Задача для движения 1 чцы в заданном внешнем поле. Для решения уря надо знать и

• Название: Задача для движения 1 чцы в заданном внешнем поле. Для решения уря надо знать и
• Дата: 17.06.2022
• Размер: 1.66 Mb.
• Имя файла: 47b75fa (1).doc
• Тип: Задача; #599491
• страница: 2 из 2

L — мом. имп. М — гл. мом.

системы внеш. сил сист.

— момент импульса i-ой мат. точки. Для центр. ил скорость изменения момента импульса системы = главному моменту внешних сил системы. . Если M=0, то L=const. — закон сохранения момента импульса системы. Момент импульса системы, как и импульс системы, обладает свойством аддитивности:

5 .3. Энергия системы.

Умножим dr_i

Суммируем по i. n — полное число ч-ц системы: Изменение некоторой величины (кин. эн. сист.) Кин. эн-я сохр-ся, если работа внешних сил = 0. Предположим, что внутр. сиды явл-ся силами потенциальными, напр. они центрально-симметричны



(Зависит от координаты и имеет определенную структуру). — несимметричная запись внутр. энергии. Но для удобства перепишем: (завышение потенциальной энергии)

(U₁₂+U₂₁+

+U₂₃+U₃₁+

+U₂₃+U₃₂+…+

+U_N-1,N,U_N,N-1)1/2=

(1): dE=dA — закон сохранения энергии. Полная мех. энергия не обладает св-ми аддитивности, а кин. обладает. Рассмотрим сист., состоящую из 4-х ч-ц. N=4.

Раздвинем подсистемы далеко друг от друга.



U_AB=U_A+U_B+U_AB (3)

Энергия не аддитивна. Сложим (2) и (3). Получим: Е_А+В=Е_А+Е_В+U_АВ.

5.4. Теорема о вариале сил.

Р ассмотрим кин. энергию как ф-ю времени. T=T(t) она не является постоянной величиной. Возьмем интеграл: Разобьем S на основания. Интеграл зависит от t. Чтобы этого не было, устремим t в бесконечность, тогда: средняя кин. энергия.

Th о вариале сил: если движение системы происходит в ограниченной области пр-ва и с ограниченными по модулю скоростями, то средняя по времени кин. энергия системы равна среднему по времени вариалу сил.

Док-во: Возьмем ур-е Ньютона и просумир-ем:

Левая часть. Приравниваем к правой:

Интегрируем:



Разделим на dt:



если движение происходит с ограниченными по величине скоростями, то |v_i|ii|


5.5. Система центра масс (СЦМ).

центр масс

СМЦ не вращ-ся вокруг ЛСК, а движется поступательно, то можно диф-ть по времени: . Запишем импульс системы: Последнее слагаемое — вектор, проведенный из начала штрихованной СК в центр масс, но нач. штрих. сист. нах-ся в центре масс, то он = 0. То импульс сист. P=mV , V — ск-ть, воображаемой точки из центра масс. Момент импульса в ЛСК:

Тогда Кин. энергия От i зависит только m, то Кин. энергия ЛСК = кин. эн. ЦМ имеющего суммарную массу. T’ — внутр. кин. эн. сист. отн-но ее ЦМ. Т.к. сист. замкнута, то

— внутр. энергия.

3.1. Соотношение м\д углом рассеяния и эксцентриситетом.

И нфинитное движение – точка приходит из бесконечности и уходит в бесконечность.

r_o-минимальное расстояние между частицой и силовым центром От точки наименьшего сближения отсчитываем угол В положение ro r* В силу симметрии угол - угол рассеяния частицы.

Из рисунка видно что

(1)



Из (1) >1

соотношение между углом рассеяния и эксцентриситетом.

3.2 Прицельный параметр и угол рассеяния

b (прицельный параметр)- расстояния на котором прошла бы частица от силового центра, если частица двигалась по прямой , т.е. не было взаимодействий.С пом. b можно определить момент импульса L=mvb Полная энергия: . Свяжем момент импульса с углом рассеивания. Перепишем в виде:

3.4. Сечение рассеивания Резерфорда.

Ч астицы отталкиваются от пластинки и проходят сквозь нее. Телесный угол dΩ на угол θ, j — число частиц, падающих на площадку. N(dΩ) — число рассеянных частиц в тел. угле dΩ за то же время. Отношение этого числа к плотности потока падающих частиц j и является то, тчо мы называем диф-ым сечением рассеивания ч-ц в телесный угол dΩ. Рассмотрим число частиц, рассеиваемых на угол N(>θ)= . Найдем число этих частиц. Возьмем плотность потока, умножим на величину площади круга, подсчитаем телесный угол, соответствующий Если рассеяние азим.-симметрично, то интегр. по азимуту можно провести в самом диф-ле: Возьмем диф-ал от N(>0):

— формула Резерфорда.

2.1.Сохранение энергии и момента импульса в центральном симметричном поле (ЦСП).

