ТР 4.3 ТерВер. Задача Классическое определение вероятности

• Название: Задача Классическое определение вероятности
• Анкор: ТР 4.3 ТерВер.pdf
• Дата: 07.05.2018
• Размер: 398.08 Kb.
• Имя файла: ТР 4.3 ТерВер.pdf
• Тип: Задача; #18967
• страница: 1 из 6

Типовой расчет 4.4
по теме
«Теория
вероятностей»

Задача 1.
Классическое определение вероятности
1.
Восемь книг наудачу расставляются на книжной полке. Найти вероятность того, что три определенные книги окажутся стоящими рядом.
2.
Пятитомное собрание сочинений расставляется не полке в произвольном порядке.
Найти вероятность того, что тома окажутся в возрастающем или убывающем порядке.
3.
На книжной полке наудачу расставляются 7 книг. Найти вероятность того, что 2 определенные книги не окажутся рядом.
4.
Буквенный замок содержит на общей оси 4 диска, каждый из которых разделен на 6 секторов, отмеченных определенными буквами. Замок открывается только в том случае, когда буквы образуют определенную комбинацию. Какова вероятность открыть замок, установив произвольную комбинацию букв?
5.
В коробке содержатся 5 одинаковых карточек с написанными на них буквами ш, к,
о, л, а. Найти вероятность того, что в порядке извлечения карточек образуется слово
«школа».
6.
В коробке шесть одинаковых, занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем или убывающем порядке.
7.
В случайном порядке расставлены на полке тома четырехтомника. Найти вероятность того, что хотя бы один том не стоит на своем месте.
8.
Восемь книг расставлены наудачу на полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом.
9.
Пять книг на одной полке расставляются наудачу. Определить вероятность того, что две определенные книги окажутся: 1) поставленными рядом; 2) поставленными рядом с правого края.
10. С помощью шести карточек, на которых написано по одной букве, составлено слово
«карета». Карточки перемешиваются, а затем наугад извлекаются по одной. Какова вероятность, что в порядке поступления букв будет слово «ракета»?
11. На книжной полке в случайном порядке стоит энциклопедический справочник, состоящий из шести томов. Какова вероятность того, что хотя бы один из томов этого справочника не стоит на своем месте?
12. Пятизначное число образовано при помощи перестановки цифр 44433. Все размещения равновозможны. Найти вероятность того, что все тройки стоят рядом при условии, что полученное число четное.
13. Ребенок играет с четырьмя буквами разрезной азбуки а, а, м, м. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово «мама»?
14. Из пяти карточек с буквами а, б, в, г, д наугад одна за другой выбираются три и располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероятность, что получится слово
«два»?
15. Общество из 10 человек садится за круглый стол. Найти вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом.
16. Из 10 лотерейных билетов, имеющих порядковые номера от 1 до 10, покупатель берет наудачу один за другим три билета. Определить вероятность того, что он выберет билеты с номерами 5, 6 и 7: 1) в порядке возрастания номеров; 2) в любом порядке.
17. Группа из 10 человек занимается места с одной стороны прямоугольного стола.
Найти вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом.

