Y только от одной объясняющей переменной X
 Скачать 1.62 Mb.
|
|
i i n 1 i i ⋅ − ⋅ = ⋅ = ∑ ∑ = = Введём в расчетную таблицу дополнительные столбцы J и K для абсолютных и относительных ошибок аппроксимации, подписав их соответственно «e» и «A». В ячейке J2 впишем формулу «=B2-G2», а в K2 – формулу «=abs(J2/B2)». Протянем поочередно формулы по диа- пазонам J2:J11 и K2:K11. Проанализируйте самостоятельно из величи- ны. При каких X в данной модели допускаются наибольшие ошибки? В ячейке K12 получим среднюю относительную ошибку с помо- щью функции СРЗНАЧ. Чтобы полученные значения были выражены в процентах, зададим столбцу относительных ошибок формат «Про- центный». Для этого выделим ячейки J2:J12 и щелкнем левой кнопкой мыши на кнопку панели инструментов. При необходимости зада- дим этим ячейкам формат 2-3 знака после запятой, щелкнув на кнопки или . В ячейке K12 получено значение % 67 , 12 = A , которое удобно от- разить ещё и под таблицей, где сведены все ранее полученные харак- Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование. 31 теристики. Для этого в G14 введем комментарий «Aср. =», а в H14 – формулу «=K12». Допустимой максимальной средней относительной ошибкой обычно считается 8…10%. Данная модель недостаточно точна. Это не значит, что ею нельзя пользоваться. Надо лишь учитывать, что разброс наблюдаемых значений относительно оценочных не мал. Соответ- ственно, могут быть допущены существенные ошибки в прогнозах. 4) Оценим силу связи между X и Y с помощью среднего коэффи- циента эластичности. Т.к. для парной линейной регрессии b x f = ) ( ' , то y x b y x x f Э = = ) ( ' В ячейке G15 введем комментарий «Эср. =», а в ячейке H15 – формулу «=D15*C12/B12». Полученное значение 731 , 0 . − = ср Э означа- ет, что спрос на данный товар неэластичен. При увеличении X на 1% от своего среднего значения Y уменьшится на 0,731% от своего сред- него значения. Сила влияния X (цены товара) на Y (спрос на него) не слишком велика. С ростом цены на данный товар спрос на него падает не слишком значительно. Задача 1.3 Используя условия и результаты решения задач 1.1 и 1.2: 1) спрогнозировать для некоторого продавца спрос на данный товар при цене 18 руб.; 2) в каких пределах может варьироваться реальный спрос у этого про- давца (с 95% надежностью) при заданной цене; 3) в каких пределах может варьироваться средний спрос у всех продав- цов, установивших такую цену; 4) найти для данной модели (с 95% надежностью) диапазоны возможных значений оценок коэффициента регрессии b и дисперсии ошибок 2 σ Решение. 1) Имея уравнение парной линейной регрессии (задача 1.1), мож- но осуществлять прогнозирование спроса на товар при заданной цене. Решение будем продолжать в том же файле Microsoft Excel, что и зада- чи 1.1, 1.2. Условное математическое ожидание этого спроса, т.е. ) ( 18 Y M x = оценивается групповой средней 18 ˆ = x y , которую можно получить под- становкой x=18 в уравнение регрессии: Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование. 