложена равнодействующая активных сил и равнодействующая реакций связей После этого точки системы будут свободны и, для каждого из них, будет применим второй закон Ньютона. (i = 1, 2… n) Равенство (а) можно записать так (i = 1, 2… n) Равенство (b) выражает принцип Даламбера. Векторная сумма трех слагаемых, а именно равнодействующей активных сил , равнодействующая реакций связей и слагаемого для всех точек системы равных нулю и системы, находящейся в равновесии. Обозначим через И назовем это слагаемое силой инерции. В этом случае равенство (b) принимает вид Эти равенства выражают принцип Даламбера. В действительности равновесия нет, точки движутся. Поэтому принцип Даламбера формулируется так Активные силы, действующие на точки системы, и реакции связей уравновешиваются силами инерции. Из (11.1) видно, что силы инерции направлены в сторону противоположную ускорения точки. Она не приложена к материальной точке. И по третьему закону Ньютона можно сделать вывод, что сила инерции возникает вследствие противодействие точки, приложенных к телам. Она являются источником активных сил и реакции связей. Если точка системы находится во взаимодействии с несколькими телами, то реально существуют составляющие силы инерции, а сама она равная векторной сумме реальных сил, но приложенных к различным телам фиктивна. Если жена точку действует одно тело, то силы инерции, приложенной к этому телу, реальна. И т.к. она приложена к связи, то равновесие системы, определяемое уравнениями (11.2) воображаемое или фиктивное Кроме декартовой системы координат, описывающей движение точки существуют другие системы координат, позволяющие для некоторых видов движения систем более просто описать движение точки U. Например цилиндрическая система координат. Между прямоугольной декартовой системой координат ( x;y;z) существует зависимость Встречается и сферическая система координат Которую удобно рассматривать при мил, распространение волн. Связь между сферической системой координат и прямоугольной декартовой такова Определение : Обобщѐн., координ. Называется система параметров однозначно определяющая положение всех точек системы в каждой в каждый момент времени . для свободной мат. точки 3 координаты Цилиндрическая система координат сферическая система координат Декарта можно считать обобщенные координаты , которые обозначают Q : q 1 = x ; q 2 = y ; q 3 = z. Для тела вращения вокруг неподвижной оси единственной координатой будет угол поворота q = a. Число независимых обобщѐнных координат, определяется положением точки системы называющиеся количеством степеней свободы системы. Кол – во степеней свободы для свободной мат. Точки N = 3. Для тела вращающегося вокруг неподвижной оси число степеней свободы N = 1. Рассмотрим несвободную мат. точку движущуюся по поверхности. Ур-м поверхности, к- ая явл. связью такова f=(x;y;z)=0. Точка М имеет 2 степени свободы N = 2. Но для изучения движения точки нужно составить 3 уравнения при наличии трѐх независимых величин. А именно две координаты и модуль реакции направленный по поверхности. Лагрант показал, в случае когда на тело наложены геометрические связи можно выбрать обобщенную систему координат, которая позволяет разделить задачу на две отдельные. С начало определить закон движения, а затем определить реакцию связей. Например положение точки М на рисунке 60 могут иметь 2 независимые координаты, называемые координаты Гаусса, которые и будут обобщѐнными координатами. Параметрические уравнения движущейся поверхности имеют вид : X = x(u;v;t) Y= y(u;v;t) ( c ) Z= z(u;v;t) Итак, положение точки системы состоящей из n мат. точек имеющей N степеней свободы, N обобщен. Координат q 1 ;q 2 …q n Число обобщенных координат равно числу степеней свободы. Декарт. корд. Всегда можно выразить однозначно через обобщѐнные. Уравнение (11.3) – параметрическое уравнение связей, с параметром : q j (j=1;2;3…N) аналогично уравнению ( с ) . Если система несвободная, то 3n больше N. Из (11.3) выберем N большое уравнений и решим их относительно обобщен. координат. При этом найдѐм их , как функцию декартовых координата затем подставим их в оставшиеся уравнения. При этом получим k = 3n – N уравнений связывающихся декартовыми координатами x i ; y i ; z i и k то есть уравнения вида Которые определяют нестационарные связи. То есть мы имеем автоматическое удовлетворение тем условиям , которые налагают связи на движущиеся точки системы. Систему трѐх скалярных уравнений (11.3) можно заменить одной векторной зависимостью Время t входит в (11.3) и (11.5) если связи нестационарные. СКОРОСТИ Из кинематике известно что Учитывая что вектор r есть сложная функция времени, получим: Определение : производная от обобщенных. координат по t называют обобщѐнной скоростью и обозначают так подставив (11.6) в формулу (е) получим V i- той Найдем частные производные скорости по обобщѐнным скоростям Или кратко : Обобщѐнные силы Определение Возможными перемещениями называют весьма малые одновременные перемещения допускаемые связями наложенные на точки системы. При сообщение точке возможного движения силы прил. к точке не применяются. Определение : Действительными перемещениями называются весьма малые перемещения соответствующие действительному закону движения точек системы . Действительные перемещения происходят во времени и под действиями сил приложенных к точкам системы. Возможные - б Действительные - dr Сообщим обобщенным координатам приращения q 1 + б, … б Новый радиус будет подчин. Как ив Отсюда можем найти бr 2 К понятию обобщенных сил придѐм выразив бА, через обобщенные координаты , в виде скалярного произведения действующих сил системы Используя (11.9) формулу (в) запишем в виде Выражение Называется обобщенной силой Тогда элементарная работо (11.10) представлена так Коэффициент Q 1 ;Q 2 …Q N при приращение обобщенные координаты в (11.12) назвали обобщенными силами несмотря на то что они не всегда имеют размерность силы. Определение обобщенной силой называется величина , обладающая следующими свойствами - Произведение обобщенной силы на приращение соотв. ей обобщѐнные координаты элементарной работы произведѐнная силами на перемещение точек системы определенный изменением этой силы. Для идеальных связей обобщенные силы зависят лишь от активных сил и не зависит от реакции связей. f dv r ^ |