Задача для движения 1 чцы в заданном внешнем поле. Для решения уря надо знать и

• Название: Задача для движения 1 чцы в заданном внешнем поле. Для решения уря надо знать и
• Дата: 17.06.2022
• Размер: 1.66 Mb.
• Имя файла: 47b75fa (1).doc
• Тип: Задача; #599491
• страница: 1 из 2

1.1.Разделение переменных.

m (t)= — (1) — ур-е дв-я.

— определение силы.
(1) – диф. ур. II порядка отн-но . Задаем нач. коорд. . Так формируется задача для движения 1 ч-цы в заданном внешнем поле. Для решения ур-я надо знать __ и …. .

Н о (1) — это не 1 ур. а 3:
; ;

— это и есть разделение переменных. Вместо того, чтобы рассматривать движение точки в трехмерном пространстве, рассмотрим решение трех одномерных движений.

В частном случае может оказаться так, что — это уравнение можно решать отдельно от других уравнений: — проекция точки, — проекция скорости движения только вдоль оси . Такое движение называется одномерным.

1.2. Одномерное движение под действием силы F(t).

Рассматривая двух- и трехмерное движение обозначают вектора скорости, силы и ускорения. Абс. величину этих векторов обозначаем , то они не могут быть ни “—“ ни “+”, а их проекции — могут. Но в одномерных задачах индекс опускается, т.к. не рассматриваются другие проекции. В одномерных — - проекции, а в многомерных - абс. величины.

Рассм. конденсатор.

. В одном.

случае получ. ДУ 2 пор. с пост. коэф-ом m. ; ; ; ; ; — результат 1-го интегрирования Ур-я Ньютона в этой задаче. Интегрируем еще раз. ; ; (*) Предположим, что F не зависит от времени, тогда преобразуем в одинарный интеграл. Применим правило Дирихле: Если бы пределы интегрирования были постоянными, то можно поменять местами. Но здесь 1 из пределов является переменной величиной, тогда переходим к дополнительной области интегрирования от t′′ до t: — правило Дирихле. Применяя его к (*), получим: ; Сосчитаем внутр. Интеграл, тогда получим: t- t′′

(замена двойного штриха одинарным).

1.3. Одномерное движение под д-ем силы F(v).

Разделили переменные. Интегрируем: Получаем решение в виде: здесь t=f(v) — некот. ф-я от верхнего предела. А надо найти v как ф-ю от t. Это делается переходом к обр. ф-ии v = f^-1(t). v=dx/dt. dx/dt=f^-1(t)

Для существования ф-ии надо, чтобы t=f(v) была монотонной.

1.4 Движение частицы в поле, зависящем от координат F(x).

Интегрируем и вводим новую ф-ю. Эта ф-я наз-ся потенц. энергией. Другой вид при проектировании на Ох: . Сила, которая может быть представлена в виде градиента потенц. энергии наз-ся потенц. энергией. В многомерном случае не всякая сила м.б. представлена в таком виде. Чтобы узнать явл-ся ли сила потенциальной, надо вычислить ротор. Если он во всех точках = 0, то сила является потенциальной. Но в одномерном случае любая интегрируемая сила зависящая от координаты является потенциальной. Наличие пот. силы означает, что имеет место закон сохранения энергии. Он получается т.о.: берется ур-е Ньютона в таком виде: , умножая на dx: . Лев. часть переписывается в виде: ;

В итоге получается: И общий диф-ал: ф-я постоянна, т.к. диф-ал = 0. полная энергия. Закон сохранения энергии нужен для решения ур-я: Здесь старшая производная 1-го порядка, то можно разделить переменные ;

dt переносим направо: . Получили зависимость t от x. Найдем обратную ф-ю x = f^-1(t)— это и есть решение задачи. Отметим св-ва корня. Е-U: кинет. энергия mv²/2. Массу сократили, осталось v² извлекли корень, получили v. По определению скорости dx=vdt. Корень — абс. величина ск-ти, заданная как ф-я координаты. Знак + или – определяет направление движения.

1.5. Классификация одномерных движений.



Положения равновесия: устойчивое, неустойчивое.