32 602 , 50 18 63 , 1 949 , 79 ˆ 18 = ⋅ − = = x y Процесс решения в Microsoft Excel далее подробно описываться не будет. Результаты решения приведены на рис.1.22. Таким образом, для продавца, установившего цену 18 руб., спрос на товар будет составлять в среднем 50,602 кг. 2) В практической деятельности необходимо знать не только про- гноз среднего значения, а весь диапазон его возможных значений. Например, для конкретного продавца важно знать, в каких пределах может вероятнее всего находиться спрос на его товар. Это можно оце- нить 95%-ым доверительным интервалом для прогнозов индивидуаль- ного значения * o y : o o y n o o y n o s t y y s t y ˆ 2 ; 1 * ˆ 2 ; 1 ˆ ˆ − − − − + ≤ ≤ − α α , где ( ) ∑ = − − + + = n i i o y x x x x n s s o 1 2 2 2 2 ˆ ) ( ) ( 1 1 – дисперсия индивидуальных значений; 2 ; 1 − − n t α – t- критерий Стьюдента (таблица 2 приложения); 2 2 ) ˆ ( 1 2 1 2 2 − = − − = ∑ ∑ = = n e n y y s n i i n i i i – выборочная остаточная дисперсия ( оценка дисперсии ошибок); i yˆ – групповая средняя, вычисленная по уравнению регрессии; i i i y y e − = ˆ – выборочные оценки возмущений (остатки, невязки). Для нахождения искомого доверительного интервала необходимо знать квадраты остатков i e , по которым вычисляется выборочная оста- точная дисперсия 2 s Дополним расчетную таблицу задач 1.1 и 1.2 дополнительным столбцом L, в котором вычислим квадраты текущих остатков, введя в L2 формулу «=J2*J2» и протянув её по ячейкам L2:L11. Сумму квад- ратов остатков вычислим в ячейке L13, щелкнув на кнопку суммирова- ния панели инструментов и выделив диапазон L2:L11. Выборочную остаточную дисперсию 2 s вычислим под таблицей. В ячейке C23 под- пишем комментарий «s2=». В ячейке D23 – формулу «=L13/(B14-2)». Для нахождения 2 ˆ o y s требуется еще ∑ = − n 1 i 2 i ) x x ( Поэтому введём еще столбец M квадратов разностей текущих и среднего значений X. Формула для ячейки M2 – «=(C2-$C$12)^2», которую протянем по диапазону M2: M11, а в ячейке M13 получим искомую сумму. Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование. 33 Дисперсию индивидуальных значений 2 ˆ o y s вычислим в ячейке F23, запрограммировав её формулу «=D23*(1+1/B14+(B23- C12)^2/M13)». t- критерий Стьюдента 2 ; 1 − − n t α определим по таблице 2 приложения для % 95 1 = − = α γ и 8 2 10 2 n = − = − степеней свободы: 31 , 2 t 8 ; 95 , 0 = и впишем вручную в ячейки C24 и D24. Минимальное ( min y ) и максимальное ( max y ) значения спроса вы- числим в ячейках E24:F25, введя формулы «=B24– D24*КОРЕНЬ(F23)» и «=B24+D24*КОРЕНЬ(F23)» (обратите внима- ние на то, что для расчетов нужна не дисперсия 2 ˆ o y s , а среднее квадра- тичное отклонение 2 ˆ ˆ o o y y s s = ). 935 , 65 269 , 35 * ≤ ≤ o y Т.е. у данного продавца, продающего товар по цене 18 руб., спрос не опустится ниже 35,269 кг и не превысит 65,935 кг (с 95%-ной надежностью). Результаты показаны на рис.1.22. Полученный диапазон довольно широк, т.к. для одного продавца возможны отдельные значительные отклонения практических резуль- татов от предсказанных. 3) Определим, в каких пределах будет находиться средний спрос у всех продавцов, установивших на товар цену 18 руб. Доверительный интервал для условного математического ожида- ния: y n x y n s t y y M s t y ˆ 2 ; 1 ˆ 2 ; 1 ˆ ) ( ˆ − − − − + ≤ ≤ − α α , где ( ) ∑ = − − + = n 1 i 2 i 2 о 2 2 yˆ ) x x ( ) x x ( n 1 s s – оценка дисперсии групповых сред- них. Как видно, формулы схожи с приведенными в предыдущем пунк- те. Воспользовавшись этим, не будем программировать вычисления заново, а скопируем формулу ячейки F23 (в строке формул) в ячейку H23, а затем подправим: «=D23*(1/B14+(B23-C12)^2/M13)». Анало- гично поступим с ячейками G24:H25 для вывода минимального и мак- симального значений спроса. В H24 впишем формулу «=B24- D24*КОРЕНЬ(H23)», а в H25 - формулу «=B24+D24*КОРЕНЬ(H23)». Получится следующий диапазон: Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование. 34 426 , 55 ) ( 778 , 45 ≤ ≤ y M x Т.