Задача 1 Вычислить двойной интеграл от функции по заданной области . Решение Вид области представлен на рисунке
 Скачать 0.85 Mb.
|
|
Задача №14 Случайная величина  задана функцией распределения  , требуется:1) найти плотность вероятности; 2) математическое ожидание и дисперсию ;3) построить графики функции распределения и функции плотности распределения.  .Решение Найдём плотность распределения. По определению:  .Тогда  , .График функции распределения представлен на рисунке а)  Рисунок а График функции плотности распределения представлен на рисунке б).  Рисунок б Задача №15 Заданы математическое ожидание  и средне квадратическое отклонение  нормально распределённой величины . Найти: 1) вероятность того, что примет значение, принадлежащие интервалу  ; 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения  окажется меньше  . .Решение 1) Воспользуемся формулой:  ,подставив  , получим: .По таблицам приложения находим  ;  . Тогда искомая вероятность равна: .2) Искомая вероятность находится по формуле:  .По условию  . Следовательно: Задача №16 Провести исследование генеральной совокупности, используя выборочные данные соответствующего варианта. 1) Построить статистическое распределение выборки и гистограмму частот (шаг  указан в варианте).2) Дать точечные оценки генеральному среднему и дисперсии. 3) Предполагая, что выборка сделана из нормальной совокупности, построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии нормального распределения, приняв доверительную вероятность  .4) При уровне значимости  =0,01 проверить гипотезу о нормальности генеральной совокупности, используя критерий согласия Пирсона [9].Выборка объёма  , начало первого интервала  , шаг  .
Решение 1. Упорядочив данные  выборки по возрастанию, и найдя соответствующие частоты  встречающихся значений, получим таблицу, задающую статистическое распределение выборки:  – объём выборки.Разобьём интервал данных на 10 частичных интервала длины  : 285 – 292; 292 – 299; 299 – 306; 306 – 313; 313 – 320; 320 – 327; 327 – 334; 334 – 341; 341 – 348; 348 – 355, и найдём новые частоты , приняв в качестве их значений сумму частот данных выборки, попавших в i-ый интервал. Итак: ;  ;  ;  , , , , , , Вычислим плотности частот  и построим таблицу распределения выборки для построения гистограммы частот:
Гистограмма частот изображена на рисунке:  Рисунок 2. Приняв в качестве новых вариант  серединные значения частичных интервалов  , построим распределение равноотстоящих вариант для вычисления точечных оценок генеральной средней и дисперсии методом произведений. Напомним процедуру вычисления оценок генеральной средней и дисперсии по методу произведений. Выберем  .Вычислим  – условные варианты.Найдём  – условный момент первого порядка, – условный момент второго порядка.Тогда:  – выборочная средняя, – выборочная дисперсия.Результаты вычислений сведём в таблицу:   ;  ; ; . .3. Для получения интервальной оценки математического ожидания  нормально распределённой случайной величины по выборочной средней  и неизвестной дисперсии используем формулу: ,где  – «исправленное» выборочное средне квадратическое отклонение,  – случайная величина распределённая по закону Стьюдента с числом степеней свободы  (находится по таблице при заданных  и  ).Найдём .Имеем  .Отсюда  . При и  имеем  и  . Тогда доверительный интервал для математического ожидания равен: .Для получения интервальной оценки дисперсии нормальной генеральной совокупности используют случайную величину  . Величина  имеет распределение Пирсона с числом степеней свободы и представлена в таблицах. По этим таблицам определяются два числа (критические точки распределения )  и  : , ; , . |