Кинетич. энергия: . Потенц. энергия как ф-я координат. сила каждой точки . Инфинитное движение — уходит и приходит из бесконечности. Точки a, в, с удовлетворяют ур-ю: U(a)=E, U(в)=E, U(с)=E.

Отрезок [а,в] — потенциальная яма. Движение финитное.

Отрезок [в,с]: разность м\д полной энергией и потенц. — отрицательна. Эта область не имеет физич. смысла. Это потенц. барьер. Частица не может его пройти. Имея дело с малыми частицами, там возникают специфические свойства: потенц. барьер становится полупрозрачным — туннелирование. В случае финитного движения в потенц. яме движение периодическое. Скорость в точке х: (*) если она фиксирована, то скорость изменяется только по знаку. период — время м\д уходом и возвращением в точку а. Из (*) найдем dt.

7.1. Понятие связи.

1 k k — пружина. Пусть и в
2 пределе она превращается в
жесткий стержень длиной ℓ.
Чтобы задать положение такой
системы: если стержень не сжимают.

— голономная связь.

S-уравнений,
… S голономных связей



7.2. Принцип Даламбера.

Пусть есть N частиц. меняется. Его изменение за dt: .

1. Координата и ее перемещение зависит от начальных условий.

2. Реальное перемещение частиц удовлетворяет уравнениям движения.

3. Эти приращения должны быть совместимы со связями.

Введем новый термин «виртуальные перемещения» «ВП» .

1. Не зависят от начальных условий. 2. Не удовлетворяют уравнениям перемещения. 3. Рассматриваются как мгновенные перемещения. 4. Должны быть совместимы со связями.

Рассмотрим самый пред. случай, когда связь G(x₁,x₂)=0. Дадим системе ВП так, что . Эти ВП должны быть совместимы со связями G(x₁,x₂); . Разложим левую часть в ряд: Осталась сумма: . Пусть k=1,2,…,S. Каждой связи соответствует своя функция G_k. Для каждой функции свое уравнение. Введем обозначение: (i — по какой координате частная производная). . Рассмотрим простейший случай связи:

Вычислим град. от G. ;



Пусть между двумя точками д-ет центр. сила, кот.направлена вдоль 12. Вирт. раб., совершаемая реакциями связи = 0. Это положение, распространяемое на все механич. системы, называется принципом Даламбера.

F₁₂ — реакция связи со стороны стержня на м.т.

7.3.Уравнение Лагранжа I рода.

Чтобы уменьшить число неизвестных используем ур-е связи: Выражение для ВП: Показ. связь м\д ВП. Перепишем их в скалярной форме. Добавилось еще S ур-ий. Всего 6N неизвестных, 3N+S ур-ий. Чтобы число уравнений совпало с числом неизвестных исп-ем пр-п Даламбера. Вирт. раб. сил реакций: Если бы δx_i , были независимы, то (*) было бы 3N ур-ий, но они не все независимы. Из 3N вариаций δx_i независимых только 3N-S. 3N+S+3N-S=6N независимых переменных. Т.о. можно решить сист. ур-ий. x₁,…,x_3N переменных, F’₁,…,F_3N. Пр-п Даламбера: .

Берем любое λ для получения симметричной формы ур-я (чтобы выделить зависимые и независимые переменные). Получим: Разделим сумму на 2 части:

Ввели неопределенный множитель λ_j = количеству связей — неопределенные множители Лагранжа. запишем ур-я дв-я со связями в сим. виде. Из δx_i (i=1,…,3N) независимыми является 3N-S переменных, а S зависимы от других. Выберем λ таким, чтобы все квадратные скобки I части суммы обратились в 0, при i=1,…, S. т.к. во II части суммы δx_i независимы, то выберем δx_S+1 не равным 0, а δx_2…S =0, то δx_S+2 не равным 0 и т.д. Все эти компоненты удовлетворяют одному и тому же ур-ю. Запишем их в общем виде: 3N ур-ий. 3N+S неизвестных. Необходимо добавить еще S ур-ий для решения задачи.

S ур-ий, т.е. S ур-ий связи.

Перепишем.

Ур-е Лагранжа I рода.

8.1. Обобщенные координаты и скорость.