18. Группа из 10 человек занимается места с одной стороны прямоугольного стола.
Найти вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом, если всего имеется 12 мест.
19. Числа 1, 2, …, 9 записываются в случайном порядке. Найти вероятность того, что числа будут записаны в порядке возрастания.
20. Числа 1, 2, …, 9 записываются в случайном порядке. Найти вероятность того, что числа 1 и 2 будут стоять рядом в порядке возрастания.
21. Числа 1, 2, …, 9 записываются в случайном порядке. Найти вероятность того, что числа 3, 6 и 9 будут следовать друг за другом в произвольном порядке.
22. Числа 1, 2, …, 9 записываются в случайном порядке. Найти вероятность того, что на четных местах будут стоять четные числа.
23. Числа 1, 2, …, 9 записываются в случайном порядке. Найти вероятность того, что на нечетных местах будут стоять нечетные числа.
24. В коробке содержится 6 занумерованных кубиков. По одному извлекают все кубики.
Найти вероятность того, что номера кубиков появятся в возрастающем порядке.
25. В урне находятся 3 белых и 7 черных шаров. Из урны извлекаются 2 шара. Какова вероятность того, что среди них: 1) один белый шар; 2) хотя бы один белый шар.
26. В урне 5 белых и 5 черных шаров. Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из урны берут два шара. Найти вероятность того, что будут извлечены шары разного цвета.
27. В группе 25 студентов. Из них 5 человек получили на экзаменах отличные оценки,
12 — хорошие, 6 — удовлетворительные и 2 — неудовлетворительные. Определить вероятность того, что произвольно выбранный студент получил:
1) удовлетворительную оценку; 2) оценку не ниже хорошей.
28. В ящике 12 деталей, из них 10 — стандартные. Сборщик наудачу извлекает 3 детали.
Найти вероятность того, что они окажутся стандартными.
29. В студенческой группе 15 юношей и 10 девушек. На концерт группа получила пять пригласительных билетов, которые разыгрываются по жребию. Какова вероятность того, что на концерт пойдут: 1) 3 юноши и 2 девушки; 2) не менее 3 юношей?
30. В ящике содержится 15 деталей, из них 4 бракованных. Найти вероятность того, что среди 4 наудачу извлеченных деталей не окажется бракованных.
Задача 2.
Геометрическое определение вероятности
1.
Какова вероятность того, что наудачу поставленная в данном круге точка окажется внутри вписанного в него квадрата.
2.
Какова вероятность того, что наудачу поставленная в данном квадрате точка окажется внутри вписанного в него круга.
3.
В отрезке единичной длины наудачу ставится точка. Найти вероятность того, что расстояние от этой точки до концов отрезка превосходит 0,1.
4.
Два теплохода должны подходить к одному причалу. Время прихода для обоих теплоходов равновозможно и независимо в течение суток. Время стоянки первого теплохода — 1 час, второго — 2 часа. Найти вероятность того, что одному из теплоходов придется ожидать освобождения причала.
5.
После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Найти вероятность того, что расстояние от точки разрыва до концов участка превосходит длину, равную 1/5 от общей длины участка.

6.
Два лица условились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет другого в течение 10 мин, после чего уходит. Найти вероятность встречи этих лиц, если приход каждого из них в течение указанного часа может произойти в любое время.
7.
Найти вероятность того, что сумма двух наудачу взятых положительных правильных дробей не больше единицы, а их произведение не больше 3/16.
8.
На отрезок AB длиною 12 см наудачу бросают точку M. Какова вероятность того, что площадь квадрата, построенного на AM, будет больше 36 см
2
и меньше 81 см
2
?
9.
На бесконечную шахматную доску, сторона каждой клетки которой равна 4 см, бросают случайно монету радиуса 0,7 см. Найти вероятность того, что монета попадет целиком внутрь одного квадрата.
10. Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не превышает 2.
Найти вероятность того, что произведение xy будет не больше 1, а частное y/x не больше 2.
11. Производится стрельба по плоской прямоугольной мишени:
2 2



x
,
1 1



y
Наблюдаемый результат — координаты точки попадания в декартовой системе координат. По условиям стрельбы непопадание в указанный прямоугольник исключено. Найти вероятность того, что абсцисса точки попадания не меньше ординаты.
12. Производится стрельба по плоской прямоугольной мишени:
2 2



x
,
1 1



y
Наблюдаемый результат — координаты точки попадания в декартовой системе координат. По условиям стрельбы непопадание в указанный прямоугольник исключено. Найти вероятность того, что произведение координат точки неотрицательно.
13. Производится стрельба по плоской прямоугольной мишени:
2 2



x
,
1 1



y
Наблюдаемый результат — координаты точки попадания в декартовой системе координат. По условиям стрельбы непопадание в указанный прямоугольник исключено. Найти вероятность того, что сумма абсолютных величин координат точки превышает единицу.
14. Производится стрельба по плоской прямоугольной мишени:
2 2



x
,
1 1



y
Наблюдаемый результат — координаты точки попадания в декартовой системе координат. По условиям стрельбы непопадание в указанный прямоугольник исключено. Найти вероятность того, что расстояние от точки попадания до центра мишени превосходит 1.
15. Иван и Петр договорились о встрече в определенном месте между одиннадцатью и двенадцатью часами. Каждый приходит в случайный момент указанного промежутка и ждет появления другого до истечения часа, но не более 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что Петр пришел после Ивана.
16. Иван и Петр договорились о встрече в определенном месте между одиннадцатью и двенадцатью часами. Каждый приходит в случайный момент указанного промежутка и ждет появления другого до истечения часа, но не более 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что Петр ждал Ивана все обусловленное время и не дождался.
17. Иван и Петр договорились о встрече в определенном месте между одиннадцатью и двенадцатью часами. Каждый приходит в случайный момент указанного промежутка и ждет появления другого до истечения часа, но не более 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоялась после 11 ч 30 мин.
18. Иван и Петр договорились о встрече в определенном месте между одиннадцатью и двенадцатью часами. Каждый приходит в случайный момент указанного промежутка

