Задача 1 Имеются выборочные данные 5%ного обследования распределения вкладчиков по размеру вклада в Сбербанке города

Название	Задача 1 Имеются выборочные данные 5%ного обследования распределения вкладчиков по размеру вклада в Сбербанке города
Дата	20.03.2019
Размер	233 Kb.
Формат файла
Имя файла	4634_4540.doc
Тип	Задача #71093

Задача №1

Имеются выборочные данные 5%-ного обследования распределения вкладчиков по размеру вклада в Сбербанке города:

Размер вклада, тыс. руб.	До 40	40-60	60-80	80-100	Свыше 100	Итого
Число вкладов	32	56	92	120	100	400

Найти

а) вероятность того, что средний размер вклада в Сбербанке отличается от его среднего размера в выборке не более чем на 5 тыс. руб. (по абсолютной величине);

б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля вкладов, размер которых менее 60 тыс. руб.

в) объем повторной выборки, при котором те же границы для доли вкладов (см. п. б), можно гарантировать с вероятностью 0,9876. Дать ответ на тот же вопрос, если никаких предварительных данных о рассматриваемой доле нет.

Решение:

Размер вклада, тыс. руб.	До 40	40-60	60-80	80-100	Свыше 100	Итого
Число вкладов	32	56	92	120	100	400
	30	50	70	90	110
	0,08	0,14	0,23	0,3	0,25	1
	2,4	7	16,1	27	27,5	80,00
	200,00	126,00	23,00	30,00	225,00	604,00

Математическое ожидание:

=80,00.

Дисперсия

=604,00.

Среднеквадратическое отклонение

=24,58.

а) Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины с неизвестным законом распределения

,

где

- несмещенная дисперсия.

=605,51.

=24,61.

По условию

=5. Отсюда t= 4,06

По таблице функции Лапласа найдем =2Ф(4,06)= 0,999952.

Ответ: =0,999952.

б) Найдем среднеквадратическую ошибку для доли выборки:

,

здесь w – доля вкладов в выборке, размер которых менее 60 тыс. руб.: w=0,22.

0,0202.

=0,95. По таблице находим

=1,645.

= 0,0332. w-= 0,1868. w+= 0,2532.

Итак, границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля вкладов, размер которых менее 60 тыс. руб.:

.

в) объем выборки, при котором те же границы для доли предприятий, полученной в пункте б), можно гарантировать с вероятностью 0,9876.

Объем бесповторной выборки определяется по формуле:

По таблице находим 2Ф(t)=0,9876, t=2,245.

714.

При отсутствии предварительных данных о рассматриваемой доле используем формулу

. Тогда

784.

Задача №2

По данным задачи 1 требуется, используя критерий

Пирсона при уровне значимости a=0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X– размер вклада в Сбербанке - распределена по нормальному закону. Построить на одном графике гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Решение:

Математическое ожидание:

=80,00.

несмещенная дисперсия

=605,51.

=24,61.

Для расчета вероятностей

попадания случайной величины в интервал

используем функцию Лапласа:

.

Составим расчетную таблицу для вычисления эмпирического значения


менее	40	32	0,05202365	20,809	6,01785	0,08	0,004	0,0021
40	60	56	0,15615115	62,46	0,66822	0,14	0,007	0,0077
60	80	92	0,2918252	116,73	5,23924	0,23	0,012	0,0149
80	100	120	0,2918252	116,73	0,0916	0,3	0,015	0,0149
100	более	100	0,2081748	83,27	3,3613	0,25	0,013	0,0077
Итог		400	1	400	15,3782	1

Имеем:

=15,3782. По таблице найдем

для уровня значимости a=0,05 и m-k-1=5-2-1 степеней свободы:

=5,99146.

Так как

, то гипотеза о нормальном распределении случайной величины не согласуется с опытными данными.

Для построения графика рассчитаем относительные частоты

и плотность распределения

(см. расчетную таблицу).

График

Задача №3

Распределение 110 предприятий по стоимости основных производственных фондов Х млн. руб. и стоимости произведенной продукции Y млн. руб. представлено в таблице:

X/Y	15-25	25-35	35-45	45-55	55-65	65-75	Итог
5-15	17	4					21
15-25	3	18	3				24
25-35		2	15	5			22
35-45			3	13	7		23
45-55					6	14	20
Итого	20	24	21	18	13	14	110

Необходимо:

1. Вычислить групповые средние

и построить эмпирические линии регрессии.

2. предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии;

б) вычислить коэффициент корреляции, на уровне значимости а=0,05, оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;

в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить среднюю стоимость произведенной продукции, если стоимость основных производственных фондов составляет 45 млн. руб.

Решение

Групповые средние находим по формулам:

. Расчеты приведены в таблице:

X/Y		15-25	25-35	35-45	45-55	55-65	65-75	Итог
		20	30	40	50	60	70
5- 15	10	17	4					21	21,9
15-25	20	3	18	3				24	30,0
25-35	30		2	15	5			22	41,4
35-45	40			3	13	7		23	51,7
45-55	50					6	14	20	67,0
Итого		20	24	21	18	13	14	110
		11,5	19,2	30,0	37,2	44,6	50,0