Сопротивление материалов. решение. Задача 1 Определить прочность центрально нагруженного каменного столба при различном опирании с учетом жесткой конструктивной схемы здания.
 Скачать 297.98 Kb.
|
|
Задача № 1.1 Определить прочность центрально нагруженного каменного столба при различном опирании с учетом жесткой конструктивной схемы здания. Столб имеет геометрические размеры 51 х77 см, выполнен из бутовой кладки марки 500 на растворе марки 50, высота этажа 7,4 м. Исходные данные № Геометрические размеры Марка кладки Вид каменной кладки Марка раствора Вид перекрытия (способ опирания) b, см h, см H, м В ари ан т 1 500 Бутовая кладка 3 50 Свободно стоящая конструкция 2 51 77 7,4 Решение Расчет ведем согласно СП 15.13330.2012. Каменные и армокаменные конструкции. Актуализированная редакция СНиП II-22-81 (с изменениями № 1, 2). Расчет элементов неармированных каменных конструкций при центральном сжатии следует производить по формуле: 𝑁 ≤ 𝑚 g ∙ 𝜑 ∙ 𝑅 ∙ 𝐴, (1.1) где N – расчетная продольная сила; R – расчетное сопротивление сжатию кладки, определяемое по табл. 2.10; φ – коэффициент продольного изгиба; А – площадь сечения элемента; 𝑚 g – коэффициент, учитывающий влияние длительной нагрузки [1]. 1. Определяем характеристики материалов Расчетное сопротивление сжатию бутовой кладки марки 500 на растворе марки 50, составляет 𝑅 = 1,3 МПа [1]. При меньшем размере прямоугольного поперечного сечения столба ℎ ≥ 30 см коэффициент 𝑚 g следует принимать равным единице [1]. Поскольку заданный столб имеет геометрические размеры 51 × 77 см, следовательно, меньший размер поперечного сечения – 51 см, при этом 51 см ≥ 30 см, значит, 𝑚 g = 1. Коэффициент продольного изгиба φ для элементов постоянного по длине сечения следует принимать по табл. 19 [1] в зависимости от гибкости прямоугольного сплошного сечения: λ h = 𝑙 0 ℎ , (1.2) где h –меньший размер поперечного сечения [1], ℎ = 510 мм; 𝑙 0 – расчетная высота (длина) элемента. Определяем расчетную высоту каменного столба. Столб является свободностоящей конструкцией: 𝑙 0 = 2 ∙ 𝐻, (1.3) где H – высота столба. По формуле (1.3) определяем 𝑙 0 = 2 ∙ 7400 = 14800 мм. Рассчитываем гибкость столба по формуле (1.2) 𝜆 ℎ = 14800 510 = 29,02. Упругая характеристика бутовой кладки при марке 500 на растворе марки 50 согласно[1] составляет α = 1500. Тогда интерполяцией определяем коэффициент продольного изгиба по таблице 19 [1], φ = 0,51 . Площадь столба A = 51 ∙ 77 = 3927 см 2 = 0,3927 м 2 . Поскольку площадь столба равна A = 0,3927 м 2 , что больше, чем 0,3 м 2 , следовательно, коэффициент условий работы 𝛾 𝑐 = 1. 