КР ТЭС. Задача 1 Запишите формулы для расчета спектральных коэффициентов ряда Фурье в комплексной экспоненциальной форме

• Название: Задача 1 Запишите формулы для расчета спектральных коэффициентов ряда Фурье в комплексной экспоненциальной форме
• Дата: 13.10.2020
• Размер: 193.2 Kb.
• Имя файла: КР ТЭС.docx
• Тип: Задача; #142653

Задача 1

1. Запишите формулы для расчета спектральных коэффициентов ряда Фурье в комплексной экспоненциальной форме.

2. Вычислите спектральные коэффициенты для сигнала, приведенного на рисунке 1.

Интервал разложения равен [-τ/2; τ/2].

Число спектральных коэффициентов n = 3.



Рисунок 1 – Временная диаграмма сигнала

Исходные данные:

Длительность импульса τ = 12 мс.

Амплитуда импульсов Аm = 3 В.

Аналитическое выражение для сигнала на рисунке 1: .

Решение:

Спектры периодических сигналов являются дискретными. Спектральное разложение можно выполнить также, используя систему базисных функций, состоящую из экспонент с мнимыми показателями:

. (1)
Функции этой системы периодичны с периодом Т и ортонормированы на отрезке времени .

Тогда мы получим показательную форму записи ряда Фурье:

(2)

(3)

Выражение (2) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме.

Спектр сигнала в соответствии с формулой (3) содержит компоненты на отрицательной полуоси частот, причём . Слагаемые в ряде (2) с положительными и отрицательными частотами объединяются в пары.

Отрицательная частота – понятие не физическое, а математическое, вытекающее из способа представления комплексных чисел.

Вычислим угловую частоту по формуле:


Вычислим спектральные коэффициенты для сигнала, приведенного на рисунке 1 (вычисления проводились в программе Mathcad):











Представим рассчитанные значения в виде таблицы 1.

Таблица 1

n	0	1	2	3	4
, рад/с	0	523	1046	1569	2092
f, Гц	0	50	100	150	200
	1.91	0.637	-0.127	0.055	-0.03

Задача 2

1. Для сигнала с параметрами найти спектральную плотность и амплитудный спектр сигнала.

2. Нарисовать временную диаграмму сигнала (сам сигнал) и амплитудный спектр сигнала.

Решение

1. Для разложения в спектр непериодического сигнала используется прямое преобразование Фурье:



где u(t) – функция, описывающая сигнал.

Одним из условий применимости преобразования Фурье к функции u(t) является ее абсолютная интегрируемость:



Так как сигнал не является бесконечным, то функция интегрируема абсолютно.

Рассмотрим заданный сигнал. Выражение для спектральной плотности запишем:

=



Используя формулу получим:





Известно, что:





Рассчитаем частоту:





Построим временную и спектральную диаграммы сигнала:

Математическая модель заданного сигнала:

Временная диаграмма представлена на рисунке 2:


Рисунок 2 – Временная диаграмма заданного сигнала.
Спектральная диаграмма представлена на рисунке 3.



Рисунок 3 – Спектральная диаграмма заданного сигнала.

Задача 3

1. Дайте определение автокорреляционной функции (АКФ) сигнала и запишите формулу для ее расчета.

2. Для заданного сигнала U(t)



с параметрами τ = 2 мс определите АКФ аналитическим или графическим способом. Амплитуда сигнала A_m = 1 В.

Решение

Автокорреляционная функция – это скалярное произведение сигнала на его сдвинутую копию. Для детерминированного сигнала конечной длительности АКФ определяется следующим выражением:



где τ – временной сдвиг сигнала.

Для сигналов, являющихся вещественными функциями времени, обозначение комплексного сопряжения можно опустить:



то есть максимальное значение корреляционной функции равно энергии сигнала.

Автокорреляционная функция сигнала является четной функцией. Эта функция связана с энергетическим спектром сигнала парой преобразований Фурье.

Автокорреляционная функция сигнала с неограниченной энергией связана с преобразованиями Фурье со спектральной плотностью мощности и ее максимальное значение определяется не энергией, а средней мощностью сигнала.

Данная функция представляет собой прямоугольный импульс.

Запишем аналитическое выражение для заданного сигнала:



Запишем аналитическое выражение для сдвинутого сигнала:



Рассчитаем АКФ:



Данное выражение получено для τ > 0. Для сдвига τ < 0 аналогично может быть получено выражение:



Тогда АКФ заданного сигнала:




Задача 4

1. Приведите формулу для определения энергии.

2. Определите энергию сигнала с параметрами:

. Амплитуда сигнала Am = 1В.

Решение

Под энергией сигнала принимают величину:



Если сигнал имеет конечную длительность τ, то есть не равен нулю на

отрезке времени [-τ/2, τ/2], то его энергия определяется:



Рассчитаем энергию заданного сигнала:





Рассчитаем частоту:



Математическая модель заданного сигнала:






Задача 5

1. Для модулированного сигнала с амплитудной модуляцией с параметрами (таблица 2) записать математическую модель модулированного сигнала, найти спектральную плотность и амплитудный спектр сигнала.

2. Нарисовать временную диаграмму модулированного сигнала (один период модулирующего сигнала) и амплитудный спектр сигнала.

Несущее колебание:

Модулирующий сигнал:

Таблица 2

Параметры сигналы	15
Аm, В	8
f0, кГц	35
F, кГц	4
 (инд. мод.)	0,35

Решение

Несущее колебание:



Запишем модулирующий сигнал:



Запишем математическую модель амплитудно-модулированного сигнала:



Спектральную плотность определим по формуле:



АМ сигнал при модуляции гармоническим сигналом состоит из трех спектральных составляющих с частотами: несущей , нижней боковой , верхней боковой . Спеткральная диаграмма однотонального АМ сигнала симметрична относительно несущей частоты. Амплитуды боковых колебаний одинаковы ( ) и при не превышают половины амплитуды несущего колебания.

Представим временные и спектральную диаграммы.


Рисунок 5 – Временные диаграммы модулирующего, несущего и ФМ сигналов.


Рисунок 5 – Спектральная диаграмма ФМ сигнала.


Задача 6

1. Для сигнала с параметрами τ = 25мс, A_m = 15В, вычислить частоту дискретизации f_д = f_д.мин + 20%, где f_д.мин – минимально возможная частоты дискретизации в соответствии с теоремой Котельникова. Вычислить спектральную плотность и амплитудный спектр дискретизированного сигнала.
2. Нарисовать временную диаграмму дискретизированного сигнала и амплитудный спектр сигнала.

Решение

Теорема Котельникова: всякий непрерывный сигнал U(t) со спектром, ограниченным частотой Fmax, может быть представлен последовательностью своих мгновенных значений (отсчетов), взятых через интервалы времени

Так как задана синусоида, у нее имеется только одна частота, то частота дискретизации по теореме Котельникова равна:





Спектральная плотность гармонического сигнала:



описывается выражением



В этом выражении первый интеграл представляет собой спектральную плотность сигнала U(t) на частотах ω-nωд а второй – ту же спектральную плотность, но на частотах ω+nωд.

Следовательно, дискретному сигналу соответствует спектральная плотность:




Рисунок 6 – Временная диаграмма дискретизированного сигнала


Рисунок 7 – Спектр амплитуд дискретизированного сигнала


Список использованных источников

1. Клюев Л.Л. Теория электрической связи. - Мн. : Дизайн ПРО, 1998.

2. Зюко А.Г., Кловский Д.Д., Назаров М.В., Финк Л.М. Теория передачи сигналов. - М. : Радио и связь, 1986.

3. Баскаков С.И. Радиотехнические цели и сигналы. - М. : Высшая школа, 1988.

4. Кловский Д.Д., Шилкин В.А. Теория электрической связи. Сборник задач и упражнений. - М. : Радио и связь, 1990.

5. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Руководство к решению задач. - М. : Высшая школа, 1987.

6. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. - М. : Радио и связь. 1986.

7. Кушнир В.Ф., Ферсман Б.А. Теория нелинейных электрических цепей. - М. : Радио и связь, 1986.

8. Залмакзон Л.А. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении связью и других областях. - М. : Наука, 1989.

9. Шувалов В.П., Захарченко Н.В. и др. Передача дискретных сообщений. Учебник для ВУЗов / Под. ред. В.П. Шувалова. - М. : Радио и связь, 1990.

10. Биккенин Р.Р. Теория электрической связи: учеб. пособие для студ. высших учебных заведений / Р. Р. Биккенин, М. Н. Чесноков. – М. : Издательский центр «Академия», 2010. – 336с.