Решение задач на смешанное соединение (1). Задача (45. 39) Условие
 Скачать 1.03 Mb.
|
|
Решение задач на смешанное соединение Смешанным соединением называют такое соединение проводников, которое можно «разобрать» на участки последовательного и параллельного соединений. Решим несколько задач из задачникa 7-9 класса: Генденштейн Л.Э., Кирик Л.А., Гельфгат И.М. Задачи по физике для основной школы с примерами решений. 7-9 классы. Под ред. В.А. Орлова. - М.: Илекса, 2011. Задача 1. (№ 45.39) Условие. Найдите силу тока в каждом из резисторов (см. рисунок). К цепи приложено напряжение 110 В, сопротивление каждого резистора 200 Ом. Решение. Несколько предварительных замечаний: 1. В этой задаче резисторы пронумерованы. Это удобно, так как все резисторы одинаковые, и объяснить применяемые формулы без нумерации было бы сложно. 2. Некоторые учащиеся из-за большого количества формул в решении любят записать закон Ома и законы соединений в общем виде, а затем показать только вычисления. Это неправильно, формулы надо записывать для каждого конкретного случая, иначе невозможно доказать проверяющему, что знаешь законы, по которым рассчитываются электрические цепи. 3. Обозначать сопротивления резисторов будем в порядке нумерации, а вот общие сопротивления будем обозначать несколькими индексами. Например, R 1 – сопротивление резистора № 1, а R 123 – общее (эквивалентное) сопротивление резисторов № 1, 2, 3. Ом R R R R R R 200 6 5 4 3 2 1 U = 110 В Начинать расчет схемы надо с того места цепи, где определенно просматривается последовательное или параллельное соединение. Чаще всего самые простые участки лежат дальше всего от контактов схемы. В данной схеме видно, что резисторы 2, 4 и 6 соединены последовательно. Рассчитываем их сопротивление по законам последовательного соединения: ? , , , , , 6 5 4 3 2 1 I I I I I I 6 4 2 246 R R R R = 600 Ом. Теперь схему можно заменить «эквивалентной» схемой: заменяем резисторы 2, 4 и 6 резистором с вычисленным сопротивлением R 246 Из полученной схемы видно, что резисторы R 3 и R 246 соединены параллельно, а, значит, их сопротивление можно найти по формуле: 150 800 600 200 246 3 246 3 2346 R R R R R Ом. Рисуем эквивалентную схему и видим, что оставшиеся резисторы соединены последовательно. Находим общее сопротивление цепи: 5 2346 1 R R R R общ = 550 Ом. Ну а теперь воспользуемся принципом, по которому, если две величины для элемента известны, можно найти третью по закону Ома. Мы знаем общее сопротивление цепи и общее напряжение. Можно найти «общую» силу тока, т.е. силу тока, которая течет в неразветвленной цепи: Ом В R U I общ 550 110 0,2 А. Эта сила тока (обращаемся к последней эквивалентной схеме) протекает через резисторы R 1 , R 5 и группу резисторов R 2346 : 2346 5 1 I I I I , Поскольку мы знаем силу тока, текущего через группу резисторов R 2346 , можно найти напряжение U 2346 : 30 150 2 , 0 2346 2346 2346 R I U В. Возвращаемся еще на одну схему назад и видим, что это напряжение на резисторе R 3 и группе резисторов R 246 : 246 3 2346 U U U Находим силу тока на резисторе 3 и на группе резисторов 2-4-6: 200 30 3 3 3 R U I 0,15 А, 600 30 246 246 246 R U I 0,05 А. Можно проверить, что в сумме эти токи действительно дают общий ток 0,2 А. Остается заметить, что 6 4 2 246 I I I I , так как все эти три резистора включены последовательно. Ответ: 2 , 0 5 1 I I А, 05 , 0 6 4 2 I I I А, 15 , 0 3 I А. Послесловие. После решения нескольких задач необходимость рисовать эквивалентные схемы в случае смешанного соединения проводников отпадает. Но мы рассмотрим еще одну задачу с комментариями в виде эквивалентных схем. Задача 2. [№ 45.26] Условие. Вычислите сопротивление цепи, представленной на рисунке, если R = 1 Ом. Решение. Пронумеруем резисторы, чтобы можно было записывать формулы. Из рисунка сразу видно, что резисторы R 1 и R 2 соединены параллельно. Все другие резисторы имеют контакты сразу с несколькими другими, так что «чистые» соединения невозможно распознать. Заменим R 1 и R 2 эквивалентным сопротивлением: R R R R R R R R R R 2 2 2 2 2 1 2 1 12 и нарисуем эквивалентную схему. Следующее очевидное соединение – это последовательное соединение резисторов R 12 и R 3 : R R R R 2 3 12 123 . Соответствующая эквивалентная схема - на рисунке. Видно, что резисторы R 123 и R 4 соединены параллельно. Находим общее сопротивление и рисуем эквивалентную схему: R R R R R R 4 123 4 123 1234 . В последней схеме сразу ясно, что R 1234 и R 5 соединены последовательно, а резистор R 6 – параллельно им. Получаем: R R R R 2 5 1234 5 1 , 1 2 3 4 5 6 R R R R R R общ 6 5 1 6 5 1 Ответ: R общ = R. Комментарии. При определенном навыке такие задачи с резисторами одинаковых сопротивлений можно решать устно. Действительно, для n резисторов сопротивлением R, соединенных последовательно параллельно справедливо: nR R R R R R общ n R R R n R R R R R общ общ 1 1 1 1 1 Поэтому, если два резистора сопротивлением по 2R соединены параллельно, сразу ясно, что их общее сопротивление равно R. Задачи для самостоятельного решения на нахождение общего сопротивления цепи из того же задачника: 45.10, 45.11, 45.20, 45.24 – 45.25, 45.46, 45.47, 45.54, 45.56. Задача 3. [№ 45.33 в)] Условие. Найдите силу тока в каждом из одинаковых резисторов. К цепи приложено напряжение 12 В, сопротивление резистора 1 кОм. Решение. В отличие от задачи 1 здесь не надо находить общее сопротивление всей цепи, чтобы узнать общую силу тока. Ведь эта сила тока складывается из трех, идущих по параллельным ветвям, и идет где-то за пределами рисунка. В этой схеме важно увидеть, что общее напряжение является одновременно напряжением на каждой из трех параллельных ветвей: 4 23 1 U U U U . Поэтому мы сразу можем найти токи, текущие через резисторы R 1 и R 4 : кОм В R U I 1 12 1 1 1 =12 мА, 4 4 4 R U I 12 мА. Мы также можем найти ток, протекающий через резисторы R 2 и R 3 , но для этого их надо представить в виде одного сопротивления R 23 , рассчитав эквивалентное сопротивление: 2 3 2 23 R R R кОм, кОм В R U I 2 12 23 23 23 = 6 мА. Ответ: I 1 = I 4 = 12мА, I 2 = I 3 = 6 мА. Комментарии. Часто в случае равных сопротивлений в схеме может возникнуть соблазн сказать: поскольку параллельно соединенные резисторы одинаковые, по ним течет одинаковый ток (например, токи I 1 и I 4 в предыдущей задаче). Действительно, при решении устных задач можно сказать: «в силу симметрии» токи будут одинаковы, но на письме (в контрольных работах и на экзамене) этот факт должен быть доказан. Последовательное соединение Параллельное соединение общ U U U I I I R R R 2 1 2 1 2 1 , , , но 2 1 2 1 общ U U U IR U , , , 2 1 2 1 2 1 общ I I I U U U R R R но 2 1 2 1 общ I I I R U I Задача 4. [№ 45.61] Условие. Найдите распределение токов и напряжений в цепи, изображенной на рисунке, если U ab = 100 В, R 1 = 3 Ом, R 2 = 2 Ом, R 3 = 7,55 Ом, R 4 = 2 Ом, R 5 = 5 Ом, R 6 = 10 Ом. Решение. Приведенная схема легко разделяется на три группы параллельных соединений. Рассчитаем эффективную схему: 2 , 1 5 6 2 1 2 1 12 R R R R R Ом, Ом Ом R Ом Ом Ом Ом Ом R R R R 25 , 1 8 10 10 8 10 1 2 5 10 1 5 1 2 1 1 1 1 1 456 6 5 4 456 Комментарии. В расчетах, аналогичных последней строчке, встречается очень много ошибок: многие оставляют вместо сопротивления величину, обратную ему, забывая «перевернуть» дробь. Или вовсе, переходят от величины, обратной сопротивлению, к самому сопротивлению с помощью знака равенства. Это ошибки! Поэтому еще раз посмотрите на последнюю строчку: именно так надо переходить от одной формулы к другой. Продолжим: найдем общее сопротивление цепи. 10 25 , 1 55 , 7 2 , 1 456 3 12 R R R R общ Ом. Тогда общая сила тока будет равна 10 общ ab общ R U I А. Именно такая сила тока будет в резисторе R 3 . И такой же ток будет проходить через группы резисторов R 12 и R 456 . Поэтому напряжения на этих группах резисторов и резисторе R 3 легко найти: 5 , 12 25 , 1 10 , 5 , 75 55 , 7 10 , 12 2 , 1 10 456 456 3 3 12 12 В Ом A R I U В Ом A R I U В Ом A R I U общ общ общ Можно проверить себя: сумма всех трех напряжений должна быть равна общему напряжению U ab . Каждое из напряжений U 12 и U 456 – это напряжение на группе параллельно соединенных резисторов, а, значит и на каждом из этих резисторов: U 12 = U 1 = U 2 и U 456 = U 4 = U 5 = U 6 Остается рассчитать силу тока в каждом из этих резисторов. , 6 2 12 , 4 3 12 2 12 2 1 12 1 A R U I A R U I проверяем: общ I I I 2 1 A R U I A R U I A R U I 25 , 1 10 5 , 12 , 5 , 2 5 5 , 12 , 25 , 6 2 5 , 12 6 456 6 5 456 5 4 456 4 Проверяем: общ I I I I 6 5 4 Ответ: I 1 = 4 A, I 2 = 6 A, I 3 = 10 A, I 4 = 6,25 A, I 5 = 2,5 A, I 6 = 1,25 A, U 1 = 12 B, U 2 = 12 B, U 3 = 75,5 B, U 4 = 12,5 B, U 5 = 12,5 B, U 6 = 12,5 B. Послесловие. Итак, если в задаче задано общее напряжение на схеме, чаще всего следует найти общее сопротивление цепи с тем, чтобы рассчитать общий ток. Затем надо определить напряжения на отдельных участках и т.д. Но надо быть внимательным, если в схеме нет участка, по которому потечет общий ток, т.е. представлено параллельное соединение как в задаче 3, на каждой ветви которого напряжение равно напряжению на всей цепи. Посмотрим, как рассчитать схему, если в задаче не дается общее напряжение, а задана одна из величин, напряжение или сила тока, для одного элемента цепи. Задачи для самостоятельного решения на расчет сил токов и напряжений в цепи из этого же задачника: № 45.33 (а, б), 45.37, 45.38, 45.40, 45.55, 45.59, 45.60. Задача 5. [№ 45.62] Условие. Найдите распределение токов и напряжений в цепи, изображенной на рисунке, если вольтметр показывает 32 В, а R 1 = 6,4 Ом, R 2 = 4 Ом, R 3 = 12 Ом, R 4 = 6 Ом, R 5 = 3 Ом, R 6 = 8 Ом, R 7 = 20 Ом. Решение. Будем использовать обычный принцип: если для резистора или группы резисторов известно две величины, можно найти третью. Поскольку все сопротивления известны, достаточно даже одной известной величины: напряжения или силы тока. Известно напряжение на первом резисторе – найдем силу тока, текущего через него: 5 1 1 1 R U I А = I 23 = I 456 . Т.е. мы отметили тот факт, что найденный ток течет также через другие группы резисторов. Значит, можно найти напряжения на них, если будем знать эффективные сопротивления этих групп. 3 16 12 4 3 2 3 2 23 R R R R R Ом, Ом Ом R Ом Ом Ом Ом Ом Ом R R R R 6 , 1 5 8 8 5 24 15 24 3 8 4 8 1 3 1 6 1 1 1 1 1 456 6 5 4 456 8 6 , 1 5 , 15 3 5 456 456 456 23 23 23 В Ом A R I U В Ом A R I U Найдем силу тока в каждом из резисторов, учитывая, что в группах резисторы соединены параллельно, поэтому напряжения на группе равны напряжениям на отдельных резисторах: , 25 , 1 12 15 , 75 , 3 4 15 3 23 3 2 23 2 A R U I A R U I проверяем: общ I I I 2 1 A R U I A R U I A R U I 1 8 8 , 3 8 , 3 4 6 8 6 456 6 5 456 5 4 456 4 Проверяем: общ I I I I 6 5 4 Резистор R 7 параллелен всей группе резисторов 1 – 6, поэтому напряжение на нем должно быть равно напряжению на всей этой последовательной ветви групп резисторов: А R U I В U U U U 75 , 2 20 55 55 8 15 32 7 7 7 456 23 1 7 Ответ: I 1 = 5 A, I 2 = 3,75 A, I 3 = 1,25 A, I 4 = 1,33 A, I 5 = 2,67 A, I 6 = 1A, I 7 = 2,75A, U 1 = 32 B, U 2 = 15 B, U 3 = 15 B, U 4 = 8 B, U 5 = 8 B, U 6 = 8 B, U 7 = 55 B. Задача для самостоятельного решения на расчет параметров резисторов цепи при заданном одном из того же задачника: 45.63. Так же для самостоятельного решения можно использовать следующие задачи. R 1 = 2 Ом R 2 = 1 Ом R 3 = 3 Ом R 4 = 1 Ом Показания амперметра – 3 А Все токи и напряжения - ? R 1 = 2 Ом R 2 = 1 Ом R 3 = 3 Ом R 4 = 1 Ом Показания вольтметра – 3 В Все токи и напряжения - ? R 1 = 2 Ом R 2 = 1 Ом R 3 = 3 Ом R 4 = 1 Ом Показания амперметра – 2 А Все токи и напряжения - ? R 1 = 2 Ом R 2 = 1 Ом R 3 = 2 Ом R 4 = 1 Ом Показания вольтметра – 6 В Все токи и напряжения - ? R 1 = 2 Ом R 2 = 1 Ом R 3 = 3 Ом R 4 = 1 Ом Показания амперметра – 5 А Все токи и напряжения - ? |