Введение в дисциплину Математическое моделирование
 Скачать 487.07 Kb.
|
|
4 ГЛАВА 1. Введение в дисциплину «Математическое моделирование» 1.1. Метод моделирования При познании окружающего мира человек имеет дело не непосредствен- но с реальными объектами, а с их образами, сформированными с помощью ор- ганов чувств, измерительных приборов, аналитического оборудования, оргтех- ники и абстрактного мышления. Все предметы, явления, процессы окружающего мира, на которые направлена человеческая деятельность, называются объектами. Объекты мате- риального мира существуют вне нашего сознания и взаимодействуют между собой и внешней средой. Познание осуществляется посредством ощущений, которые создают в нашем сознании образы материальных объектов. Объекты материального мира сложны и многообразны. Отражение всех их свойств в создаваемых, изучаемых и используемых образах весьма затруд- нительно, да и не нужно. Важно, чтобы образ объекта содержал черты, наибо- лее важные для его использования. В узком смысле моделирование –это метод научного исследования (по- знания) окружающего нас мира, заключающийся в подмене реальных объектов или явлений их заведомо упрощенными образами (моделями) с целью изучения этих образов и последующего переноса полученных результатов и выводов на объекты и явления реального мира. В широком смысле моделирование представляет собой научную дисци- плину, в рамках которой изучаются методы построения и использования моде- лей для познания реального мира. Методом моделирования называется замена объекта-оригинала объек- том-заместителем, обладающим определенным сходством с оригиналом, с це- лью получения новой информации об оригинале. Моделью называется объект-заместитель объекта-оригинала, предназна- ченный для получения информации об оригинале. 5 Связь (отношение) между объектом реального мира и его моделью можно проиллюстрировать графически с помощью укрупненного цикла моделирова- ния (рисунок 1.1). Рисунок 1.1 – Укрупненный цикл моделирования 1.2. Системный подход к моделированию Изучаемые объекты, как правило, очень сложны. Для упрощения их изу- чения удобно разбить их на части, и изучать каждую из частей отдельно. При этом важно учитывать, что части находятся во взаимодействии и не являются независимыми друг от друга. Для правильного описания поведения взаимодей- ствующих объектов используется системных подход, заключающийся пред- ставления сложного объекта в виде системы взаимодействующих элементов. Системой называется совокупность взаимодействующих элементов, объединенных наличием общей цели.Элементы системы имеют связи как меж- ду собой, так и с внешней средой (объектами, не принадлежащими к системе). В системе могут быть выделены подсистемы. Подсистемой называется часть системы, имеющая собственную (локальную) цель, согласованную с це- лью системы. Элементом называется неделимая часть системы.Иерархии под- систем соответствует иерархия целей, или дерево целей (схема, отражающая иерархию целей, напоминает перевернутое дерево). 6 Сущность системного подхода к моделированию заключается в един- стве процессов декомпозиции и композиции. Декомпозицией называется метод, основанный на использовании струк- туры системы и позволяющий заменить решение одной большой задачи реше- нием нескольких более простых задач.Декомпозиция системы производится путем последовательного применения структурного и функционального подхо- дов. Структурный подход заключается в моделировании структуры системы, т.е. разбиении ее на подсистемы и элементы; функциональный подход предпо- лагает построение модели каждого элемента на основе анализа его поведения без использования информации о структуре. Композицией называется моделирование связей подсистем и элементов между собой и с внешней средой.Связь между элементами осуществляется че- рез множество параметров, которые для одних элементов являются входными (влияющими на их функционирование), а для других – выходными (описыва- ющими результат их функционирования). 1.3. Классификация видов моделирования Классификацию видов моделирования и, соответственно, моделей (от лат. modulus – мера, образец) можно проводить по разным признакам: по сфере приложения (области применения), по характеру моделируемых объектов, по степени подробности моделей и т.