Задачи МФТИ. З ада ч ифизикоматематических олимпиад 2017
 Скачать 420.59 Kb.
|
|
3. Чиполлино наклеивает все свои марки в новый альбом. Если он наклеит помарок на каждый лист, то все его марки в альбом не поместятся, а если помарок на каждый лист, то по крайней мере один лист останется пустым. Если преподнести Чиполлино в подарок точно такой же альбом, на каждом листе которого наклеено помарки, то у него станет ровно 900 марок. Сколько марок сейчас у Чиполлино? (Все марки имеют один и тот же раз мер.) 4. При каких значениях параметра a решением неравенства − a| 6 √ x − 3 является отрезок длины Найдите количество 18-значных чисел, содержащих только цифры “3”, “5” и “8” (при этом каждая цифра встречается хотя бы один раз) таких, что цифр “3” ровно шесть, и они идут подряд. 6. Точки F и L лежат на сторонах AC и BC треугольника ABC соответственно, причём AF : F C = 4 : 5. Отрезки BF и AL пересекаются в точке Q; площади треугольников BQL и BAC относятся как 1 : 25. Найдите расстояние от точки L до прямой если расстояние от точки Q до прямой AC равно 12. 7. Пиноккио выбрал по 6 целых чисел из каждого промежутка 40], [41; 80], [81; 120], [121; 160]. Оказалось, что разность никаких двух выбранных чисел не делится на 40. Какое íàèìåíüøåå значение может принимать сумма двадцати четырёх выбранных Пиноккио чисел 14 МАТЕМАТИКА ЗАДАЧИ Билет БИЛЕТ 3, 10 класс 1. Парабола y = 2x 2 − 5x + 1 пересекает прямые y = −1, y = = 4 и y = a, высекая на каждой из прямых отрезок. При каких значениях параметра a из этих трёх отрезков можно составить прямоугольный треугольник? 2. Найдите количество 16-значных чисел, содержащих только цифры “3”, “4” и “9” (при этом каждая цифра встречается хотя бы один раз) таких, что цифр “9” ровно четыре, и они идут подряд. 3. Дан четырёхугольник ABCD. Внутри него расположены три попарно касающиеся окружности одинакового радиуса ω 1 , и ω 3 , причём касается сторон AD и DC, касается сторон DC и, а касается сторон CB, BA и а) Найдите радиусы окружностей, если известно, чтоб) Найдите угол AOB, где O — центр окружности При каких значениях параметра a решением неравенства − 2a| 6 √ x − 1 является отрезок длины Несколько рабочих выполняют работу задней. Если бы их было на 2 человека больше и каждый работал бы на 1 час вдень дольше, то они выполнили бы эту работу задень. Если бы их было ещё на 4 человека больше и они работали бы ещё на час вдень дольше, они выполнили бы эту же работу за 15 дней. Сколько было рабочих (Производительность всех рабочих оди накова.) 6. Точки F и L лежат на сторонах AC и BC треугольника ABC соответственно, причём AF : F C = 7 : 3. Отрезки BF и AL пересекаются в точке Q; площади треугольников BQL и BAC относятся как 7 : 36. Найдите расстояние от точки L до прямой если расстояние от точки Q до прямой AC равно 3. 7. Пиноккио выбрал по 6 целых чисел из каждого промежутка 30], [31; 60], [61; 90], [91; 120]. Оказалось, что разность никаких двух выбранных чисел не делится на 30. Какое наибольшее значение может принимать сумма двадцати четырёх выбранных Пиноккио чисел МАТЕМАТИКА ЗАДАЧИ Билет 4 БИЛЕТ 4, 10 класс 1. Парабола y = 3x 2 − 4x + 2 пересекает прямые y = 17, y = = 1 и y = a, высекая на каждой из прямых отрезок. При каких значениях параметра a из этих трёх отрезков можно составить прямоугольный треугольник? 