Задача с цилиндром и газом. Задача 5 Цилиндр радиуса
 Скачать 52.38 Kb.
|
|
Задача 5 Цилиндр радиуса R и длины H, наполненный химически однородным газом, равномерно вращается вокруг своей геометрической оси с угловой скоростью ?. Найти распределение концентрации молекул газа внутри цилиндра. Силой тяжести пренебречь. Решение В системе отсчёта, связанной с цилиндром, газ как целое покоится. Но поскольку эта система отсчёта неинерциальна, то в ней действуют силы инерции, в нашем случае – центробежная сила. Потенциальная энергия частицы массой m в поле центробежной силы, как известно из механики, зависит от угловой скорости ? вращения системы отсчёта и расстояния r до оси вращения:  Согласно формуле Больцмана концентрация молекул:  ,где n0 – концентрация молекул на оси вращения. Как видно из этой формулы, концентрация газ растёт с увеличением расстояния от оси вращения. Выразим теперь n0 через число молекул в сосуде N, для чего мысленно разобьём сосуд на множество тонких цилиндрических слоёв. Пусть один из таких слоёв имеет радиус r и толщину dr. Объём такого слоя равен 2?rHdr, а число молекул в нём  Интегрируя полученное равенство по dr, получим:  Делая в интеграле замену переменной x=r2, получим:  На оси цилиндра (r=0) плотность газа  Эти результаты заметно упрощаются при условии  : Как видим, чем больше масса молекул, тем ниже концентрация газа на оси цилиндра. И, наоборот, чем больше масса молекулы, тем выше концентрация на краю цилиндра. Этот факт используется для разделения частиц с близкими массами молекул, например изотопов, в разного рода сепараторах. |