Контрольная. Задание к контрольной работе №3 (31). Задача Д1 Груз d массой т, получив в точке а начальную скорость v 0, дви

• Название: Задача Д1 Груз d массой т, получив в точке а начальную скорость v 0, дви
• Анкор: Контрольная
• Дата: 05.03.2023
• Размер: 1.43 Mb.
• Имя файла: Задание к контрольной работе №3 (31).docx
• Тип: Задача; #970166

ДИНАМИКА

Задача Д1

Груз Dмассой т, получив в точке А начальную скорость v₀, движется в изогнутой трубе ABC, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0-Д1.9, табл. Д1).

На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления среды , зависящая от скорости груза (направлена против движения); трением груза о трубу на участке АВ пренебречь.

В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действуют сила трения (коэффициент трения груза о трубу f=0,2) и переменная сила , проекция которой Fх на ось х задана в таблице.

Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ=lили времяt₁движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т. е. x=f(t), где x=BD.

Указания. Задача Д1 - на интегрирование дифференциальных уравнении движения точки (решение основной задачи динамики). Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить проинтегрировать, методом разделения переменных дифференциальное уравнение движения точки (груза) на участке АВ, учтя начальные условия. Затем, зная время движения груза на участке АВ или длину этого участка, определить скорость груза в точке В. Эта скорость будет начальном для движения груза на участке ВС. Послеэтого нужно составить и проинтегрировать дифференциальное уравнение движения груза на участке ВС тоже с учетом начальных условий, ведя отсчет времени от момента, когда груз находится в точке В, и полагая в этот момент t = 0. При интегрировании уравнения движения на участке АВ в случае, когда задана длинаl участка, целесообразно перейти к переменному х, учтя, что

.
Таблица Д1

Номер условия	m, кг	vx, м/с	Q, Н	R, Н	l, м	t, с	Fx, Н
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	2 2,4 4,5 6 1,6 8 1,8 4 3 4,8	20 12 18 14 18 10 24 12 22 10	6 6 9 22 4 16 5 12 9 12	0,4 v 0,8 v2 0,5 v 0,6 v2 0,4 v 0,5 v2 0,3 v 0,8 v2 0,5 v 0,2 v2	- 1,5 - 5 - 4 - 2,5 - 4	2,5 - 3 - 2 - 2 - 3 -	6 sin (4t) 6t 3 sin (2t) -3 cos (2t) 4 cos (4t) -6 sin (2t) 9 t2 -8 cos (4t) 2 cos (2t) -6 sin (4t)

Пример Д1. На вертикальном участке АВ трубы (рис. Д1) на груз Dмассой тдействуют сила тяжести и сила сопротивления ; расстояние от точки А, где v₀=0, до точки В длитсяt1 с. На наклонном участке ВС на груз действуют сила трения (коэффициент трения груза о трубу равенf)и переменная сила F=F(t), заданная в ньютонах.



Дано: m=2 кг, R=µσ², где µ=0,4 кг/м., v₀=5,t₁=2 c, l=2,5 м,, F_x=16 sin (4t),.

Определить: x=f(t)—закон движения груза на участке ВС.

Решение. 1. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы и . Проводим ось Аzи составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:

или . (1)

Далее находим P_z=P=mg, R_z=-R=- µv²; подчеркиваем, что в уравнении все переменные силы надо обязательно выразить через величины, от которых они зависят. Учтя еще, что v_z=v, получим

или . (2)

Введем для сокращения записей обозначение

, , (3)

Где при подсчете принято g≈10 м/с². Тогда, разделяя в уравнении (2) переменные и взяв затем от обеих частей равенства интегралы, получим

(4)

Разделяя в уравнение (4) переменные, а затем беря от обеих частей интергралы, получим
и

(5)
По начальным условиям при z=0 v=v₀ , что дает С₁= и из равенства (5) находим + или . Отсюда

и .

В результате находим

(6)
Пологая в равенстве (6) z=l=2,5 м и заменяя k и n их значениями (3), определим скорость груза в точке В ( =5м/с, число е=2,7):
и =6,4м/с (7)
2. Рассмотрим движение груза на участке ВС; найденная скорость v_B будет для движения на этом участке начальной скоростью (v_o = v_B). Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы и . Проведем из точки В оси Вх и Byи составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось Вх:



или

, (8)

где F_тр=fN. Для определения N составим уравнение в проекции на ось By. Так как а_у=0, получим 0=N-mgcosα, откуда N=mgcosα. Следовательно, F_тр=fmgcosα; кроме того, F_x=16 sin (4t) и уравнение (8) примет вид

. (9)

Разделив обе части равенства на m, вычислим g(sinα-fcosα)=g(sin30°—0,2созЗО°)=3,2; 16/m = 8 и подставим эти значения в (10). Тогда получим

(10)

Умножая обе части уравнения (10) на dt и интегрируя, найдем

. (11)

Будем теперь отсчитывать время от момента, когда груз находится в точке В, считая в этот момент t=0. Тогда при t=0 = ₀= _B, где _B дается равенством (9). Подставляя эти величины в (9), получим

С₂= _B+2cos0=6,4+2=8,4.

При найденном значении С₂ уравнение (10) дает

. (12)

Умножая здесь обе части на dt и снова интегрируя, найдем

x=1,6t²-0,5sin(4t)+8,4t+C₃.(13)

Так как при t=0 x=0, то С₃=0 и окончательно искомый закон движения груза будет

х=1,6t²+8,4t - 0,5sin(4t), (14)

где х — в метрах, t—в секундах.