Рассм. матер. точку — физ. Тело разм. к-ого можно принебр. В усл. данн. задачи (но! излуч., вращ.). мат. точка – физ. тело для к-ого существ (характерна) только масса и дв-е его под дейсв физ силы. Матер точка (наз её «точка») – это не геом точка. Дв-е мат точки – дв-е от одной к др геом точке . Центр силой наз сила, напр к-ой коллин радиусу вектору и удовл усл-ю: – центр. поле

- ед вект осей и r умнож обе части векторно на (1) т.к. sin м/у векторами = 0, то α=0 или π (коллин усл) (2)

и з (1) и (2) видно, что -импульс, момент силы и мом импульса соотв. Момент «чего-то» – это вект произвед «чего-то» на радиус вектор. Измен мом F тела только при нал. Внешн сил. Если

-опр-е мом-а имп-а

-изменяются

НО! , т.к. , dt₁=dt₂=dt₃... - не меняется и он ┴ и ┴

нов точка треуг, плоск к-ого перп L, след частица двиг в плоск перп L след рассм двумерн дв-е в ОХУ

О сь Z вдоль вектора L тогда пл-ть ОХУ. Пусть вект F- вект ЦСП



В центр поле закон сохр мом импульса: - диф опер., след, когдаего примен к произв, то он 1 раз действует на первый сомножитель. -действ оператора . rot ЦСС=0 , след она потенц., след — з-н сохр энерг в ЦСП потенц энерг зависит от расст до нач корд т.к. ЦСП-част случ ЦП, то оба уравнен верны для ЦСП.

2.2 Эффективная потенциальная энергия.

В ыберем плоскость ОХУ

x = rcosφ

y = rsinφ

дифференцируя

эти выражения



возведём с квадрат и сложим:



получим

, т.о.





полярные

координаты



найдём из 2-го и подставим в первое









от скорости



о т кинетической энергии распалось на 2 сост.: 1-остат., 2-потенц., т.к. зависит только от коорд.

Но! Только при в ЦП потенц. Энерг. в виде кинетич. энерг. радиальн. дв-я




Э ффективная потенциальная энергия

2.3 Траектория в ЦСП



опр. из п.1.4 из закона сохранения импульса следует, что

(*) – обр. к иск. ф-ии , найдя r(t) подст. в (**) и тогда задача будет решена.

2.4. Эффективный потенциал Кулоновского поля.

Кул поле Сила на част. В Кул поле Ф-я от расст-я f=f(r) Если α>0, то притяжение α<0, то отталкивание

Т ак же для Ньютоновского закона.

Рассм частн случ: притяж-е R-раст до мин зн-я эф энерг Найти полож-е R r>0

потенц. Энерг в R Энерг частиц наход в потенц яме должна быть

В случае когда Частица движется по окружности

2)отталкивание (α<0)



только инфинитное дв-е

Разделение переменных в уравнении Ньютона.

1. 
   Одномерное движение под действием силы F(t).
   
2. 
   Одномерное движение под действием силы F(v).
   
3. 
   Движение частицы в поле силы, зависящей от координаты F(x)/
   
4. 
   К лассификация одномерных движений.
   

2.1. Сохранение энергии и момента импульса в центральном симметричном поле.(ЦСП)

2 .2. Эффективная потенциальная энергия.

2.3. Траектория в ЦСП.

2.4. Эффективный потенциал Кулоновского поля.

5. 
   Р адиальная скорость в кулоновском поле.
   
6. 
   Траектория в кулоновском поле.
   
7. 
   Классификация траекторий в кулоновском поле
   

1. 
   Соотношение «угол рассеяния — Эксцентриситет»
   
2. 
   Прицельный параметр и угол рассеяния
   
3. 
   Сечение рассеяния Резерфорда.
   
4. 
   Общая формула теории рассеяния.
   

4.1. Угловая скорость.

2. 
   Абсолютная и относительная скорости.
   
3. 
   Абсолютное и относительное ускорение.
   
4. 
   Силы инерции.
   

1. 
   Импульс системы.
   
2. 
   Момент импульса системы
   
3. 
   Энергия системы.
   
4. 
   Теорема о вириале сил.
   
5. 
   Система центра масс (СЦМ)
   

6.1. Движение замкнутой системы двух тел.

6.2. Момент импульса и энергия системы 2-х тел.

6.3. Законы Кеплера.

6.4. Упругое столкновение — диаграмма импульса.

6.5. Упругое столкновение — диаграмма скоростей.

7.1. Понятие связи.

7.2. Принцип Даламбера.

7.3. Уравнение Лагранжа I рода.

8.1. Обобщенные координаты и скорость.

8.2. Работа и энергия в обобщенных координатах.

6.4. Упругое столкновение-диаграмма импульсов.

у пруг. столк. – где нал. эн. част. и конечн. энерг. част. остаётся неизменным.

До: -нолики у 1и2-нач. ск-ти

После Задолго→

;



; ; ,где штрих озн.-с.ц.м. Лабораторн. сист. к.:где т.1-движется, а т.2-покоится(первоначально)

д о: , после: , т.к. ,то

закон сохр. энерг.:



2.5.Радиальная скорость в Кулоновском поле.

Е-U_эф=Т_r

Эф потенц энерг=потенц энерг+азимутальная часть кинетическаой энергии (α-азимут) Т_r-кинетич энергия радиальн дв-я

дополним до полного квадрата.

Введём диф. вел.





и з-за усл. мин Е данн потенц вел положит.



обозначим



2.6 траектории в Кулоновском поле.

В озьмём из п.2. 3 формулу

Пользуясь формулой

п олучим



подставим z в :



2.7. Классификация траекторий в кулоновском поле

- уравнение канонических сечений в полярной системе координат.

П ритяж-е: α>0

ε<1, то r<∞, E<0-финитное дв-е

т раект планет солнечной системы

1 +εcosφ*=0, ε>1

траект

в поле притяж-я с полож энерг опис эллиптич траект. Если отр энерг , то парабол. Если Е=0, ε=1, то парабол.

В случ отталкив-я всегда по гипербол траект