2. Найдите количество 20-значных чисел, содержащих только цифры “1”, “5” и “6” (при этом каждая цифра встречается хотя бы один раз) таких, что цифр “5” ровно десять, и они идут подряд. 3. Дан четырёхугольник ABCD. Внутри него расположены три попарно касающиеся окружности одинакового радиуса ω 1 , и ω 3 , причём касается сторон AD и DC, касается сторон DC и, а касается сторон CB, BA и а) Найдите радиусы окружностей, если известно, чтоб) Найдите угол AOB, где O — центр окружности При каких значениях параметра a решением неравенства − a| 6 √ x − 2 является отрезок длины Несколько рабочих выполняют работу задень. Если бы их было на 2 человека больше и каждый работал бы на 1 час вдень дольше, то они выполнили бы эту работу задней. Если бы их было ещё на 4 человека больше и они работали бы ещё на час вдень дольше, они выполнили бы эту же работу за 10 дней. Сколько было рабочих (Производительность всех рабочих оди накова.) 6. Точки F и L лежат на сторонах AC и BC треугольника ABC соответственно, причём AF : F C = 2 : 7. Отрезки BF и AL пересекаются в точке Q; площади треугольников BQL и BAC относятся как 8 : 21. Найдите расстояние от точки L до прямой если расстояние от точки Q до прямой AC равно 13. 7. Пиноккио выбрал по 7 целых чисел из каждого промежутка 50], [51; 100], [101; 150], [151; 200]. Оказалось, что разность никаких двух выбранных чисел не делится на 50. Какое наибольшее значение может принимать сумма двадцати восьми выбранных Пиноккио чисел 16 МАТЕМАТИКА ЗАДАЧИ Билет БИЛЕТ 5, 11 класс 1. Парабола y = пересекает прямые y = 98, y = 18 и y = высекая на каждой из прямых отрезок. При каких значениях параметра a из этих трёх отрезков можно составить треугольник с углом Найдите наибольшее и наименьшее значения функции) = sin 3x · sin 7x − sin 2 x + cos 2 5x + Найдите количество 17-значных чисел, содержащих только цифры “0”, “7” и “8” (при этом каждая цифра встречается хотя бы один раз) таких, что цифр “8” ровно семьи они идут подряд. 4. Дан четырёхугольник ABCD. Внутри него расположены три попарно касающиеся окружности одинакового радиуса ω 1 , и ω 3 , причём касается сторон AD и DC, касается сторон DC и, а касается сторон CB, BA и а) Найдите радиусы окружностей, если известно, чтоб) Найдите угол AOB, где O — центр окружности в) Пусть дополнительно известно, что AO · BO = 58. Найдите AB. 5. Решите неравенство log √ x+7−x (x + 4) > Точки F и L лежат на сторонах AC и BC треугольника ABC соответственно, причём AF : F C = 2 : 5. Отрезки BF и AL пересекаются в точке Q; площади треугольников BQL и BAC относятся как 5 : 12. Найдите расстояние от точки L до прямой если расстояние от точки Q до прямой AC равно 6. 7. Пиноккио выбрал по 6 целых чисел из каждого промежутка 45], [46; 90], [91; 135], [136; 180], [181; 225]. Оказалось, что разность никаких двух выбранных чисел не делится на 45. Какое наименьшее значение может принимать сумма тридцати выбранных Пиноккио чисел МАТЕМАТИКА ЗАДАЧИ Билет 6 БИЛЕТ 6, 11 класс 1. Парабола y = пересекает прямые y = 169, y = 64 и y = высекая на каждой из прямых отрезок. При каких значениях параметра a из этих трёх отрезков можно составить треугольник с углом Найдите наибольшее и наименьшее значения функции) = sin 5x · sin 9x − sin 2 7x − cos 2 x − Найдите количество 18-значных чисел, содержащих только цифры “0”, “5” и “9” (при этом каждая цифра встречается хотя бы один раз) таких, что цифр “5” ровно шесть, и они идут подряд. 