и ждет появления другого до истечения часа, но не более 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что Ивану не пришлось ждать Петра.
19. Иван и Петр договорились о встрече в определенном месте между одиннадцатью и двенадцатью часами. Каждый приходит в случайный момент указанного промежутка и ждет появления другого до истечения часа, но не более 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что тот, кто пришел первым, пришел до
11 ч 30 мин.
20. Иван и Петр договорились о встрече в определенном месте между одиннадцатью и двенадцатью часами. Каждый приходит в случайный момент указанного промежутка и ждет появления другого до истечения часа, но не более 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что Иван опоздал на встречу.
21. Иван и Петр договорились о встрече в определенном месте между одиннадцатью и двенадцатью часами. Каждый приходит в случайный момент указанного промежутка и ждет появления другого до истечения часа, но не более 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоялась, когда до истечения часа оставалось меньше пяти минут.
22. На плиточный пол со стороной плитки 10 см кидают монету радиуса 1 см. Какова вероятность того, что монета попадет целиком внутрь одного квадрата?
23. На плиточный пол со стороной плитки 10 см кидают монету радиуса 1 см. Какова вероятность того, что монета пересечет не более одной стороны квадрата?
24. На плиточный пол со стороной плитки 10 см кидают монету радиуса 1 см. Какова вероятность того, что монета пересечет хотя бы одну сторону квадрата?
25. Внутри квадрата с вершинами (0,0), (1,0), (1,1), (0,1) наудачу выбирается точка
М(x,y). Найти вероятность того, что наибольшая из координат не превосходит 0,7.
26. Внутри квадрата с вершинами (0,0), (1,0), (1,1), (0,1) наудачу выбирается точка
М(x,y). Найти вероятность того, что наименьшая из координат не превосходит 0,5.
27. Внутри квадрата с вершинами (0,0), (1,0), (1,1), (0,1) наудачу выбирается точка
М(x,y). Найти вероятность того, что расстояние от точки М до начала координат не превосходит 0,5.
28. Внутри квадрата с вершинами (0,0), (1,0), (1,1), (0,1) наудачу выбирается точка
М(x,y). Найти вероятность того, что произведение координат xy не превосходит 0,5.
29. Производится выстрел в быстро вращающийся диск, разделенный на 12 равных секторов, окрашенных попеременно в черный и белый цвета. Определить вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов.
30. Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не превышает двух. Найти вероятность того, что произведение xy будет не больше единицы, а частное y/x не больше двух.
Задача 3.
Формулы сложения и умножения вероятностей
1.
В двух урнах находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в первой урне 4 белых, 5 черных и 1 красный, а во второй урне — 3, 5, 2 соответственно. Из обеих урн наудачу извлекается по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара одного цвета?
2.
Изготовлено 12 изделий, из которых 8 отличного качества. Наудачу отобрано 9 изделий. Найти вероятность того, что среди них не менее 5, но не более 7 отличного качества.
3.
Три спортсмена участвуют в отборочных соревнованиях. Вероятность того, что спортсмен будет зачислен в сборную команду, равна соответственно 0,8; 0,7; 0,6.

