Задача 1 Вычислить двойной интеграл от функции по заданной области . Решение Вид области представлен на рисунке
 Скачать 0.85 Mb.
|
|
Вариант №6 Задача №1 Вычислить двойной интеграл  от функции  по заданной области  : ,  .Решение Вид области представлен на рисунке Представим двойной интеграл через повторный:  Задача №2 Вычислить объём тела  с помощью кратного интеграла, используя подходящую замену переменных: . Задача №3 Вычислить криволинейный интеграл I рода по плоской кривой  : , – четверть окружности  , лежащая в первом квадранте.Решение. Рассматривая х как параметр, получаем:  Задача №4 Вычислить криволинейный интеграл по меньшей дуге единичной окружности, заключённой между точками  и  и ориентированной в направлении от точки к точке : ,  ,  .Решение: Зададим уравнение дуги  единичной окружности параметрически:  ,  ,  . Ориентация дуги при этом будет удовлетворять условию задачи. Тогда по формуле вычисления криволинейного интеграла 2-рода имеем: Задача №5 Вычислить криволинейный интеграл по окружности  , ориентированной по часовой стрелке: .Решение По формуле Грина, которая в данной задаче применима, т.к. кривая  кусочно-гладкая, а функции  и  – непрерывны вместе с частными производными  и  в замкнутом круге :  [1], имеем: ,знак «–» перед двойным интегралом объясняется тем, что формула Грина верна при положительной ориентации границы области , что в нашей задаче совпадает с ориентацией окружности против часовой стрелки, а по условию надо подсчитать значение интеграла при противоположной ориентации окружности.  – площадь единичного круга.Задача №6 Вычислить поверхностный интеграл 2 рода по внутренней стороне сферы  : .Решение По формуле, задающей связь между поверхностным интегралами первого и второго рода [1], имеем:  ,где  – косинус угла между единичной нормалью к сфере в заданной её точке и осью  . По свойству сферы в нашей задаче  , тогда   ,где  – уравнение сферы,  – проекция двух полусфер  и  на плоскость  .Тогда   С другой стороны можно применить формулу Остроградского-Гаусса:  , где  – шар радиуса 2,  – проекция шара на плоскость  . Последний интеграл совпадет с рассмотренным выше с точностью до обозначения переменных и, следовательно, также равен нулю.Задача №7 Найти общее решение дифференциального уравнения:  .Решение:  Имеем уравнение в полных дифференциалах, находим:  Задача №8 Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию  :  .Решение:   Задача №9 Решить задачу Коши:  ,  .Решение: Уравнение не зависит от переменной  . Поэтому можно понизить порядок уравнения заменой  , тогда  . Решение будем искать в виде:     Задача №10 Найти общее действительное решение однородного дифференциального уравнения:  .Решение: Характеристическое уравнение:  Общее решение однородного уравнения:  Т.к.  ,  , то общее действительное решение имеет вид:  Задача №11 Два датчика посылают сигнал в общий канал связи, причем первый из них посылает вдвое больше сигналов, чем второй. Вероятность получить искаженный сигнал от первого датчика равна 0,06, от второго – 0,03. Какова вероятность получить искаженный сигнал в общем канале? Решение: Пусть х – количество сигналов второго датчика, 2ч-количество сигналов первого датчика, тогда: P(A/H1)=0,01 - вероятность получить искаженный сигнал от 1 P(A/H2)=0,03 - вероятность получить искаженный сигнал от 2 P(H1)=2x/3x=2/3 P(H2)=1x/3x=1/3 По формуле полной вероятности, получаем:  Задача №12 Семена содержат 0,1% сорняков. Оценить вероятность того, что при случайном отборе 10000 семян будет найдено от 10 до 13 сорняков. Решение: Применение локальной теоремы Лапласа, из-за малой вероятности р=0,001, приводит к значительному отклонению вероятности от точного значения  . Поэтому применяю асимптотическую формулу Пуассона: Эта формула используется при λ≤10. Чем меньше р и больше n, тем точнее результат. По условию задачи: р=0,001, n=10000,  . Тогда λ=10000·0,001=10, Задача №13 Случайная величина  может принимать только два значения  и  , причём  . Известны вероятность  возможного значения , математическое ожидание  и дисперсия  . Найти закон (ряд) распределения этой случайной величины. .Решение Сумма вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины должна быть равна единице, поэтому вероятность  того, что примет значение равна:  .Тогда закон распределения :По определению:  ; .Напишем закон распределения  :Найдём  ,тогда  .Имеем систему уравнений для нахождения и : .Решая систему, найдём:  ,  и  ,  . По условию , поэтому первое решение не подходит. Тогда закон распределения дискретной случайной величины имеет вид:
|