е. средний спрос для продавцов, продающих товар по цене 18 руб., не опустится ниже 45,778 кг и не превысит 55,426 кг (с 95%-ной надежностью). Результаты показаны на рис.1.22. Полученный диапа- зон для средних значений гораздо уже, чем для индивидуальных зна- чений. Действительно, отдельные даже значительные выбросы в кон- кретном наблюдении гасятся при осреднении результатов за счет остальных наблюдений (особенно при большой выборке). Рис. 1.22 4) В расчетах могут быть использованы результаты других наблюдений. Например, данные могут быть взяты у других аналогич- ных продавцов, или у тех же, но в другой близкий момент времени. Тогда могут получиться несколько иные, хотя и близкие к полученным выше, оценки коэффициентов регрессии и других её параметров. Вы сами можете это проверить, немного исправив в построенной модели некоторые данные (не забудьте потом отменить исправления!). Поэто- му вызывает интерес диапазон возможных изменений оценок парамет- ров регрессии. Доверительный интервал для коэффициента регрессии ∑ ∑ = − − = − − − + ≤ ≤ − − n i i n n i i n x x s t b b x x s t b 1 2 2 ; 1 1 2 2 ; 1 ) ( ˆ ) ( ˆ α α Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование. 35 Практически все исходные данные для этого уже получены. В ячейках I23:I24 подпишем комментарии, а в J23:J24 – введем расчет- ные формулы «=D15–D24*КОРЕНЬ(D23)/КОРЕНЬ(M13)» и «=D15+D24*КОРЕНЬ(D23)/ КОРЕНЬ(M13)» ( вспомните, что можно использовать копирование формулы). В результате 095 , 1 b 166 , 2 − ≤ ≤ − Доверительный интервал для дисперсии ошибок 2 σ определяется ( здесь 05 , 0 95 , 0 1 1 = − = − = γ α ): 2 2 ; 2 1 2 2 2 2 ; 2 2 − − − ≤ ≤ n n s n s n α α χ σ χ Значения критерия Пирсона 2 χ определим по таблице 3 прило- жения (отсутствующие в приведенной таблице значения можно полу- чить приближённо аппроксимацией): 53 , 17 2 8 ; 025 , 0 2 2 n ; 2 = = − χ χ α , 18 , 2 2 8 ; 975 , 0 2 2 n ; 2 1 = = − − χ χ α Впишем их вручную в ячейки С25:D26. Расчеты проведем в ячейках K24:L25, введя соответствующие формулы «=B14*D23/D25» и «=B14*D23/D26». В результате получим интервалы для дисперсии и стандартного отклонения ошибок: 095 , 182 645 , 22 2 ≤ ≤ σ , 494 , 13 759 , 4 ≤ ≤ σ Результаты показаны на рис.1.22. Задача 1.4 Выполнить задачи 1.1 и 1.2, используя встроенные функции и Пакет анализа Microsoft Excel. Решение. 1) Проведенные выше вычисления можно выполнить гораздо быстрее, если воспользоваться встроенными в Microsoft Excel возмож- ностями. Продолжим работать в файле задач 1.1, 1.2, 1.3. Коэффициент корреляции r вычислим функциейКОРРЕЛ. Под- пишем необходимые комментарии и встанем для вычислений на Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование. 36 Рис. 1.23 ячейку С28. Вызовем ма- стер функций, щелкнув на кнопку В категории « Статистические» выбе- рем функцию КОРРЕЛ ( рис.1.23). В раскрыв- шемся далее окне этой функции (рис.1.24) зада- дим диапазоны ячеек с данными «Массив 1» – «C2:C11» и «Массив 2» – «B2:B11» ( вписать вруч- ную или выделить мыш- кой нужный диапазон ячеек). В ячейке С28 получим результат 928 , 0 − = r ( см. далее рис.1.27), равный полученному ранее в задаче 1.1. 2) Для нахождения коэффициентов регрессии воспользуемся функцией ЛИНЕЙН из категории «Статистические». Вычисления проведём в ячей- ках A29:D29. Подпишем ком- ментарии и выде- лим ячейки C29:D29 для вы- вода результатов расчета bˆ и aˆ В окне функции ( рис.1.25) зададим диапазоны исходных данных: в поле «Изв_знач_y» – «B2:B11», в поле «Изв_знач_x»– «C2:C11». Остальные поля – пустые. Нажимать на кнопку «OK» надо при нажатых клавишах Ctrl+Shift. По- лучившиеся значения (рис.1.27) 630 , 1 |