4. Дан четырёхугольник ABCD. Внутри него расположены три попарно касающиеся окружности одинакового радиуса ω 1 , и ω 3 , причём касается сторон AD и DC, касается сторон DC и, а касается сторон CB, BA и а) Найдите радиусы окружностей, если известно, чтоб) Найдите угол AOB, где O — центр окружности в) Пусть дополнительно известно, что AO · BO = 42. Найдите AB. 5. Решите неравенство log √ x+3−x (x + 5) > Точки F и L лежат на сторонах AC и BC треугольника ABC соответственно, причём AF : F C = 3 : 4. Отрезки BF и AL пересекаются в точке Q; площади треугольников BQL и BAC относятся как 1 : 16. Найдите расстояние от точки L до прямой если расстояние от точки Q до прямой AC равно 9. 7. Пиноккио выбрал по 5 целых чисел из каждого промежутка 35], [36; 70], [71; 105], [106; 140], [141; 175]. Оказалось, что разность никаких двух выбранных чисел не делится на 35. Какое наименьшее значение может принимать сумма двадцати пяти выбранных Пиноккио чисел 18 ФИЗИКА ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ Ф ИЗ ИК А Критерии оценивания задач Заключительный этап олимпиады Phystech.International, 2017 17 декабря 2017 г. Максимальная сумма баллов для каждой задачи — Билеты 1, 2 (9 класс) Задача Критерии оценивания К-во очков 1. Выражение длины го вагона через и τ 1 Выражение длины го вагона через V 0 , и τ 2 Правильный аналитический ответ 3 Правильный численный ответ 1 2. Правильно записаны все необходимые уравнения 4 Правильный аналитический ответ 4 Правильный численный ответ 2 3. 2-й закон Ньютона (для угла α) 4 ЗСЭ 3 Правильный аналитический ответ 2 Правильный численный ответ 1 4. Правильно записаны все уравнения 6 Правильный аналитический ответ 3 Правильный численный ответ 1 5. Правильно записаны все уравнения 6 Правильный аналитический ответ 3 Правильный численный ответ 1 Билеты 3, 4 (10 класс) Задача Критерии оценивания К-во очков 1. Правильный аналитический ответ на 1 вопрос 4 Правильный численный ответ на 1 вопрос 1 Правильный аналитический ответ на 2 вопрос 4 Правильный численный ответ на 2 вопрос 1 2. Правильно записан ЗСИ 3 Правильнозаписан ЗСЭ 3 Правильный ответ на 1 вопрос ФИЗИКА ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 19 Правильный ответ на 2 вопрос 2 3. Есть идея перехода в П.С.О. бруска и сам переход. Или правильно записаны ЗСИ и ЗСЭ для конечной массы бруска 5 Получен правильный результат при использовании ИСО бруска или путем устремления массы бруска к ∞ 5 4. Правильный аналитический ответ на 1 вопрос 4 Правильный численный ответ на 1 вопрос 1 Правильный аналитический ответ на 2 вопрос 4 Правильный численный ответ на 2 вопрос 1 5. Правильный аналитический ответ на 1 вопрос 4 Правильный численный ответ на 1 вопрос 1 Правильный аналитический ответ на 2 вопрос 4 Правильный численный ответ на 2 вопрос 1 Билеты 5, 6 (11 класс) Задача Критерии оценивания К-во очков 1. Есть понимание, что