Математика рчяды. Задача 1 Исследовать сходимость числовых рядов а б в г Решение а ряд с положительными членами

• Название: Задача 1 Исследовать сходимость числовых рядов а б в г Решение а ряд с положительными членами
• Анкор: Математика рчяды
• Дата: 03.06.2022
• Размер: 176.75 Kb.
• Имя файла: Matimatika_V5_Vse_Zadachi_Kozlov_-_ryady.docx
• Тип: Задача; #568335

Российский государственный социальный университет

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

по дисциплине «Математика»
_____________________________________________________

ФИО студента	Козлов Михаил Сергеевич
Направление подготовки	10.05.05
Группа	БИТ-С-1-Д-2020

Москва 2022
Задача №1

Исследовать сходимость числовых рядов

а) ; б) ; в) ; г)
Решение:

а) – ряд с положительными членами

Применим признак сравнения.

Рассмотрим ряд . Исследуем его сходимость с помощью признака Коши:



<sub>Так как несобственный интеграл сходится, то и сам ряд сходится.



Тогда</sub>:



Так как больший ряд сходится, то и меньший тоже сходится.

Ответ: ряд сходится
б) – ряд с положительными членами

Применим для исследования признак Даламбера:

;

Так как , то ряд расходится

Ответ: ряд расходится.
в) – ряд с положительными членами

Используем необходимый признак сходимости ряда:



Так как , то ряд расходится.

Ответ: Ряд расходится
г) – знакочередующийся ряд

Применим признак Лейбница: Если в знакочередующемся ряде абсолютные величины членов убывают, а общий член ряда стремится к нулю, то ряд сходится.



1) последовательность, составленная из модулей членов ряда убывающая:



2) ряд сходится.

Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Знакопеременный ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из абсолютных величин его членов.

Исследуем на сходимость ряд .

Применим признак сравнения:

Рассмотрим ряд . Исследуем его на сходимость с помощью интегрального признака Коши:



так как несобственный интеграл расходится, то и ряд расходится.

так как для всех n:


Так как ряд расходится, то больший ряд соответственно тоже расходится. То есть знакочередующийся ряд сходится условно.
Ответ: ряд сходится условно.
Задание 2

Найти интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала

а) ; б)
Решение:

а) ;

Найдем радиус сходимости ряда:





Данный ряд сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству:



Исследуем сходимость ряда на концах данного интервала:

При имеем ряд – ряд с положительными членами.

Исследуем этот ряд с помощью необходимого признака сходимости:


_{Необходимое условие сходимости ряда не выполняется, следовательно, ряд расходится и} не входит в область сходимости ряда.
При имеем ряд – знакочередующийся ряд.

Применим признак Лейбница: Если в знакочередующемся ряде абсолютные величины членов убывают, а общий член ряда стремится к нулю, то ряд сходится.



ряд расходится.

То есть, при исходный степенной ряд также расходится.

Таким образом, – область сходимости степенного ряда.

Ответ:
б) ;

Найдем радиус сходимости ряда:



Данный ряд сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству:



Исследуем сходимость ряда на концах данного интервала:

При имеем ряд – гармонический ряд.

Данный ряд является расходящимся, поэтому не входит в область сходимости ряда.
При имеем ряд – знакочередующийся ряд.

Применим признак Лейбница: Если в знакочередующемся ряде абсолютные величины членов убывают, а общий член ряда стремится к нулю, то ряд сходится.

– члены ряда убывают по абсолютному значению

.

так как абсолютная величина члена ряда стремится к 0 при , то ряд сходится. То есть при исходный степенной ряд сходится. Так как ряд из модулей расходится, то ряд сходится условно.

Таким образом, – область сходимости степенного ряда.

Ответ:

Задача № 3

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем разложения подынтегральной функции в степенной ряд и почленного интегрирования полученного ряда.

Решение:

Разложим подынтегральную функцию в биномиальный ряд по степеням x:

Используем разложение функции в ряд:

, где

_{Так как отрезок интегрирования [0; 0,1] находится внутри интервала сходимости биноминального ряда, то ряд можно почленно интегрировать. Подставляя в интеграл, вышеприведенное разложение подынтегральной функции и почленно интегрируя в указанных пределах, получаем}





Второй член . Поэтому для вычисления приближенного значения интеграла с требуемой точностью достаточно ограничиться только первым членом ряда:


Ответ:

Задание№4

_{Найти три первых, отличительных от нуля, члена разложения в степенной ряд решение} дифференциального уравнения , удовлетворяющего условию

_{Решение:}

Ищем решение в виде ряда:









Получили три ненулевых коэффициента, теперь найдем разложение решения:





Ответ:
Задание №5.

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию, заданную на полупериоде 0, l по косинусам. Построить график функции и график суммы полученного ряда Фурье



Функцию разложить по косинусам кратных дуг.

Решение:

Продолжим данную функцию четным образом на отрезок [– ; 0], то есть рассмотрим функцию





_{Ряд Фурье для} четной функции имеет вид:

; ;

Найдем коэффициенты функции:









Ряд косинусов для функции имеет вид:



_{Изобразим схематически график ряда Фурье:}


Ответ: