ргр. Задача 16
 Скачать 168.09 Kb.
|
|
Задача 16. Однородная цепь длиной 2,5 м соскальзывает с горизонтального стола, причем в начальный момент времени со стола свисает конец длиной 10 см. Пренебрегая трением и считая ускорение свободного падения равным 10 м/c , найти время соскальзывания всей цепи. Решение. Пусть - это длина части цепи, свисающей со стола, в момент времени . Эта длина указана в метрах. Сила тяжести, свисающей части, заставляет цепь соскальзывания, тогда она находится по формуле ,где - масса свисающей части, - ускорение свободного падения. Массу можно найти через линейную плотность : Подставим в формулу силы тяжести . Из второго закона Ньютона следует, что , где - длина всей цепи, поэтому , так как длина всей цепи равняется 2,5 м . Так как в условиях сказано, что трением пренебречь, то значит цепь движется прямолинейно, следовательно , где - Перемещение. В данной случае перемещение равняется длине части цепи, свисающей со стола, так как именно она вызывает силу тяжести, следовательно . Подставим и в , получим: . Приравняем и и получим дифференциальное уравнение: или - это линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка. Составим характеристическое уравнение, где : 2 l(t) t F g = mg m g λ − m = m l ⇒ m = λ − m l m F g = λ − m lg = 10λ − m l F g = Ma M M = λ − m l ⇒ M = 2,5λ − m a = s′ ′ s s = l, ⇒ a = l′ ′ a = l′ ′ M = 2,5λ − m F g = Ma F g = 2,5λ − m l′ ′ F g = 10λ − m l F g = 2,5λ − m l′ ′ 10λ − m l = 2,5λ − m l′ ′ l′ ′ − 4l = 0 l′ ′ = k 2 . Характеристическое уравнение имеет корни . Общее решение дифференциального уравнения: . Неизвестные константы можно найти, исходя из начальных условий и , которые приводят к системе уравнений: , откуда и решение принимает вид: Для нахождения времени соскальзывания всей цепи надо принять длину . Получим или чтобы найти воспользуемся формулой для нахождения c. Ответ: 1,94 с. Задача 37. Через сколько лет произойдет удвоение уровня цен при ежегодной инфляции в 7 %. Решение. Во время инфляции увеличение цен происходит постоянно, следовательно можно использовать модель непрерывного начисления процентов. Если - это уровень цен в момент времени , то , где совпадает с начальным уровнем цен. Момент, когда цены удваиваются описывается , следовательно k 2 − 4 = 0 k 2 − 4 = 0 k 1,2 = ± 2 l = C 1 e 2t − C 2 e −2t l(0) = 0,1 l′ (0) = 0 { C 1 + C 2 = 0,1 C 1 − C 2 = 0 C 1 = C 2 = 0,5 l = 0,05(e 2t + e 2t ) = 0,05 ⋅ 2e 2t = 0,1 ⋅ e 2t = 0,1ch 2t l = 2,5 − 0,1 = 2,4 2,4 = 0,1ch 2t arcch 24 2 arcch 24 2 arcch t = ln(t + t 2 − 1) arcch 24 2 = ln(24 + 24 2 − 1 2 = 1,94 p(t) t p = Ce 0,07t , p′ = 0,07p C p = 2C или . Найдём отсюда : лет. Ответ: 10 лет. 2C = Ce 0,07t e 0,07t = 2 t t = ln 2 0,07 = 10 |