в верхней точке скорость не 0 Правильно записаны все необходимые уравнения 4 Аналитический ответ 3 Численный ответ 1 2. Ответ на й вопрос 5 Ответ на й вопрос 5 3. Аналитический ответ на й вопрос 5 Численный ответ на й вопрос 1 Аналитический ответ на й вопрос 3 Численный ответ на2-й вопрос 1 4. Ответ на й вопрос 5 Ответ на й вопрос 5 5. Ответ на й вопрос 4 Ответ на й вопрос 3 Ответ на й вопрос 3 ПРИМЕЧАНИЕ. Правильные аналитические ответы можно получить разными путями. Правильный численный ответ — один 20 ФИЗИКА ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ Билет ФИЗИКА bbБИЛЕТ 1, 9 класс 1. Ответ. v 0 = τ 2 2 + 2τ 1 τ 2 − τ 2 1 τ 1 τ 2 (τ 1 + τ 2 ) L = 1,5 2 + 2 · 1,5 − 1 1,5 · 2,5 · 12 = = 13,6 м/c. Решение. a < 0; L = v 0 τ 1 + aτ 2 1 2 ; L − v 0 τ 1 = aτ 2 1 2 ; 2L = v 0 (τ 1 + τ 2 ) + a(τ 1 +τ 2 ) 2 2 ; 2L − v 0 (τ 1 + τ 2 ) = a(τ 1 +τ 2 ) 2 2 ⇒ ⇒ L − v 0 τ 1 2L − v 0 (τ 1 + τ 2 ) = τ 2 1 (τ 1 + τ 2 ) 2 ; L(τ 1 + τ 2 ) 2 − v 0 τ 1 (τ 1 + + τ 2 ) 2 = 2Lτ 2 1 − v 0 τ 2 1 (τ 1 + τ 2 ) ; v 0 = τ 2 2 + 2τ 1 τ 2 − τ 2 1 τ 1 τ 2 (τ 1 + τ 2 ) L = = 1,5 2 + 2 · 1,5 − 1 1,5 · 2,5 · 12 = 13,6 м/c. 2. Ответ. T = v 2 0 + ( g τ ) 2 − v 2 2 g 2 τ = 0,76 Решение v 0 cos α, v y = v 0 sin α − gτ ) ⇒ ⇒ v 2 = v 2 x + v 2 y = v 2 0 cos 2 α + v 2 0 sin 2 α + (gτ ) 2 − 2v 0 sin α · gτ, v 2 = v 2 0 + (gτ ) 2 − 2v 0 sin α · gτ ⇒ sin α = v 2 0 + ( gτ ) 2 − v 2 2v 0 gτ T = v 0 sin α g = v 2 0 + ( g τ ) 2 − v 2 2 g 2 τ = 10 2 + (10 · 0,5) 2 − 7 2 2 · 10 2 · 0,5 = 0,76 Ответ. cos α max = 2 cos 2 α − sin 2 α 2 cos α = 5 4 √ 3 ≈ 0,72 ; α max ≈ ≈ Решение — сила натяжения нити cos α = mg; T = m g cos α ; (1) T − mg cos α = mv 2 l . (2) (1) → (2) : m g cos α − mg cos α = mv 2 l ; ФИЗИКА ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ Билет 1 21 v 2 = gl µ 1 cos α − cos α ¶ = gl sin 2 α cos α . (3) ЗСЭ: mv 2 2 = mgl(cos α − cos α max ). (4) (3) → (4) : gl sin 2 α 2 cos α = gl(cos α − cos α max ). cos α max = cos α − sin 2 α 2 cos α = 2 cos 2 α − sin 2 α 2 cos α = 2 · 3 4 − 1 4 2 · √ 3 2 = = 5 4 √ 3 ≈ 0,72, α max ≈ Ответ. T = (M + m)c∆t m 1 λ τ ≈ 9,5 мин. Решение. Приток тепла = (M + m)c∆t (2) (1) → (2) : λm 1 τ T = (M + m)c∆t. T = (M + m)c∆t m 1 λ τ = 0,15 · 4200 · 1 10 −3 · 3,3 · 10 5 · 5 ≈ 9,5 мин. 5. Ответ. P 1 = 4V 2 9r = 28,8 Вт. Решение. 1 2 3 4 A B 1 2 3 Рис. Сопротивление верхнего участка r + r 24 = r + r 2 = 3 2 r. (1) 22 ФИЗИКА ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ Билет 2 I 1 = U r 124 = U 3/2r = 2 3 U r . (2) P 1 = I 2 1 r = 4V 2 9r = 4 · 18 2 9 · 5 = 28,8 Вт. БИЛЕТ 2, 9 класс 1. Ответ. T = τ 2 2 + 2τ 1 τ 2 − τ 2 1 2(τ 2 − τ 1 ) = 4,25 Решение < 0; L = v 0 τ 1 + aτ 2 1 2 ; L − aτ 2 1 2 = v 0 τ 1 ; 2L = v 0 (τ 1 + τ 2 ) + a(τ 1 +τ 2 ) 2 2 ; 2L − a(τ 1 +τ 2 ) 2 2 = v 0 (τ 1 + τ 2 ) ⇒ ⇒ L − aτ 2 1 /2 2L − a(τ 1 + τ 2 ) 2 /2 = τ 1 τ 1 + τ 2 ; L(τ 1 + τ 2 ) − aτ 2 1 (τ 1 + τ 2 ) 2 = = 2Lτ 1 − a(τ 1 + τ 2 ) 2 τ 1 2 a = 2L(τ 1 − τ 2 ) τ 1 τ 2 (τ 1 + τ 2 ) . (1) v 0 = L − aτ 2 1 /2) τ 1 = L τ 1 − aτ 1 2 . (2) T = v 0 |a| = v 0 −a = τ 1 2 − Lτ 1 τ 2 (τ 1 + τ 2 ) τ 1 · 2L(τ 1 − τ 2 ) ; T = τ 2 2 + 2τ 1 τ 2 − τ 2 1 2(τ 2 − τ 1 ) = 1,5 2 + 2 · 1,5 − 1 2 · 0,5 = 4,25 Ответ. H = (v 2 0 + ( g τ ) 2 − v 2 ) 2 8 g 3 τ 2 ≈ 2,9 м. |