2. Определяем прочность каменного столба По формуле (1.1) определяем прочность каменного столба: 𝑁 = 1 ∙ 0,51 ∙ 1,3 ∙ 0,3927 ∙ 10 3 = 233 кН Вывод: несущая способность каменного столба составляет 233 кН. Задача № 1.2 К тавровому сечению простенка приложена продольная сила N=950 кН с эксцентриситетом е 0 =14 см в заданную сторону. Размеры таврового сечения составляют: b=130 см, b 0 =70 см, h=54 см, h 0 =118 см. Сечение простенка показано на рисунке 1. Высота этажа составляет H=6,0 м. Простенок выполнен из силикатного кирпича марки 125 на растворе марки 25. Выполнить расчет на несущую способность простенка с учетом жесткой конструктивной схемы здания. Перекрытие сборное железобетонное толщиной 220 мм. Необходимо начертить тавровое сечение с указанием характерных размеров сжатой зоны. Рисунок 1 – Поперечное сечение таврового простенка Исходные данные № вар. Геометрические размеры, см е 0 , см Направление эксцентриситета H, м Марка кладки Вид каменной кладки Марка раст вора b b 0 h h 0 В ари ан т 1 М125 Кирпич силикатный 25 2 130 70 118 54 6 14 В сторону полки 6,0 Решение Расчет ведем согласно СП 15.13330.2012. Каменные и армокаменные конструкции. Актуализированная редакция СНиП II-22-81 (с изменениями № 1, 2). Расчет внецентренно сжатых неармированных элементов каменных конструкций следует производить по формуле: 𝑁 ≤ 𝑚 g ∙ φ 1 ∙ 𝑅 ∙ 𝐴 с ∙ ω, (1.4) где 𝐴 с – площадь сжатой части сечения при прямоугольной эпюре напряжений; N – расчетная продольная сила; R – расчетное сопротивление кладки сжатию; φ 1 – коэффициент продольного изгиба для сжатой части сечения, определяемый по фактической высоте элемента в плоскости действия изгибающего момента; 𝑚 𝑔 – коэффициент, учитывающий влияние длительной нагрузки [1]. 1. Определяем геометрические характеристики таврового сечения Площадь поперечного сечения простенка составляет: A = 1,3 ∙ 0,54 + (1,18 − 0,54) ∙ 0,7 = 1,204 м 2 Определяем расстояние центра тяжести таврового сечения простенка от края полки по графику А1 приложения A: α = ℎ 0 ℎ = 0,54 1,18 = 0,458; β = 𝑏 0 𝑏 = 0,7 1,3 = 0,538 → 𝜒 = 0,42; 𝑧 0 = 𝜒 · ℎ = 0,42 ∙ 1,18 = 0,51 м. Определяем расстояние от центра тяжести сечения до его края в сторону эксцентриситета: 𝑦 = 𝑧 0 = 0,51 м. Затем определяем момент инерции таврового сечения относительно его центра тяжести по графику А2 приложения A: 𝐼 = 𝜂𝑏ℎ 3 = 0,06 ∙ 1,3 ∙ 1,18 3 = 0,128 м 4 Радиус инерции сечения равен: 𝑖 = √ 𝐼 𝐴 = √ 0,128 1,204 = 0,326 м. 2. Определяем характеристики материалов Расчетное сопротивление сжатию кладки, выполненной из силикатного кирпича марки 125 на растворе марки 25, составляет 𝑅 = 1,4 МПа [1]. При меньшем радиусе инерции элементов любого сечения i ≥ 8,7см коэффициент 𝑚 𝑔 следует принимать равным единице [1]. Поскольку радиус инерции заданного простенка таврового сечения равен 𝑖 = 0,326 м, при этом 0,326 м ≥ 0, 087 м, значит, 𝑚 𝑔 = 1. Коэффициент продольного изгиба φ для элементов постоянного по длине сечения следует принимать по табл. 19 [1] в зависимости от гибкости элемента: λ i = 𝑙 0 𝑖 , (1.5) где i – наименьший радиус инерции сечения элемента [1], который равен 𝑖 = 0,326 м, 𝑙 0 – расчетная высота (длина) элемента. Определяем расчетную высоту каменного столба. Схема здания жесткая, перекрытие сборное железобетонное толщиной 220 мм: 𝑙 0 = 0,9 ∙ (𝐻 − 𝐻 п ), (1.6) где H – высота этажа. Определяем по формуле (1.6) 𝑙 0 = 0,9 ∙ (6000 − 220) = 5202 мм. Определяем по формуле (1.5) гибкость столба λ i = 5,202 0,326 = 15,96. (1.7) Упругая характеристика кладки при марке керамического камня 125 на растворе марки 25 согласно[1] составляет α =750. Тогда интерполяцией определяем коэффициент продольного изгиба по таблице 19 [1], φ = 0,98 . 