Существует мн-во координат. Найдем такое соотношение ур-я движения, для любой СК. Пусть . 3N-S — число степеней свободы системы. q_i — любая ЛНЗ пар-ры , через которые можно однозначно определить все координаты системы — обобщенные координаты.

Обобщ. корд-ты — любой набор 3N-S пар-ров, позволяющих однозначно определить положение системы в любой момент времени. Леммы

Если система движется, то все q_j явл-ся функциями времени, тогда x_i, зависящее от q_j зависящих от t, то декартовы координаты тоже будут зависеть от t.

произв. сл. ф-ии.

Когда будем брать приращение в процессе движения, то получим:

делим на dt:



Возьмем (2 лемма) и диф-ем по dt и записываем:

(3 лемма).

символ Кронекера.

8.2. Работа и энергия в обобщенных координатах.

За dt координата изменится на dx_i и взяв скал. произведение на силу, получим работу.

.

где обобщенная сила. каждой ОК соответствует свой ОС.



3.4. Общая ф-я теории рассеяния.

Получим общую формулу, завис. от предельного параметра и угла. b=b(θ). N(>θ)=N(b2.

dN величина «-». Если понимать под dN число частиц dN(θ< θ’< θ+d θ) чтобы она была «+», надо

4.1.Угловая скорость.

И С бескон. мн-во, они движутся поступательно. Неин. сист. — вращающиеся. В ней закон Ньютона несправедлив. Чтобы был справедлив, нужно добавить силу инерции F_ин.

Если не изменять размер вектора, а лишь его направление, то Эл. приращение всегда перпендикулярно вектору. Введем един. вектор вдоль радиуса, то можно представить: .В Декар.

в Цилиндр.:

в сферич.:

Введем угл. ск-ть Возьмем модуль





фиксир. вокруг оси

4.2. Абсолютная и относительная ск-ть.

Рассм. 2 сист. координат: неподв К и К’ (дв-ся отн-но К) R – рад.вектор означает начало штрихованной отн-но центра нештрихованной.
Только в случае поступательного движения.

.

если сист. к’ движ. отн. к поступат., то продиф. это равно . Если нет, то: в K . и в K’ .



Выразим v абс. через v отн. -связ. ск-ть дв-я в одн. системе с другой системой.

4.3. Абсолютн. и относительн. ускорение.











если вращ. с пост. ск-ю послед. слогаем.



ускорение точки, которая неподвижна в K’ СК.

= ускорению геом. точки K’ (переносное) + (ускоренеи ч-цы отн-но K’) + кореолисово ускорение
4.5. Силы инерции

В инерциальной С.О.: ;в неинерц.С.О.:

; }-cилы инерции (*)

Если предположить, что в любой СК F=ma, то если определять F только в ИСК, то надо добавить (*).

; если начало координат общих систем совп., а скорость является постоянной величиной, то

;

оси вр. и напр. от нее



5.1. Импульс системы.

Система — конечная или бесконечная совокупность мат. точек, взаимодействующих м\д собой. В общем случае. Fi= ^внешн Fij – сила со стороны j частицы на i частицу. m₁v₁=F₁₂+F₁₃+…+F_1N+F₁<sup>внешн

…</sup>

m_Nv_N=F_N1+F_N2+…+F_N,N-1+F₁^внешн

= ^внешн ,i=1,2,…,N

Просуммируем это выражение по всем i:

Лев. часть:

Прав. часть:

N=2:

Такой же результат будет при любом N. Тогда:

— главный вектор внешних (*) сил. Если он равен 0, то Скорость каждой частицы зависит от времени, но (*), то импульс системы. импульс i частицы. - закон сохранения импульса: если главный вектор внешних сил = 0, то импульс системы const. Или Если x-проекция Fx внеш = 0, то соответствующая проекция Px=const. Если главный вектор внеш. сил не равен 0, то - закон изменения импульса системы.

5.2. Момент импульса системы.

Умножим векторно обе части на и после этого сложим:

Найдем величину: Правая часть: N=2

(для центральных сил). Если силы центральные, то сила взаимодействия лежит на одной прямой с вектором . т.е. вектор и F₁₂ коллинеарны.