Найти вероятность того, что: 1) два спортсмена будут зачислены в сборную команду;
2) не менее двух спортсменов будут зачислены в сборную команду.
4.
Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает ее наудачу.
Определить вероятность того, что ему придется звонить не более трех раз.
5.
Партия из 100 деталей подвергается выборочному контролю. Условием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной бракованной детали среди пяти взятых для проверки. Какова вероятность для данной партии быть не принятой, если она содержит 5 неисправных деталей?
6.
Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает: 1) только один сигнализатор; 2) хотя бы один сигнализатор.
7.
На отдельных карточках написаны буквы т, т, с, у, д, е, н. Карточки перемешаны.
Какова вероятность получить слово «студент» в порядке появления карточек при их произвольном выборе?
8.
В урне 4 белых и 6 черных шаров. Из урны вынимается один шар, отмечается его цвет и шар возвращается в урну. После этого из урны берется еще один шар. Найти вероятность того, что оба вынутых шара одного цвета.
9.
Ведется стрельба по самолету, уязвимыми агрегатами которого являются два двигателя и кабина пилота. Для того, чтобы вывести из строя самолет, достаточно поразить оба двигателя вместе или кабину пилота. При данных условиях стрельбы вероятность поражения первого двигателя равна 0,5, второго двигателя — 0,6, кабины пилота — 0,3. Агрегаты самолета поражаются независимо друг от друга.
Найти вероятность того, что самолет будет поражен.
10. В читальном зале имеются шесть учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу берет учебники один за другим до появления учебника в переплете. Найти вероятность того, что он возьмет не более трех учебников.
11. При конвейерной сборке точного механизма рабочий должен устанавливать в него определенную деталь. Деталь эту в некоторых случаях приходится подгонять путем дополнительной обработки. Вероятность того, что деталь будет установлена без подгонки с первой пробы, равна 0,38, с подгонкой при второй пробе — 0,26, при третьей — 0,20, при четвертой — 0,14, при пятой — 0,02. Какова вероятность того, что для подгонки этой детали потребуется: 1) более двух проб; 2) четыре или пять проб; 3) нечетное количество проб?
12. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38.
Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.
13. Из урны, содержащей 2 белых и 4 черных шара, двое поочередно извлекают шар.
Найти вероятность извлечения первым белого шара каждому из участников.
14. Вероятность наступления событий в каждом опыте одинакова и равна 0,2. Опыты производятся последовательно до наступления события. Определить вероятность того, что придется производить не более трех опытов.
15. Вероятность наступления события в каждом опыте одинакова и равна 0,2. Опыты проводятся последовательно до наступления события. Найти вероятность того, что придется производить пятый опыт.
16. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделия стандартно, равна 0,9. найти вероятность того, что из трех проверенных изделий: 1) лишь одно стандартное; 2) не менее двух стандартных.

17. Предприятие изготовляет 95% изделий стандартных, причем из них 86% — первого сорта. Найти вероятность того, что: 1) взятое наудачу изделие первого сорта; 2) из двух взятых наудачу изделий хотя бы одно первого сорта.
18. В двух урнах находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в первой урне
— 4 белых и 6 черных шаров, во второй урне — 6 белых и 4 черных шара. Из обеих урн наудачу извлекаются по два шара. Найти вероятность того, что среди извлеченных шаров будут два черных шара.
19. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,4. Произведены три независимых измерения. Найти вероятность того, что: 1) только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность; 2) хотя бы в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность.
20. Известно, что 4% всей продукции являются браком, а 75% небракованных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта. Найти вероятность того, что: 1) взятое наудачу изделия является первосортным; 2) среди двух взятых наудачу изделий не более чем одно первосортное изделие.
21. Определить вероятность того, что партия из ста изделий, среди которых пять бракованных, будет принята при испытании наудачу выбранной половины всей партии, если условиями приема допускается бракованных изделий не более одного из пятидесяти.
22. Вероятность попадания мишень стрелком при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4, можно было ожидать, что: 1) не будет ни одного промаха; 2) будет хотя бы одно попадание.
23. В урне имеется два шара — белый и черный. Производится извлечение по одному шару до тех пор, пока не появится черный, причем при извлечении белого шара в урну возвращается этот шар, и добавляются еще два белых шара. Определить вероятность того, что при первых пятидесяти опытах черный шар не будет извлечен.
24. Игрок А поочередно играет по две партии с игроками В и С. Вероятности выигрыша первой партии для В и С равны 0,1 и 0,2 соответственно, вероятность выиграть во второй партии для В равна 0,3, для С равна 0,4. Определить вероятность того, что первым выиграет В.
25. В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,1; 0,15 и 0,2. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.
26. Из полного набора домино наудачу извлекаются кости одна за другой до появления дубля. Найти вероятность того, что будет извлечено не более трех костей.
27. Игрок А поочередно играет с игроками В и С с вероятностями выигрыша в каждой партии 0,25 и прекращает игру после первого проигрыша или после двух партий, выигранных с каждым игроком. Определить вероятность выигрыша В.
28. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.
29. В кошельке находятся 6 монет по 20 коп. и 3 монеты по 3 коп. Из кошелька извлекаются монеты одна за другой до появления монеты в 20 коп. Найти вероятность того, что будет извлечено не более трех монет.
30. Вероятность получить очко, не теряя подачи, при игре равносильных волейбольных команд равна 0,5. Определить вероятность получения одного очка для подающей команды.