Задача 1 Докажите, что произведение четырех последовательных целых чисел, сложенное с единицей, есть точный квадрат
 Скачать 38 Kb.
|
|
Олимпиадные задания по математике 11 класс (с решением) Задача 1 : Докажите, что произведение четырех последовательных целых чисел, сложенное с единицей, есть точный квадрат. Задача 2 : Решите уравнение sin44x + cos2x = 2sin4x х cos4x. Задача 3 : Существует ли многогранник с нечетным числом граней, каждая из которых есть многоугольник с нечетным числом сторон? Задача 4 : Докажите, что касательные к гиперболе y = 1/x образуют с осями координат треугольники одной и той же площади. Задача 5 : В каждую клетку квадратной таблицы 25 x 25 вписано произвольным образом одно из чисел 1 или -1. Под каждым столбцом пишется произведение всех чисел, стоящих в этом столбце. Справа от каждой строки пишется произведение всех чисел, стоящих в этой строке. Докажите, что сумма 50 написанных произведений не может оказаться равной нулю.  Решение задач : Задача 1 : Докажите, что произведение четырех последовательных целых чисел, сложенное с единицей, есть точный квадрат. Пусть это 4 последовательных числа: n, n + 1, n + 2, n + 3. Тогда n (n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = ( 2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1 = (n2 + 3n + 1)2. Задача 2 : Решите уравнение sin44x + cos2x = 2sin4x х cos4x. Перенесем в левую часть 2sin4x · cos4x и прибавим и вычтем по cos8x. В результате полученное уравнение можно преобразовать к виду (sin4x – cos4x)2 + cos2x(1 – cos6x) = 0, которое равносильно следующей системе:  Решая второе уравнение и подставляя его решения в первое уравнение, в результате получим решение исходного уравнения x = π/2 + πk . Задача 3 : Существует ли многогранник с нечетным числом граней, каждая из которых есть многоугольник с нечетным числом сторон? Пусть такой многогранник существует. Обозначим за 1, 2, …, число ребер на гранях, тогда 1 + 2 + … – удвоенная сумма всех ребер многогранника, она – четная. А в левой части стоит нечетная сумма слагаемых, каждое из которых – нечетно. Получили противоречие. Значит, такого многогранника не существует. Задача 4 : Докажите, что касательные к гиперболе y = 1/x образуют с осями координат треугольники одной и той же площади. Составим уравнение касательных к гиперболе в точке Т. к.(1/x)' = -1/(x2), то эти уравнения будут иметь вид y = -1/(х02)(x - х0) + 1/х0.(*) Касательная с уравнением (*) пересекает ось абсцисс в точке (х1;0); х1 можно определить из уравнения -1/(х02)(x - х0) + 1/х0= 0. Решая данное уравнение, получим х1 = 2х0. Точка (0; y1) пересечения с осью ординат определяется подстановкой в уравнение (*) значения х = 0. В итоге получим y2 = 2/х0. Отрезки осей координат и касательной составляют прямоугольный треугольник, катеты которого имеют длины а = 2|х0| и b = 2 / |х0|. Площадь данного треугольника равна 2. Задача 5 : В каждую клетку квадратной таблицы 25 x 25 вписано произвольным образом одно из чисел 1 или -1. Под каждым столбцом пишется произведение всех чисел, стоящих в этом столбце. Справа от каждой строки пишется произведение всех чисел, стоящих в этой строке. Докажите, что сумма 50 написанных произведений не может оказаться равной нулю Найдем произведение всех 25 чисел, записанных под каждым столбцом и всех 25 чисел, записанных справа от строчек. Так как в этом произведении каждое из чисел квадратной таблицы входит по два раза, то произведение этих 50 произведений, в каждом из которых стоит по 25 множителей, будет положительным, т. е. равно 1. А так как произведение 50 чисел положительно, то отрицательных сомножителей будет четное число (2, 4, …, 50). Сумма же 50 произведений может быть нулем лишь в случае, когда 25 слагаемых равно 1, а 25 слагаемых равно - 1, т. е. слагаемых с - 1 должно быть нечетное число. А это значит, что сумма 50 написанных произведений не может равняться нулю. |