д. В этом случае различают две большие группы моделей, относящихся соответственно к материальному и идеальному моделированию (рисунок 1.2). Материальное моделирование предполагает наличие связи, имеющей материальный характер, между моделью и исследуемым объектом. В матери- альном моделировании можно условно выделить три основные группы мето- дов: пространственное, физическое и аналоговое моделирование. В пространственном моделировании используются модели, предназна- ченные для воспроизведения или отображения пространственных (геометриче- 7 ских) свойств изучаемых объектов. В качестве примеров такой группы моделей можно назвать макеты разнообразных типов (зданий, устройств и т.д.). В физическом моделировании используются модели, предназначенные для воспроизведения динамики процессов, происходящих в изучаемых объек- тах, причем общность процессов, происходящих в объекте исследования и мо- дели, основывается на сходстве их физической природы. Наиболее известным примером физического моделирования является исследование летательных ап- паратов на основе экспериментов в аэродинамической трубе. В аналоговом моделировании используются материальные модели, физи- ческая природа которых отличается от природы исследуемых объектов, но, вместе с тем, они описываются сходными математическими соотношениями, т.е. связь между моделью и объектом основывается на аналогии их математиче- ского описания. Рисунок 1.2 – Классификация видов моделирования Необходимо отметить, что во всех случаях материального моделирования модель – это материальное отражение изучаемого (исходного) объекта. Иссле- дование состоит в материальном воздействии на нее, т.е. в эксперименте с мо- 8 делью. Таким образом, материальное моделирование по своей природе является экспериментальным методом. Идеальное моделирование принципиально отличается от материального, поскольку оно основывается не на материальной аналогии между моделью и изучаемым объектом, а на идеальной, т.е. мыслимой связи между ними. В фор- мализованном моделировании моделями служат системы знаков или образов, вместе с которыми задаются правила их преобразования и интерпретации. В знаковом (символьном) моделировании в качестве моделей используются си- стемы знаков, которые могут существенно отличаться друг от. Важнейшим ви- дом знакового моделирования является математическое моделирование, при использовании которого модель записывается в виде совокупности формул, преобразуемых на основе правил логики и математики. В образном моделировании при построении модели используются такие наглядные элементы, как упругие шары, потоки жидкости, траектории движе- ния тел. Неформализованное моделирование – это анализ проблем разнообразного типа, когда модель не формулируется, а вместо нее используется некоторое, не зафиксированное точно, мысленное ощущение реальности, служащее основой для рассуждения и принятия решений. 1.4. Классификация математических моделей Математические модели относятся к символьным моделям и представ- ляют собой описание объектов в виде математических символов, формул, вы- ражений. При наличии достаточно точной математической модели можно пу- тем математических расчетов прогнозировать результаты функционирования объекта при различных условиях, выбрать из множества возможных вариантов тот, который дает наилучшие результаты Рассмотрим классификацию математических моделей. 1. По способу построения модели подразделяются на аналитические (теоретические), статистические (эмпирические) и комбинированные. 9 Аналитические моделистроятся на основе информации, содержащейся в известных законах природы, например, законах сохранения энергии, массы, импульса, электрического заряда, Ома, Кирхгофа, Архимеда и т.п. Объект, для которого строится аналитическая модель, должен быть хорошо изучен. Как правило, при построении аналитических моделей используются различные до- пущения и упрощения, снижающие точность моделирования. Основным досто- инством аналитических моделей является их универсальность. Статистические моделистроятся на основании обработки эксперимен- тальных данных. Проводится ряд экспериментов, при которых фиксируются значения входных и выходных параметров, после чего производится статисти- ческая обработка результатов экспериментов, на основании которой подбирает- ся математическое выражение, описывающее экспериментальные данные с до- статочной точностью. Основным достоинством статистических моделей явля- ется простота их построения, основным недостатком – низкая универсальность. Наилучший результат дают комбинированные модели, сочетающие до- стоинства аналитических и статистических моделей. 2. Одномерные и многомерные модели различают по количеству вход- ных переменных, входящих в модель. 