3. Определяем площадь сжатой части сечения Площадь сжатой части сечения произвольной формы определяют из условия равенства нулю статического момента этой части сечения относительно оси, проходящей через точку приложения продольной силы N. Для таврового сечения расстояние х от точки приложения силы N до границы сжатой зоны определяют в зависимости от направления эксцентриситета. При эксцентриситете в сторону полки, обозначенном на рис. 4а: х = √ 𝑏 1 𝑐 𝑏 2 (2𝑒 ̸ − 𝑐) + (𝑒 ̸ − 𝑐) 2 , если 𝑒 ̸ < с/2, сжатой будет только часть полки, симметричная относительно точки приложения силы N; тогда х = 𝑒 ̸ Согласно заданию продольная сила приложена с эксцентриситетом 𝑒 0 = 0,14м в сторону полки (рисунок 2). Проверяем условие 𝑒` ≤ с/2: поскольку 𝑒` = 𝑦 − 𝑒 0 = 50 − 14 = 36 см, с/2 = (118 − 54)/2 = 32 см, следовательно, 𝑒` > с/2. Значит, определяем высоту левой сжатой части сечения от приложения продольной силы по формуле (1.8), учитывая приложение Б: х = √ 𝑏 1 с 𝑏 2 (2𝑒` − с) + (𝑒` − с) 2 = √ 130 ∙ 54 70 ∙ (2 ∙ 36 − 54) + (36 − 54) 2 = = 45 см. Тогда общая высота сжатой части сечения составляет: ℎ c = e` + 𝑥 = 50 + 45 = 95 см. Площадь сжатой части таврового сечения равна: 𝐴 c = 𝑏 2 ∙ ℎ c + (𝑏 1 − 𝑏 2 ) ∙ (ℎ c − с ) = 70 ∙ 95 − (130 − 70) ∙ (118 − 54) = 9960 см 2 4. Определяем характеристики сжатой зоны сечения Аналогично определяем момент инерции сжатой зоны таврового сечения относительно его центра тяжести по графику А2 приложения А: α = ℎ 0 ℎ = 0.41 0.95 = 0,43; β = 𝑏 0 𝑏 = 0.7 1,3 = 0,53 → η = 0,06 𝐼 с = η𝑏ℎ 3 = 0,06 · 1.3 · 0,95 3 = 7.93 · 10 −2 м 4 Радиус инерции сечения равен: 𝑖 с = √ 𝐼 с 𝐴 с = √ 7.93 ·10 −2 0.9960 = 0.45 м. Коэффициент продольного изгиба φ для элементов постоянного по длине сечения следует принимать по табл. 19 [1] в зависимости от гибкости элемента [1]: λ iс = 𝑙 0 𝑖 с , (1.7) где 𝑖 с = 0,45 м, 𝑙 0 – расчетная высота (длина) элемента, тогда по формуле (1.7) 𝜆 𝑖с = 5,202 0,45 = 11,56 Интерполяцией определяем коэффициент продольного изгиба по табл. 19 [1], φ с = 1 : φ 1 = φ+φ с 2 = 0,99 Определяем коэффициент ω по табл. 20 [1]: ω = 1 + 𝑒 0 2𝑦 = 1 + 0,14 2 ∙ 0,5 = 1,14 Рисунок 2 – Сжатое сечение 5. Определяем расчетную несущую способность простенка По формуле (1.4) расчетная несущая способность простенка равна: 𝑁 с = 𝑚 𝑔 ∙ φ 1 ∙ 𝑅 ∙ 𝐴 с ∙ ω = 1 ∙ 0,99 ∙ 1,4 ∙ 10 3 ∙ 0,9960 ∙ 1,14 = 1574 кН. Вывод: расчетная продольная сила, приложенная к простенку N = 950 кН,меньше расчетной несущей способности 𝑁 с = 1574 кН, следовательно, простенок удовлетворяет требованиям прочности. При е 0 > 0,7𝑦 , кроме расчета внецентренно сжатых элементов следует производить расчет по раскрытию трещин в швах кладки [1]. Относительный эксцентриситет определяем е 0 у = 0,14 0,7 = 0,5 < 0,7, поэтому расчет по раскрытию трещин производить не следует. |