Коплексные числа. мош. Задача Найдите наибольшее натуральное n, обладающее следующим свойством для любого простого нечётного p, меньшего n, разность n p также является простым числом. Задача 2
 Скачать 145.53 Kb.
|
|
LXXXV МОСКОВСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 20 марта 2022 года • 10 класс Задача 1. Найдите наибольшее натуральное n, обладающее следующим свойством: для любого простого нечётного p, меньшего n, разность n − p также является простым числом. Задача 2. Точки M и N — середины сторон AB и AC треугольника ABC. Касатель- ная ℓ к описанной окружности треугольника ABC в точке A пересекает прямую BC в точке K. Докажите, что описанная окружность треугольника M KN касается ℓ. Задача 3. Среди любых пяти узлов обычной клетчатой бумаги обяза- тельно найдутся два, середина отрезка между которыми — тоже узел клет- чатой бумаги. А какое минимальное количество узлов сетки из правильных шестиугольников необходимо взять, чтобы среди них обязательно нашлось два, середина отрезка между которыми — тоже узел этой сетки? Задача 4. Дан многочлен степени 2022 с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом 1. Какое наибольшее число корней он может иметь на интервале (0, 1)? Задача 5. Два треугольника пересекаются по шестиугольни- ку, который отсекает от них 6 маленьких треугольников. Ради- усы вписанных окружностей этих шести треугольников равны. Докажите, что радиусы вписанных окружностей двух исходных треугольников также равны. Задача 6. Андрей Михайлович выписал на доску все возможные последовательности длины 2022, состоящие из 1011 нулей и 1011 еди- ниц. Назовём две последовательности совместимыми, если они совпадают ровно в 4 позициях. Докажите, что Андрей Михайлович может разбить все последовательности на 20 групп так, чтобы никакие две совместимые последовательности не попали в одну группу. XIX устная городская олимпиада по геометрии для 8–11 классов состоится 10 апреля. Подробности — на странице olympiads.mccme.ru/ustn/ Задачи, решения, информация о закрытии LXXXV Московской математической олимпиады — на сайте mccme.ru/mmo/ |