3. Линейные и нелинейные модели. Для линейных моделей справедлив принцип суперпозиции, согласно которому реакция объекта на суммарное воз- действие равна сумме реакций объекта на элементарные воздействия: n i i n i i x Y x Y 1 1 ) ( (1.1) 4. Статические и динамические модели. В динамических моделях пере- менные зависят от времени, в статических – не зависят. Динамические модели проще статических, и при необходимости они иногда преобразуются в статиче- ские. Статические модели описывают также установившиеся режимы, когда переходные процессы закончились. 10 5. Стационарные и нестационарные модели Стационарные модели описывают процессы, инвариантные относительно времени начала процесса. Нестационарные модели описывают процессы, тече- ние которых зависит от времени их начала. Статические модели являются част- ными случаями стационарных моделей и описывают функционирование систе- мы в установившихся условиях. 6. Модели с параметрами, сосредоточенными или распределенными в пространстве. В моделях с распределенными параметрами переменные зави- сят от пространственных координат, в моделях с сосредоточенными парамет- рами – не зависят. Динамические модели с сосредоточенными параметрами описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Динамиче- ские модели с распределенными параметрами описываются дифференциаль- ными уравнениями с частными производными. 7. Модели, дискретные и непрерывные (во времени). В дискретных мо- делях время принимает фиксированные значения, в непрерывных – любые зна- чения. При использовании дискретных моделей ось времени разбивается на ин- тервалы, границы которых называются опорными моментами времени. Расчет параметров модели производится для опорных моментов времени. 8. Детерминированные и стохастические (вероятностные) модели. Детерминированные модели являются воспроизводимыми: при одинаковых условиях модель всегда дает один и тот же результат. В стохастических моде- лях некоторые параметры являются случайными величинами, и результаты мо- делирования при каждой реализации отличаются друг от друга. 1.5. Свойства математических моделей и требования к ним При разработке математической модели устанавливается ряд требований к ее свойствам, выполнение которых необходимо для ее эффективного исполь- зования. Рассмотрим основные из них. 11 Целенаправленность модели. В модели должны фигурировать парамет- ры, описывающие цель объекта, а так же параметры, с помощью управления которыми можно добиться достижения цели. Точность модели определяется величинами погрешности, с которыми рассчитываются выходные параметры. Погрешности подразделяются на систе- матические и случайные. Систематическая погрешность характеризует среднее отклонение между вычисленными и экспериментальными значениями выход- ного параметра, а случайная (среднеквадратичная) погрешность σ– средне- квадратичное отклонение экспериментальных значений от вычисленных. Непротиворечивость модели характеризует отсутствие абсурдных отве- тов и выводов при использовании модели. Модель проверяется также на проти- воречия между выводами, которые можно сделать из модели и из эксперимен- тальных данных. Реалистичность модели оценивается путем также расчета типовых примеров, для которых заранее известен результат (точный или ориентировоч- ный). Устойчивостью модели называется слабая чувствительность к погреш- ностям ее параметров. Неустойчивость модели является ее свойством и не все- гда свидетельствует о неустойчивости описываемых ею объектов. Удобство использования является одним из основных свойств математи- ческих моделей, что обусловлено самим методом моделирования. Это требова- ние, в частности, должно предусматривать удобство реализации в виде компь- ютерных программ. Универсальность модели обеспечивает описание с помощью нее как можно более широкий класс объектов. Адаптивность и возможность изменения. Модели, обладающие этими свойствами можно корректировать при изменении окружающих условий и со- вершенствовать для улучшения ее свойств. Экономичность, простота, физический смысл. Требование экономич- ности модели подразумевает минимизацию затрат на ее разработку и реализа- 12 цию (в частности, время, необходимое для компьютерных расчетов). Наличие физического смысла полезно для изучения модели с целью избежания возмож- ных ошибок. Принцип простоты заключается в том, что из нескольких моделей с одинаковыми другими свойствами нужно выбрать наиболее простую. Адекватность математической модели является ее интегральным свойствам, объединяющим другие наиболее важные свойства. Если свойства модели удовлетворяют требованиям, говорят, что она адекватна (оригиналу), в противном случае – не адекватна. |